Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 0
и з
Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величивн ai , имеющей равномерное распределение в промежутке [~ tyt ] *
Таким образом,
( П .7 )
|
|
|
у |
* |
( Н ,8 ) |
Так как |
М U-) - 0 , |
то начальные |
и центральные моменты равны |
||
между собой, |
т .е . Vrt |
. Если эти моменты имеют нечетный поря |
|||
док, то она равны нулю. |
Вычислим теперь моменты четного порядка |
||||
|
I |
£ |
ы |
|
|
-£ |
- £ |
=j]k r ( * = ^ |
; . т |
. 9 ) |
|
|
|
|
|||
Пусть °Сп независише ошибки округления, имеющие од47 и ту же функцию распределения с плотностью вероятности ( 1 1 ,6 ) . Тогда на основании центральной предельной теоремы сумма ошибок ок ругления Jr л имеет асимптотически нормальное распределение при /?-*-<»
У _ _2_!
F W = Р ( 2 » < Ю — |
2 6 |
< п л о > |
равномерно по у * Плотность вероятности случайной величины
пV
s - Z cLK выражается формулой
/г=/
X 2 б ‘
(11*11)
114
В ввду того, что предельная абсолютная погрешность недостаточ но характеризует точность измерения или вычисления, то для оценки точности применяется также относительная погрешность СО , опреде ляемая формулой
ai |
ос-СС |
( I I . 12) |
|
а |
а |
||
|
Определение. Отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного значения называется предельной относительной погрешностью
|
|
£ |
_ A S L - |
\х ~ а \ |
( I I . I 3 ) |
||||
|
|
а |
\а\ |
|
\а\ |
|
|
||
|
Если известна плотность вероятности j |
О?) случайной |
величины |
|
|||||
cL |
, |
то можно найти закон распределения |
случайной величины СО . |
|
|||||
Обозначим плотность вероятности |
случайной |
величины СО через 'flu ). |
|
||||||
Тогда, |
учитывая, что |
и |
V - f ( u ) |
, |
подучим для f ( и) выраже |
|
|||
ние |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(11.14 |
$ |
где |
f |
- функция, обратная функции |
/ . |
|
|
|
|||
Принимая во внимание выражение |
( I I . 1 4 ), |
найдем функцию распределе |
|
||||||
ния случайной величины со |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
и |
|
|
|
|
и- |
|
|
|
< Р ( и ) ^ Р (С О < и ) = |д</'СзО] \f(%)\ |
|
. |
( I I . 15) |
|||||
|
|
_ G O |
|
|
|
|
_ ©О |
|
|
На основании ( I I . 6) и ( I I . 14) определим плотность вероятности относительной погрешности округления
€ |
, и € |
t _ |
|
_ £ |
|
|
/<*1 |
’ |
l a | |
|
• |
||
f ( u ) = j [ f ( u ) ] \ f ( u ) \ |
U € |
_L |
|
j |
J |
( I I . I 6 ) |
\ а \ |
|
|
||||
|
|
|
l a \. |
|
||
ZI |
1 |
l al |
’ |
|
||
|
|
|
115 |
|
|
|
Произведя замену |
а\ |
= g , |
получаем |
|
|
|
|
|
о г и е [-г, г] , |
|
|||
У ( U ) |
=• |
^ ? г* € [- г , г] . |
(II.17) |
|||
|
|
|||||
|
|
|
||||
Принимая во внимание |
( I I . 1 7 ), |
находим |
гс <- г |
|
||
1Л. |
- < |
С , |
( I I . 18) |
|||
ф {и ) =j |
|
Яг , |
-г 4 гг- 6-г , |
|||
|
|
|
и + г |
|
|
|
-г |
|
|
|
i . |
гг > г |
|
Вычислим математическое ожидание и дисперсию относительной погреш ности округления
м{со) |
=£jиу ( и ) d u |
(11.19) |
и |
|
|
Z |
г |
; |
§Ь((о) = |
d{u)du =~|ис^гг=~- =j y ™ -(п.20) |
|
-г |
-г |
|
Применяя формулы для вычисления моментов, найдем начальные и цент ральные моменты
|
( I I . 21) |
и ^ г /c-f - J * z k - i ® • |
•••? w п взаимно независимы, |
Вели случайные величины &>f , |
то их сумма ^ п согласно центральной предельной теореме имеет
116
асимптотически |
нормальное распределение |
при |
п |
—— =» |
|
|||
|
|
|
|
|
% |
_ |
J 2_ |
|
|
= Р ( ^ п < * ) ---------- |
^ 2 # 6 - |
^ |
|
d -t |
(11 .22) |
||
равномерно |
относительно |
Z . |
Плотность |
вероятности /(.2) |
случайной |
|||
|
|
и |
|
|
|
|
J |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
величины |
^ |
6 ) к |
выражается формулой |
|
|
|
||
|
к.-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.23) |
Наряду с предельной относительной погрешностью имеет широкое применение в качестве критерия точности доверительный интервал, так как он определяет область изменения случайной ошибки с известной вероятностью.
Кроме выше перечисленных критериев введем в рассмотрение в качестве критерия точности дифференциальную энтропию случайной ошибки, определяемую формулой
= |
/ ( » ) ] = - ] f M t o y f W d * - Ш .2 4 ) |
Энтропия случайной ошибки характеризует изменение точности из мерения или вычисления. Чем меньше абсолютная величина случайной ошибки, тем меньше и величина энтропии. Если величина случайной ошибки равна нулю, то ее энтропия обращается в минус бесконечность. Возрастание величины энтропии свидетельствует о снижении точности измерения или вычисления. В силу этого энтропию случайной ошибки можно рассматривать как объективную характеристику точности [5 9 ].
§ 1 2 . Оценки случайных ошибок функций
I . Погрешности функций. Пусть дана |
дифференцируемая функция |
|
у - J ( x ) и известно, что приближенное |
значение х |
равно (X с |
погрешностью «С х . В качестве приближенного значения |
аргумента |
|
f17
принимается его среднее значение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя функцию у = / ( х ) |
по |
х |
, |
имеем |
|
||||
d y = j [ x ) d x . |
|
|
|
|
(1 2 .1 ) |
||||
Заменяя дифференциалы d x |
и d y |
ошибками d x |
и |
<АЧ , а X его |
|||||
приближенным значением, получим формулу погрешности функции |
|
||||||||
d y - f \ a ) d x . |
|
|
|
|
(1 2 .2 ) |
||||
Обозначив предельную абсолютную погрешность аргумента через |
д х , |
||||||||
найдем предельную абсолютную погрешность функции |
д у |
|
|||||||
А у =|/'(а)| Д X . |
|
|
|
(12.3) |
|||||
Разделив обе части равенства |
( I 2 .I ) |
на |
у |
, |
будем иметь |
||||
dy |
f'(x)dx |
|
x j(x ) |
|
dx |
|
|||
4 |
j(x> |
- |
Д х ) |
|
' |
x |
|
||
Обозначим относительную погрешность аргумента через а х |
и |
||||||||
функции через (J ц . Тогда, |
заменяя |
— |
= OJX, |
^dt- с д ц и х |
его |
||||
|
|
|
х |
|
|
|
У |
* |
|
приближенным значением, находим
['(а)
Щ= V — L d x
d / ( a )
а ['(а) |
(1 2 .5 ) |
= — ^ -- с о х . |
/ ( а )
Учитывая формулу ( 1 2 .5 ), найдем предельную относительную погреш ность функции 6 у
I /(а)| |
/1*Г Ъ х . |
( 12. 6 ) |
f /'(«•) 1 А X |
а. / ' ( л ) |
|
Для определения плотности вероятности случайной ошибки функ ции у - f ( x ) воспользуемся формулой
|
|
У ( и ) = Ц '[$ (' и )]1 < у \ и ,)1 , |
(1 2 .7 ) |
где у |
- |
функция, обратная функции у ' . |
|
Пусть случайная ошибка аргумента d . x имеет плотность вероят |
|||
ности |
У' |
( v ) . Тогда плотность вероятности |
случайной ошибки |
118
(функции oL4 о ученом |
(1 2 .2 ) и |
(1 2 .7 ) |
будет ш еть следующий вид |
||||
|
|
|
|
Ь |
'Ll |
|
( 12. 8) |
|
|
|
1/4)1 |
Г (О.) . |
|
||
где г4.=/(а)гу . |
|
|
|
|
|||
|
|
случайная ошибка аргумента oi х |
|
||||
Предположим, |
что |
имеет нор- |
|||||
мальное распределение |
с плотностью вероятности |
|
|
||||
|
|
fJV) = к |
|
|
(1 2 .9 ) |
||
|
|
|
i |
* |
|
|
|
где А = -------— |
- |
мера точности . |
|
|
|
||
/ z & v |
|
|
|
|
|
( и ) |
|
При этом предположении плотность вероятности |
случайной |
||||||
ошибки функции выражается формулой |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
А ли г |
|
|
|
|
|
|
|
[f(a)Y |
|
(12.10) |
£ |
( * |
0 |
= |
|
|
|
|
На основании формулы (1 2 .1 0 ) определим вероятность того, что
случайная погрешность функции не превышает ее предельной абсолютной
погрешности |
Д и |
|
|
|
|
h^U z |
|
P(Hyl<*yh |
1 / И |
J ( I 2 . I I ) |
|
Подставляя |
в формулу (1 2 .I I ) вместо |
ее значение из |
(1 2 .3 ), |
получаем |
|
|
|
р(\*у\< ь у ) = Z ФвЫг к &х ) • {12Л2)