Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

-

10

-

^ 1 ^ Я х ) П = Ц^И)

Очевидно,

что

г ^ ч г=<^-/

,

и из равенства

следует, что

ъ л>ъа й

•

Если

£

-

четное,

то

* 4 * % r b + b ~ b + - + b - r $ t

и в

записи

ъ а

участвует

^ =

i

. Так

как

•ьгйИг(Я)

» то

для

некоторого

L

,

что

противоречит

предположению индукции.

Если же

t

нечетное,

т*

Н

*

tyt-t

•

*/г0 0

и

снова можно при­

менить предыдущее рассуждение к элементу

Пусть

Р

-

свободное

произведение

и

14г

о объединенной

подгруппой

W

. Тогда

допускает

несократимую запись ( 2)

и

длину t

олова (2 ) обозначим через

.

Кроме

того,

полагаем,

что

% ф = О

для

g f-eli .

Пусть

3Cj,tC/aCHt)

) . Для

доказательства

равенства

достаточно показать, что из равенства

ос*+ эса* О

следует

, осае а(н).

К Р

, порожденный

Обозначим через 0£(#j,)

правый

идеал г р .к .

элементами

lL -Л

С f t c H t

)♦

Тогда

правый

К -модуль

t) допус­

кает разложение в прямую сумму

-подмодулей:

где

Uj%Fl(typ) .

Отсюда непосредственно следует,

что

достаточно дока­

зать теорему в случае, когда

G - P

.

Пусть

а^+ ас^О

и

ъ = з р А Ш - Ч ) щ .

( я и н ^ ъ ^ п & и , ) ) ,

х , ‘ 2 р & ( % - Ь « >

^

)

С3>

и rn.~rn .q.x^jt(U i)^C u})J

.Методом

индукции по

т*

докажем, что

£/г(Ю . ЕСЛИ

М Ъ - О

,

ТО

TCjeKMidKH^KH

И

Xj6^(H) .

Пусть верно индуктивное предположение для

t< .n v

и

среди

и

элементы гл ,,... ,U £ ,щ ,...,

имеют длину

m-t м ох-{Л (иО ,а(»^.)}

I

• Доказательство

утверждения

для

т *

нам

удобно

разделить на

й

j

следующие

случаи,

применяя

при

этом

также

индукцию по

й+ t

- II

-

1)

Для некоторого i& t

V-i

имеет

вид

^ u . '

,

где

и

Mv.')=m-I. Тогда

(

и для

х х

мы

можем построить такую запись вида (3)» в которой число

элементов

u i

длины пь

меньше, чем

t .

Следовательно,

к

элементу

ос1

применимо

индуктивное предположение.

(/)

2) В записи (3 )

элемента

х1

существует

Щ е1 1

( i ^ t )

. В силу

случая

I,

мы можем

предполагать, что

Щ =& гг1 '

,

где

и

2 (и') =

= nW

. Тогда

Hj%(U )

и

—О

. Как и в

предыдущем случае,

к

элементу

х ^ у .

применимо предположение индукции

■

.

а

отсюда

0Ci £

а

д .

Если не выполняются случаи I и

2,

то

из

равенства

ar,-*-a:j»0 сле­

дует, что

равна нулю сумма всех тех

слагаемых, базисные элементы кото­

рых имеют длину

пъ+L

,

причем их

первыми множителями ,в записи ( 2)

являются

элементы из

Hi

•

Поэтому

'd.jfi.iu t = °

и

U i55 ’fli’lLi

i - i

для некоторого

l <

i ^ t

.

Тогда

и снова мы нашли такую запись элемента

ос£

,

к

которой

применимо пред­

положение индукции.

Ш

KG

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Идеал £/((?)

г р .к .

называется

фундаментальна

идеалом (или кольцом Магнуса) и обозначается

через

А (К 9 ) .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3 ,

Фундаментальный идеал

г р .к .

KG

тогда

и только

тогда нильпотентен,

если

G

-

конечная

/г -группа

и

р

нильпотент

кольца. К .

А (№ ) -

А (КС!)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

нильпотентный

идеал. Тогда

обладает ненулевьх аняулятором и согласно предположению 2

G

является

конечной группой.

Если <f t G

элемент простого порядка

fi

, то

ос-р -(1 + у - + —+ $Р'1)

£

A (K G )

и

. Вы-

берем r t

так,

чтобы

2^

’) = о . Тогда

( ц

и коэффициент

^ |

№

х ^ = 0

при

элементе

равен нулю.

Следовательно,

каждое

простое

число

,

делящее

порядок

Q

,

нильпотент кольца

К

*

Воли же

(г

не р -груп­

па,

простое число

и

у ,

делит

/ £ /

,

то

в кольце

К

выполняет­

ся

равенство

и единичный

элемент

кольца

К

является

сум­