Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
128
Если границы погрешностей имеют противоположные значения, то предельная абсолютная погрешность аргумента д'а\- выражается формулой
|
|
Д а*, = |
rt |
д я у |
А У |
|
|
|
|
|
|
(1 2 .5 5 ) |
|||
|
|
|
д/(Л) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Т |
|
Д х { |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
д а ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где Д X ; |
|
|
г-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d/(U) |
- |
значение |
|
- |
начальная оценка погрешности аргумента, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dcti |
|
|
|
частной производной в точке J ( a „ . . . , a n). |
Так как ц + щ * о , |
то |
сред |
||||||||||||
нее значение аргумента |
.х £ |
равно |
а г- |
и |
|Ц j = |гг£| * |
[г<£ - |
V; j . |
||||||||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
Ui - V; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
\х{ - а { ‘ i |
|
|
|
|
(1 2 .5 6 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Принимая в качестве начальной оценки погрешности аргумента |
|
|
|||||||||||||
Д ас,- = j |
| t*i - Vij , |
получаем |
/а с £ - a i j i Д Х {,. Тогда из формулы |
||||||||||||
(1 2 .5 3 ) следует формула |
(1 2 .5 5 ),. |
Обозначим начальную оценку относи |
|||||||||||||
тельной погрешности аргумента |
через |
S x ; |
. |
Учитывая, |
что |
3cL = а - и |
|||||||||
д д» в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?■ = 5 х - , преобразуете формулу |
(1 2 .5 4 ) к следующему виду |
|
|||||||||||||
' a i l |
|
S 'x , = |
|
|
f |
|
Г' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
--------------- |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 2 .5 7 ) |
||||
|
|
|
ft |
|
д щ л ) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
z |
« f |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
d a { |
|
|
|
|
|
|
|
||||
В теории приближенных вычислений установлено, |
что приближенное |
||||||||||||||
значение |
Я ; |
имеет |
П; |
верных знаков, |
если его предельная |
аб со - |
|||||||||
лютная погрешность равна |
Д |
|
|
/П;-Л;+1 |
Здесь |
в |
-числовой |
||||||||
= <9iO |
|
. |
|||||||||||||
параметр, |
принимающий значения |
\ |
|
или |
1 |
, пг; |
_ |
разряд первой |
|||||||
значащей цифры числа |
<2,- |
, |
П; |
- |
число верных знаков |
а ; . |
Если |
||||||||
принять в качестве априорной оценки погрешности аргумента предель-
__ |
__ |
т- - п- +1 |
, то при заданном |
нув абсолютную погрешность Даг£ =:в-10 |
|||
значении |
Д 'у получим |
/71{- П; + { |
|
|
Д 'У |
|
|
|
10 |
|
|
|
& Х ; - |
|
(1 2 .5 8 ) |
Л ■10 i*i
Принимая в качестве априорной оценки относительной погрешности
129
|
предельную относительную погрешность ST |
6 ( 1 |
Л;-1 |
аргумента |
JY i |
||
находим |
П ,- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
8 'ос, - |
|
|
Z,- |
и |
г |
|
|
(1 2 .5 9 ) |
|
|
|
|
^ |
|
|
П;-1 |
|
||
|
|
Z |
|
СЦ d £ a J ( J ) |
|
|
||||
|
|
|
W |
|
|
|||||
|
|
|
Zi |
|
9Ui |
|
|
|||
|
1 i |
i - i |
|
|
|
a t . Таким образом, |
|
|||
где |
- первая |
значащая цифра числа |
ползи |
|||||||
ченные формулы позволяют полностью решить обратную задачу теории |
||||||||||
ошибок при заданных предельных погрешностях функции д 'у и |
5 у , |
|||||||||
На основании формулы (12 .55) |
имеем |
|
|
|
||||||
|
|
|
Д х £ =- |
|
й ! у |
|
|
(1 2 .6 0 ) |
||
|
|
|
л у |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
д у |
- начальная оценка |
погрешности функции. |
Выражение |
(1 2 .6 0 ) |
|||||
можно представить в |
|
ввде следующего определителя |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Л 'X ; |
|
|
= о . |
|
(1 2 .6 1 ) |
|
|
? ( Д ) = |
|
д у |
|
|||||
|
|
|
|
|
Д Xi |
|
|
|
|
|
Определитель У(&) |
|
сохраняет |
свою форму и значение |
для всех |
з а |
|||||
являющихся независимыми переменными или функциями других перемен
ных. В связи с этим определитель |
У ( Д) будем называть инвариантом |
||||
предельных абсолютных погрешностей. Принимая во внимание формулу |
|||||
(1 2 .5 7 ), |
получаем |
|
|
|
|
|
5 x i |
$ X i b y |
|
(1 2 .6 2 ) |
|
|
|
|
|
||
где 5 у |
- начальная оценка относительной погрешности функции. Это |
||||
выражение можно также представить |
в виде определителя |
|
|||
|
|
S'y |
= о |
(1 2 .6 3 ) |
|
|
|
|
|
||
$ Xi
Определитель J(<5") будем называть инвариантом предельных отно сительных погрешностей. Так как инварианты выражают зависимость между предельными погрешностями, то их можно использовать для после довательного оценивания погрешностей и контроля вычислений [бз] .
1
130
§ 13. Определение характеристик точности линейных управляемых систем
I . Основные характеристики точности линейных управляемых систем. При анализе точности управляемых систем возникает необходи
мость вычисления их характеристик точности.
Определение характеристик точности связано с выполнением мате
матических операций со |
случайными функциями и величинами [4 5 ] . |
На основе изучения |
структуры управляемой системы, состояния ее |
отдельных элементов и их взаимосвязи, можно составить уравнения, связывающие выходные сигналы системы с управляющими воздействиями.
В этом случае дифференциальные уравнения, описывающие работу системы, имеют в своей структуре случайные функции и являются стохастическими.
Задача анализа точности сводится к вычислению вероятностных характеристик выходных сигналов системы по заданной системе диффе ренциальных уравнений и по вероятностным характеристикам входных сигналов. В качестве основных характеристик точности линейных управ ляемых систем принимаются математические ожидания, дисперсии и кор реляционные функции выходных сигналов.
Для определения характеристик точности линейной управляемой системы по выходным сигналам достаточно знать вероятностше харак теристики входных сигналов и весовую функцию системы.
Тогда определение указанных характеристик точности управляемой системы сведется к вычислению интегралов, что может быть сделано
любым известным способом точным или приближенным |
[27] . |
||
Пусть на вход линейной управляемой системы в |
момент t 0 воз |
||
действуют п |
случайных функций X-L ( i ) ( г = f^7L) . |
Будем считать, |
|
что известны |
их вероятностные характеристики X i( t ) |
и Л х х (Ъ,гг), а |
|
также весовая |
функция и оператор системы. Требуется |
найти характе |
|
ристики точности данной системы.
нТак как оператор, системы является линейным, то в результате
преобразования на выходе системы получим случайную функцию
t
где |
_ весовая пункция, x t( t ) & у (,-t) - случайные «функции. |
j читчзая выражение U o .i ) , найдем математическое ожидание слу чайной ,*ункции y ( t )
t
• Г |
.(1 3 .г) |
V ' ) = / > . и]'1 |
Здесь JTi(t) и у (Г/; - математические ожидания случайных функций.
|
На основании выражений (1 3 ,1 ) |
и (13 .2) |
найдем центрированную |
|||||
случайную функцию |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
y - (t) - |
|
= |
j |
|
|
(1 3 .3 ) |
|
|
|
|
|
i |
1 i. |
|
|
|
где |
X i( { ) |
и y ( t ) - центрированные |
случайные функции. |
|
||||
По определению корреляционная функция K y ( , t , , t 2) |
равна |
|
||||||
|
|
|
|
* i ) = М |
у ( * * ) ] . |
|
(1 3 .4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Согласно (1 3 .3 ) |
имеем |
|
|
|
|
|||
|
гг |
** |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i (^ |r) |
) ^ |
( ^ ) е д 4 - а з . 5 ) |
|
|
|
|
|
|
к - i |
i |
|
|
|
Подставляя |
|
|
e |
|
« |
их выражения |
|
|
в формулу (1 3 .4 ) вместо |
и ^ ( 4 ) |
||||||
из |
(1 3 .а) |
и произведя необходимые |
преобразования, получаем |
|||||
|
|
^ |
. |
с ' Г* |
|
|
|
|
К Л Ш - } |
'У j |
|
|
^ |
^ !.г f (1 3 .6 ) |
|||
|
|
/--/ |
/f=y |
; { |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л?х . х |
= M |
[ 4 l T f; ^ |
( r |
A)J |
(1 3 .7 ) |
|
взаимная корреляционная гфункция случайных функций Х/(Ф) и XK( i ) .