Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
119
Из формулы (1 2 .I I ) следует, что
А} = |
Ф~\ф\}(ф ° P o X j ) \ M&V- , |
(1 2 .1 3 ) |
|
где Ф0 ( и ) - |
обратная |
функция Лапласа. |
|
Таким образом, мы определили оценку для абсолютной погрешности |
|||
функции с вероятностью |
Р |
|
|
Применяя формулу (1 1 .2 4 ) с учетом (1 2 .1 0 ), вычислим энтропию случайной ошибки (функции
L zu г
к
= l o f [ £ jf - l f \ a ) \ } U o < j [ t f & F I / i a f a ] . |
(1 2 .1 4 ) |
Форщула (12 .14) выражает зависимость энтропии случайной ошибки функции от меры точности и среднего квадратического отклонения.
Принимая во внимание формулы (1 2 .5 ) и ( 1 2 .7 ) , найдем плотность вероятности ( и ) относительной погрешности функции
|
|
/ ( a ) |
I ш [ и / ( а ) |
(1 2 .1 5 ) |
|
/ |
. М |
а/'(а) I Та [af(a) |
1 |
||
где U - |
|
v- • |
|
|
|
/ ( а ) |
|
|
|
|
|
Согласно (1 2 .9 ) |
и |
(12 .15) получим |
|
|
|
/<ю ( U ) |
= |
L \ n a ) I |
exp |
к *f/fa)]V |
|
|
|
(1 2 .1 6 ) |
|||
|
|
|
|
[ a j f a ) ] * |
|
Учитывая формулу (1 2 .1 6 ), определим вероятность того, что
120
относительней погрешность функции не превышает ее предельной отно сительной погрешности 5 и
2 £
A V ( a ) ] и 1du =
|
- 6и |
|
|
|
|
|
■ s flk \ / ( a ) \ f y |
|
|
|
|
-2.°Ро |
|
|
|
(12 .17) |
|
|
I«/’(л)| |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
= 2 Ф 0 [ J z k S x ] . |
|
||
Преобразуя формулу (1 2 .1 7 ), получим оценку для |
относительной пог |
||||
решности функции с- вероятностью |
р |
|
|
|
|
$ ц . 1 ^ ' И ■ % '( # ) = n |
W |
_ |
( i 2 J 9 |
||
' |
\ V ? a |7 ( « ) | |
i / ( * ) { |
|
|
|
На основании формул (1 1 .2 4 ) |
и (12 .16) |
найдем энтропию относи |
|||
тельной погрешности функции |
|
|
|
|
|
Н ( " £ ) |
к 1 /( а )! |
к ги«*)]ги * 1 |
|
||
= - |
|
|
|
|
|
# > / И .
к !/(& )(
X
У?|«/'{я)|
a f ( a )
М )
[*/'(* > ]* / х
k z[j(a)t и г
d u -
[ а / ( а ) } г
Pz*e \af(a)\^
I/(a) j |
(12.20) |
|
Рассмотрим теперь вопрос об оценке погрешностей функции многих аргументов.
121
Пусть дана дифференцируемая функция многих аргументов
У ~ I (я » > |
• |
(12. 21) |
|
||
Предположим, что заданы приближенные значения этих аргументов |
||
a , , a Z)...} а п , имеющих соответственно |
погрешности £ х 1уы.хх, . - . , л х Пл |
|
Нудем считать, что известны вероятностные характеристики случайных погрешностей. При указанных предположениях определим оценки погреш ностей функции (1 2 .2 1 ) . Для определения погрешности функции Л у
найдем предварительно ее полный дифференциал-
|
dr - § £ /* ' + д х я |
г |
3 / |
d x „ |
|
( 12. 22) |
||||
|
|
|
|
■I |
~ |
дХп. |
|
|
|
|
Так как функция |
у |
дифференцирует в точке |
( a f, a.Zy . . . , а п) , |
то за |
||||||
меняй в |
формуле |
(1 2 .2 2 ) дифференциалы погрешностями, |
а |
аргументы их |
||||||
приближенными значениями, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dat |
. 1 |
|
Эап |
|
|
|
|
||
|
' да' |
|
|
|
|
|
|
|||
Из |
выражения |
(12 .23) |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
B f W |
|
|
|
|
|
|
(1 2 .2 4 ) |
|
Л ц = |
- - - - - Л Хл = у t a d / Ц ) - Л = V jW 'a C , |
||||||||
|
я--! |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
где V |
- оператор Гамильтона и Л. ={</.x,,oiXi } ... |
|
_ |
вектор пог |
||||||
решностей. Таким образом, погрешность функции многих аргументов равна скалярному произведению ее градиента на вектор погрешностей.
Оценивая выражение (1 2 .2 4 ) |
по абсолютной величине, подучим |
|||||
формулу предельной абсолютной погрешности функции |
|
|||||
|
|
|
|
|
(1 2 .2 5 ) |
|
|
|
/с-/ |
|
|
|
|
Обозначим частные |
погрешности функции через Лк Н = |
-Л х к (л--/,л). |
||||
|
|
|
|
<Г |
д а д |
|
Тогда с учетом формулы (1 2 .2 4 ) |
получим для Л у следующее выражение |
|||||
|
|
!*■ |
|
|
|
|
оС |
r Z |
S f W |
|
|
(1 2 .2 6 ) |
|
~ F a 7 * |
* * |
/Сг/ |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
122
Предположим, что случайная погрешность вСХк имеет нормальное распределение с плотностью вероятности
|
|
|
|
|
|
___ / _ |
|
|
|
|
|
-г |
|
|
О г.27) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
1 |
A . U |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Ц |
и б о |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Принимая во |
внимание формулу (1 2 .2 7 ), найдем плотность |
вероят |
||||||||||||||||
ности |
случайной погрешности ^ ^ у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
и к |
Л ' |
, |
(1 2 .2 Ь) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ГУГ |
iX P |
|
|
|
д Ш ) 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 JU ) |
|
|
|
|
|
Ж |
дак \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дак |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
.и ^ |
Ж |
£ |
к . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как частные погрешности oL^y |
|
распределены |
по нормальному |
|||||||||||||||
закону, |
то погрешность функции |
о с у |
имеет также нормальное |
распре |
||||||||||||||
деление |
с |
параметрами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
„ „ |
|
. |
|
|
X |
" |
|
|
о / (~0 |
|
|
|
{12*2У) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2.^ ~ у г ~ " Ч = 0 ’ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/I " 1 |
|
|
U L4.к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ЗА-*) |
о- |
+ ^ / > |
|
o f t * ) |
cV(j /)\ |
|
|
|
|||||
£ > ( * ¥ ) |
= |
|
|
д а л |
° |
J |
д а к |
д а l r A;JirLJi>f(I2.3G) |
||||||||||
|
|
|
Л |
|
• |
|
||||||||||||
|
|
|
К-I |
|
|
|
|
|
|
х < i |
|
|
|
|
|
|||
где М (о( у) - математическое ожидание и |
- дисперсия |
погреш |
||||||||||||||||
ности (функции, |
с? л.,- |
- |
коэффициент корреляции погрешностей |
* -ГЛ , |
||||||||||||||
|
, |
а |
|
|
П |
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
с)(■*) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
U |
-- |
X |
4 |
/,/ |
\ |
' |
|
|
|
(12 .31) |
|||||
|
|
|
> |
|
= |
> |
|
|
|
|
г' |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
г . |
|
|
(:/ |
с п - |
Л |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
А- / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
случайные |
погрешности ^-Г„ * |
|
|
|
некоррелированы, |
||||||||||||
то при нормальном распределении они будут независитли. При этом |
||||||||||||||||||
условии формула |
(12 .30) |
принимает вид |
|
-.Z |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ А д ) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
О/ |
|
|
|
|
|
|
|
С,> |
. |
|
|
(1 2 .3 2 ) |
|||
|
|
|
|
о у ; = У |
|
Ч |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
/ . |
|
о а , |
|
|
1л. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
А•* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|