Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf

Скачать файл (5,41Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 99

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

103

V "

2 _

R -0

- X

t:-o

~£';S

A / ! ( A f - K )	Л/-Л	К
Ч П ^ Ш Р	w [ < - / * * ) ] b y p H ) -

( А / - К ) !	P " \ t ) [ < - p M ] ‘ io f [ t - p i t ) ] --
/V!	Л/-Л	fl
~wШ ^ ) Г p	( O	f ' - p l t f b f j r ^


~ N p i t )	f > ( t ) - N [ i - p t t ) ] t o $ [ l - p ( t ) ] .				(1 0 .8 )
Пусть дана	система из	N	одинаковых	элементов, образующих од
ну группУ резервных, а другую группу основных элементов. Первая
группа состоит	из т резервных		элементов,	а вторая группа содержит
остальные N - т элементов.		Каждый элемент		этой системы имеет экспо

ненциальное распределение времени безотказной работы.

Будем считать, что замещение отказавшего элемента происходит мгновенно. Предположим также, что все элементы системы отказывают независимо друг от друга. В случае отказа основного элемента он за меняется очередным резервным элементом.

При указанных предположениях определим основные характеристики состояния.системы с нагруженным резервом [28] .

Состояние отказа рассматриваемой систеш возникает тогда, когда откажут все резервные элементы и один из основных элементов. Исходя из этого, условие работы данной систеш выражается следующей

104

Функцией состояния

„ _ Г1» если п-И)<'п+1 ,

(10.9)

-|^0> если n(-t) -m-+i -

Вероятность		отказа точно		/£	элементов системы в течение вре
мени	t выражается формулой
	p j t )	, p [ n u ) -	n	}	- - c ; p	/r' b ) [ < - p ( t > ] /l,		<io-i o >
где
		-xt	,■		к _	Ml	#
	p ( t ) = e		,■		С* ' л!(А/-Л)!
Вычислим теперь математическое ожидание числа отказавших эле
ментов	к моменту	t			"рл\ /с/ / 1			к
		т+1			"рл\ /с/ / 1		л'-д	к

М(«) =М [л(0] = ] Г иркИ) = Y l jJo^)тр wfr-pw] >(10Л1)

где

				/t =0		(10.12)
				/t =0
или		I
/Я*/ .		I
М И = X ! - ^	v	P	^	K( 0 [ i - p ( t ) f = N [		1 -/Ч О ] . (10 .13)
Подставляя значение p ( t )				в формулу	(1 0 .1 3 ),	получим
	М ( а ) = А /			G - C ~ Xt) .		(Ю .14)
Дисперсия случайной величины			/г (7) выражается следующей формулой
m + i	-			m+i
SD(n) ='У[~М(п)] Рч() = X !						- М V ) 31
Л =0*				/Г=0
/С*0				-Л/	-А *
				-Л/	-А *

= t f p ( t ) [ f - p ( t ) ]

( f - e

) .

(10.15)

105

Для вычисления энтропии случайной величины п (1 ) воспользуемся

формулой (9 .9 )

					/с=о
		!^	•/у/		м - к		г	-1 /г
H W		= - £ i 7 f ^			/ ’			*
		/С*0
	* { Ч ~ к К « - к ) ' . * (Л ' ' к ) ^ Р Ш +
учитывая	( 1 0 .1 3 ) , получим
Точно также можно получить,				что
		/1// (-V-/T)			/у-/с	_	,,/с
	£	~ Ъ т « - 1 у Р			№ - № ] = » № .
	1C-О
Тогда
	V - '	/W		<У-я			Л	л/ /
4 W	- Z	Л . ' ( ^ Л) / ' 0			( 0 [ < - р ( 0 ]
	к-о
- Np(t) toy рЦ) - N [t - p M ]						toy [ 1 - p ( t )]		=
m+1
=~X > “ ^ l [ - l a t h i ] -								-
			m+i		, .		[ t -е- A t]- Кx
	r	1 = v —1 e- Л ( М - / С ) Ь					[ t -е- A t]- Кx
			€-0

(10.16)

106

2 . Основные характеристики состояний систем многократного действия. Перейдем теперь к изложению основных характеристик состоя ний систем многократного действия. Как известно при исследовании процесса восстановления рассматривалась случайная величина £ (О , принимающая целые неотрицательные значения. Эта случайная величина

равна числу циклов, происшедших на промежутке времени	[ О , t ] .
Зная закон распределения случайной величины *1 ( t)	, можно оп

ределить основные характеристики состояния системы многократного, действия. Эти характеристики аналогичны тем, которые мы рассматри вали для систем однократного действия и определяются они по единой

схеме [61] .

Пусть дана система многократного действия, состоящая из N элементов, соединенных между собой послед'овательно. Каждый элемент данной системы в процессе восстановления приобретает свои первона

чальные качества, т .е . обновляется полностью.
Будем считать, что цикл одного элемента не влияет на надежность
других элементов. Процессы восстановления элементов в		силу наших до
пущений являются независимыми. Предположим,	что у всех	элементов
этой системы известны полные вероятностные характеристики W i(.t)z
u?i (О » а также числовые характеристики Т ;	и £) t- времени безот

казной работы.

При сделанных предположениях определим основные характеристики

состояния	системы к моменту t				. Поток отказов-восстановлений дан
ной системы является			объединением			N процессов		восстановления Гбо].
Обозначим через £ ;( * )			( t =/, Ы)		случайное		число	отказов-восстанов
лений ь	-	го элемента к моменту времени					t .	Согласно	(2 .2 4 )
распределение, случайной величины						( t) выражается формулой
		p{&(t) = /*•] = V f(t а				) - № * ♦ , ( < )			(I0*I7)
где Wiic	-	К -кратная		свертка	закона распределения.
Учитывая выражение				(1 0 .1 7 ),	введем в		рассмотрение производящие
функции
				t i ( t )		™		к
				М 2		к - о		•	(10 .18)
						к - о

Принимая во внимание независимость случайных величин $ ; ( t ) , найдем

107

производящую функцию случайной величины					( t )
					N
4 k i )	= 7 , ( 0	+ $ i ( 0 +	. . . + M	O	= 2 l M O ,	(Ю -19)
	__ ,		Л=М2	4(t)	ы	(10.20)
ш * ) = /		p * №	Л=М2	=	f l r f ( t , z ) .	(10.20)
	лгТл				4
Здесь P /t(t)	определяется выражением
	^ ^			X	^ (x>'	(10. 21)
	^ ^	= Р { 4 ( 0 » л } = -= у / * ( * ,< > )
				к!