ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 84
Скачиваний: 0
- 12 -
мой нильпотентов, |
что |
невозможно. |
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Пусть ]-/г=<х.> |
- |
циклическая |
подгруппа |
порядка |
из |
центра |
ко |
|||||||||||||||||
нечной |
^-группы |
G |
и |
/Л= 0 |
в |
кольце |
К |
. Выберем |
ъ |
так, |
чтобы |
|||||||||||||||
р |
i |
был |
делителем |
всех |
биномиальных коэффициентов |
r ii |
и докажем, |
|
||||||||||||||||||
|
С р |
|
||||||||||||||||||||||||
что |
произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( x l,- j ) ( x l± |
l ) . . . ( ? S - i ) |
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||
равно |
нулю, |
если |
m z p 'L , |
Действительно, |
если к |
такому |
элементу при |
|||||||||||||||||||
менить |
тождество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(v - l) |
t |
то |
( 3) |
есть |
сумма |
|||||||||
слагаемых вида |
( z - i ) * |
(-£ > /?г) |
. |
Тогда |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
( ■ z - t f l |
|
# |
|
Л |
|
Ср- |
i |
... ± i |
, |
|
|
i |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делятся |
на |
# |
то |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C^ |
р |
|
|||||||
они |
равны |
нулю в |
кольце |
X . |
Следовательно, |
А Ч К Ю - о |
, |
что вле* |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чет |
за |
ообой равенство |
|
Ж (Н ) = О |
|
, |
так |
как |
Н |
подгруппа |
из |
центра |
||||||||||||||
группы |
С . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Докажем нильпотентность |
А (К С ) |
|
методом индукции |
по порядку |
|
|||||||||||||||||||
группы |
G |
• |
Если |
И |
- |
циклическая |
подгруппа из |
центра группы |
G |
, |
||||||||||||||||
то гомоморфизм |
■fsKG’"т |
|
|
|
|
|
|
сохраняет сумму |
коэффици |
|
||||||||||||||||
ентов и |
-f(A (K G ))= A ( K G/ u ) . |
По предположению индукиии идеал |
|
|||||||||||||||||||||||
М К С /„ ) |
нильпотентен и |
|
А Ч к О ^ Ж Ю |
для |
некоторого |
ф . |
|
|||||||||||||||||||
Значит, |
|
( К С ) » О |
|
. |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
§2. |
|
КОММУТАТОРНЫЙ ПОДМОДУЛЬ И СЛЕД ЭЛЕМЕНТА |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. |
Если |
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
ж |
называют следом |
|
||||||||||
элемента |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. |
|
К -подмодуль г р .к , |
К С |
, порожденный |
элементами |
|||||||||||||||||||
о с ^ - ^ х |
, |
где |
|
х |
, |
^ |
|
- произвольный |
элементы из |
К С |
|
, называ |
||||||||||||||
ют коммутаторнш |
|
К |
-подмодулем |
и обозначают |
через |
£ (K G ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 3 - |
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что £(KG) |
как |
К «модуль |
порождается |
элементами |
вида |
|||||
|
|
( § ? Д б G ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В дальнейшем символ |
& |
будет обозначать, что элементы |
у , и |
|||||||
4l сопряженный группе G |
, |
а |
|
|
- |
класо |
сопряжен |
||||
ных элементов группы |
G , |
содержащий |
элемент |
cj. . |
|
|
|
||||
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ б . (Р.Брауэр |
) Дусть |
J> - |
простое |
число |
и bUpOCG)* |
|||||
- &(KG)+J>KG . Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
IZX.Q. € £(№ <=*Z 2<£« “ О |
для |
каждого |
. |
|
|
|||||
|
f t G |
** |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
S Z |
|
|
|
еьК |
ДЛЯ |
каждого |
. |
|
|
|
3) |
Если |
х , ^ . е К С |
, то |
( х ^ У з |
|
|
t^KG)) . |
|
4) Xj,(KG) замкнуто относительно операции возведения в |
jb-ую степень, |
||||||||
5) f c x * |
О |
для |
всех |
х fc bt(KG) . |
|
|
|
||
|
ДОКАВАТЕДЬСТВО. I) Очевидно, что |
* £ ( j ./l)K |
для |
||||||
всех |
^ .Д е С |
и, |
если «ДО »-ДО л?' |
. то |
|
~ |
|||
|
|
|
|
Каждый х € ДОС) |
имеет вид |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(D |
и из |
соотношения |
|
следует, |
что |
для |
каждого |
|||
■ iL tC . Обратно, |
если |
выполняется равеяство ЛИ of. - О |
для |
каждого |
|||||
• t e c |
. |
r |
k . |
f - t u l « e ) |
, |
j z x } ( 9 - i ^ ( j p ^ f ) i . |
|||
у* "-Л |
|
у€ *ч |
|
|
Следовательно, а с е |
*d(KG) . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Аналогично доказывается утверждение 2 ), |
|
|
||||||
3 ) . Очевидно, |
что |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
( * + • } / - х(>- / = |
2 ^ |
u , a t . . . u,M |
|
(2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u L |
|
|
|
- |
14 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
каждое |
равно либо |
* |
, |
либо |
|
и в |
каждой |
|
слагаемой вида |
||||||
utu ii...u p |
|
встречается |
как |
ас. |
, |
так |
и |
tp |
, |
Слагаемые получаемые |
||||||
из |
u ,u L...u.f, |
циклическими |
сдвигами, также принадлежат правой час |
|||||||||||||
ти ( 2) и |
( u t ...u l) ( u U l...u f) - ( u |
i+i. . . u l>)( u i. . . a L) |
е |
£ ( К 8 ) |
||||||||||||
Поэтому, все |
такие |
слагаемые сравнимы между собой |
по |
|
m ocL %t(KG) |
|||||||||||
и их |
число равно |
р |
. Разбивая |
правую часть (2 ) |
на |
наборы слагаемых |
||||||||||
так, |
что внутри набора все слагаемые получаются из одного циклически |
|||||||||||||||
ми сдвигами, |
получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
( ас + |
|
|
|
|
w +р х , |
, |
|
|
|
||
где |
w e'st(K G ) |
и |
х е К О |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 ) . |
В силу 3) для любых элементов |
|
х , |
^ с К(г |
|
|
|
|||||||||
откуда непосредственно следует |
утверждение |
4 ). |
|
|
|
|
||||||||||
5 ) . |
Если |
х |
е & (№ ) , то |
х |
|
имеет |
вид ( I ) и, если |
, то |
||||||||
^ ^ |
, 1 = 1 |
.Следовательно, |
1ъ х = |
О |
. |
щ |
|
|
|
|
||||||
|
Пусть |
R |
- |
конечнопорожденное |
коммутативное |
кольцо без делите- / |
лей нуля характеристики нуль. Тогда нетрудно проверить, что для нену
левого |
элемента |
" b ^ R |
можно |
указать бесконечно много таких простых |
|||||||||||
чисел |
ji |
, что |
для |
каждого |
р |
существует |
максимальный |
идеал |
М |
||||||
кольца |
R |
со свойством: |
Ъ £ М |
|
И |
^ / \ \ - |
конечное поле |
характерис |
|||||||
тики р . |
Этот |
факт |
понадобится |
нам |
для |
доказательства |
следующего ут |
||||||||
верждения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K G |
|
||
ЛЕША 7 . (Рассман. |
I ) |
Если |
ОС |
- |
нильпотент |
г р .к . |
и по |
||||||||
рядки |
элементов |
из S u p fjх |
не |
являются |
делителями |
нуля |
в |
коммутатив |
|||||||
ном хольце |
К |
. то |
след |
fc. х |
нильпотент. |
|
|
|
|
|
|||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. |
Обозначим |
через |
п. |
произведение всех |
простых чи |
сел, входящих в порядки элементов из Suppx- . Если все элементы из
SuppJC |
бесконечного порядка, тс |
положим |
n. = J |
|
|
|
|
Пусть |
jC = o£.*dCt<jf.<+... +/ s ^ s |
и |
fc. х |
= |
|
- |
не нильпотентен |
Тогда таким же свойством обладает и |
nJ,B |
, ибо |
равенство ( n i . ) = О |
||||
противоречит тому, что п является |
делителем нуля |
в |
К |
. Так как со |
|||
вокупность |
всех яильпотевтов кольца |
К |
совпадает |
с |
пересечением всех |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
15 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
его первичных идеалов, то п ,£ ,% Р |
|
Для |
некоторого |
первичного |
идеа |
||||||||||||||||||||||
ла |
Р . |
Тогда |
характеристика |
ска г,К первичного |
кольца |
К |
|
без |
|||||||||||||||||||
делителей |
нуля |
не делит |
гь . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Пусть |
с&аъ K/p=f> > О |
|
и |
Х.+Р= <£ |
.Т о гда |
|
|
|
|
|
+ |
||||||||||||||
+...+ Z %y s |
ненулевой |
нильпотент г р .к . |
|
|
|
|
и |
з/ = 0 |
|
ддя |
неко- |
||||||||||||||||
торопо |
1 |
• |
Согласно |
предложению б |
|
x |
bt |
|
h^1«. |
kt |
+ |
— |
at |
w |
|||||||||||||
I |
|
r* |
Z * + . . . |
£ |
|
t |
|
||||||||||||||||||||
и |
h .v s= |
О |
|
, где |
|
w e |
^ .( * /p G ) |
|
|
• |
так как |
|
^ |
i |
|
, |
to |
|
|||||||||
О = |
fc.х / = |
|
|
, |
|
а |
это |
равенство |
в |
|
сольце |
К/p |
без |
делителей |
|||||||||||||
нуля |
невозможно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Пусть |
|
c J u x .Z .^ /p -0 |
. |
Если /? |
|
подкольцо |
K /p |
|
, |
порожденное |
|||||||||||||||
4 + Р |
и |
элементами |
Z< |
, |
то, |
как отмечено выше, в Я |
|
существует |
|||||||||||||||||||
такой максимальный идеал |
М |
|
• |
что |
ftoCc |
с Ai |
и fy p j |
- |
поле |
харак |
|||||||||||||||||
теристики |
j> . |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ненулевой нильпотент |
г р .к . |
|
|
|
|
, |
что |
противоречит |
ранее |
доказан |
|||||||||||||||||
ному. |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Канланокий методом теории банаховых алгебр изучил след идемпотен- |
|||||||||||||||||||||||||
та |
и доказал |
оледувщую теорему, |
упрощенное |
доказательство |
|
которой мож |
|||||||||||||||||||||
но |
найти |
в |
работе Пассмана |
[8] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ТЕОРЕМА 8 . |
Для |
нетривиального |
идемпотента |
€. |
г р .к . |
|
K G |
над |
|||||||||||||||||
полем |
К |
характеристики |
нуль |
i t |
g. |
и все |
его сопряженные |
являются |
|||||||||||||||||||
действительней |
алгебраическими |
числами |
и |
,0 < tz e . < |
/ . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Предположение Капланского, |
что |
i |
t |
е |
|
|
принадлежит |
простому под |
||||||||||||||||||
пол» поля |
К |
, |
недавно доказано |
А.Залесским |
[i] |
. |
Пике мы приводим |
||||||||||||||||||||
фрагмент из его доказательства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o ( f ) |
|
|
|
|||||||||||||
|
Зафиксируем простое |
число |
/> |
и обозначим через |
порядок |
||||||||||||||||||||||
элемента |
^ |
|
группы G |
, 'полагая |
при |
этом, |
что |
о ( 1 ) * 1 . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
Если |
зс. = ^ ~ ’ J.. п |
, |
то отобюажение |
Т ( х . ) жЦ>2 <Lq, |
|
является |
||||||||||||||||||||
К -линейне |
и |
Г/эс.) называется |
обобщенным |
следов |
элемента |
х , |
, |
||||||||||||||||||||
Очевидно, |
что |
Т (?х.)~ |
f c x |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
для |
всех |
Х £ |
|
1 ( Ш ) . |
- 16 -
ЛВШ 9 . |
Если еАагК^р , |
то для |
Т М( ^ ) Ж[Т 'Ш)(яс^ |
|
для всякого |
хе.К(г * |
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно предложению б зcP" * 2 ^ e * + w , где |
||||
|
|
|
?еС |
* ® |
^ с &(KG) . |
Так как T <*J(*’)c O |
и для |
|э-элемента |
o(y)nO(«f)p, |
*о |
T V ') |
- И |
4 |
T(i)( j ) * SZ 4 |
r <i+V |
- [ та*%) * |
||||||||||
*J?/*T ™ v |
r = i T ал *> ]' |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ТЕОРЕМА |
10. След идемпотента г р .а , |
КС |
над полем |
К |
принадле |
||||||||||
жит простои; |
подполю поля |
К |
• |
|
|
|
|
eAa%K*f* |
|
|||||||
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Д;сть g = T T ^ g , |
- |
идеыпотент, |
* |
||||||||||||
|
превосходит порядки всех |
|
-элементов из |
S ирр>е . |
Тогда Т * ( € ) * 0 |
|||||||||||
и на основании |
равевотва |
Т (^\е)*ТШ(е.Р)я[Т <1*(е)1^(i>i) |
заключаем. |
|||||||||||||
что |
Т ^ е ) = О |
. Согласно |
предложению б |
£х е « £х е^= Ьс С2 |
^ |
4 |
^ ) * |
|||||||||
=*f/+TW(c)= (^хсУ* , а это покаэнвает, |
что |
fx e |
принадлежит прос |
|||||||||||||
том; |
подполю. |
|
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство теоремы для поля & |
характеристики н;ль о помо |
||||||||||||||
щью теоретике числовой техники сводится |
х |
полю характеристики |
Ь |
|
||||||||||||
(см . |
работ; Залесского |
[i] |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
§3. |
О ШШМШКЕСТВАХ КОНЕЧНОГО ИНДЕКСА |
|
|
|
|
||||||||
|
При иэ;чении свойств групповых колен нам понадобятся некоторые |
|||||||||||||||
факты из'теории групп. |
|
|
|
|
Т из |
|
G существуют |
|||||||||
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если для подмножества |
группы |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
' |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такие |
|
|
. |
что |
G*JUT^i, то |
наименьшее |
число |
К |
таких |
|||||||
элементов обозначим |
через |
[G:TJ |
к назовем индексом |
Т |
в |
G . |
|
|||||||||
|
ЛЕММА I I . |
(Пассман, М) |
Пусть |
|
|
- подгруппы группы |
G |