Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Для решения поставленной задачи разложим функцию в ряд Ньютона

ОО

Умножим это выражение на i|)(?) и воспользуемся тем,

что

ражение Ф(г), соответствующее оригиналу - 0\t) , удовлетворяет дифференциальному уравнению эйлерова типа

у A*fe(0) k d^_ Ф(з)=А(2).

кЫ dzk

Выше был дан анализ структуры линейных операторов в классе функций целозначного аргумента со значениями из поля Р.

Что касается структуры дробно-линейных операторов, то из определения следует, что такой оператор может быть изображен в виде упорядоченной пары двух линейных опе­ раторов < А , В > , из которых оператор А составлен на основе линейных форм числителя каждой компоненты дроб­ но-линейного оператора, а оператор В составлен соответст­ венно на основе линейных форм знаменателей. Дробно-ли­ нейный оператор будем обозначать символом А/В.

Действие такого оператора на функцию ср(t) определяет­

Как это следует из соотношения (20), представление дробно­ линейных операторов в пространстве изображений посред­ ством изображений числителя и знаменателя в общем слу­ чае встречает большие технические трудности, связанные с поиском решений дифференциальных уравнений эйлерова типа.

.26

§ 4. Эйлеровский принцип суммирования расходящихся рядов в свете операционного анализа

Принцип финитности удобен главным образом в случае, когда поле Р является конечным, так как он позволяет пол­ ностью исключить из рассмотрения вопросы сходимости.

Однако, когда Р является полем характеристики О, в частности полем комплексных чисел, принцип финитности становится ограничительным, поскольку в этом случае встречаются преобразования, приводящие к бесконечному числу арифметических операций. Простейшие примеры та­ кого рода процедур представляют бесконечные числовые ряды. Этот случай, как известно, имеет наибольший прак­ тический интерес.

Если исходить из понятия суммы бесконечного ряда как величины, получаемой в результате накапливания частич­ ных сумм слагаемых, то приходится сталкиваться с пре­ дельными процессами, т. е. вопросами сходимости.

Однако вопросы сходимости можно в известном смысле обойти, если воспользоваться эйлеровским введением поня­ тия суммы. Л. Эйлер писал: «Мы скажем, что сумма неко­ торого бесконечного ряда есть конечное выражение, из раз­ ложения которого возникает этот ряд» [ИЗ].

Эйлеровский принцип, как и принцип финитности, иск­ лючает анализ вопросов сходимости и вместе с тем позво­ ляет включить в сферу преобразований некоторые бесконеч­ ные процедуры.

В связи с этим представляет интерес использовать в опе­ рационном анализе принцип Эйлера, подобно тому, как был использован принцип финитности.

Приведем более строгую формулировку принципа Эй­ лера.

Пусть Р поле комплексных чисел.

А = 0

ловия:

а) степенной ряд

(1.4.1)

*=о

имеет отличный от нуля радиус сходимости;

27

б) точки z = 0 и 2 = 1 принадлежат некоторой связнойг области однозначности G функции /(z), порожденной сте­ пенным рядом (1);

в) f(l) = s.

Замечание. Если функция /(z), порождаемая степенным рядом (1), многозначна, то величина /(1) может зависеть от выбора ветви функции /(z). В этом случае следует дополни­ тельно оговаривать, какая ветвь функции /(z) имеется в виду.

Кроме того, точка 2 = 1 может оказаться существенно осо­ бой точкой для функции /(z). В таком случае в зависимости от пути следования z->-1 могут быть получены различные пределы.

Для устранения неопределенности в этом случае будем предполагать, что существует достаточно малая величина е > 0 , такая, что интервал вещественной оси (1—е, 1) содер­ жится в области G.

Соответственно за величину значения /(z) в точке г = 1

будем принимать предел /(1) = lim /(1—е), если таковой су-

Е-»-0

ществует, при этом для простоты будем писать /(1) = = lim /(z).

Z-+1

Из определения следует, что эйлеровский принцип сум­ мирования рядов касается только степенных рядов и суще­ ственно использует принцип аналитического продолжения. При этом корректность определения Э-суммирования следу­ ет из принципа аналитического продолжения. (Для более детального знакомства с принципом суммирования Эйлера сошлемся на известную монографию [107]).

Ясно, что в кольце ф. с. р. совокупность степенных рядок с ненулевым радиусом сходимости образует подкольцо, его будем называть элементарным кольцом степенных рядок

(э. к. с. р.).

Из изложенного следует, что эйлеровское определение суммы бесконечного ряда может иметь смысл только для элементов э. к. с. р.

Рассмотрим теперь, какую интерпретацию в простран­ стве оригиналов получит принцип Эйлера, примененный в

28

Это соглашение по существу задает определение предель­ ного процесса при t-*-oо в пространстве оригиналов.

Действительно,так как

*х

2

fc=0

и

то в силу произвольности выбора А (г) из э. к. с. р. соотно­ шение (2)эквивалентно

э

lim a{t) = lim (1 — z)A(z).

t->oo

2а*2*=^(2)

*= 0

Итак, принцип Эйлера выделяет такое подкольцо ф. с. р., для которых имеет смысл говорить о подстановке элементов поля Р в ф. с. р. При этом допустима подстановка в ф. с. р. тех элементов поля Р, в которых однозначно определено значение функции f(z), порожденной рассматриваемым

29

ф. с. р. Ясно, что этот принцип имеет скорее теоретическое, чем практическое значение, так как техника аналитическо­ го продолжения, техника определения особенностей функ­ ции f(z) по ее степенному ряду встречает большие практи­ ческие трудности.

Теоретическая ценность этого принципа для операцион­ ного анализа состоит в том, что, с одной стороны, он поз­ воляет отождествить элементы некоторого подпространства пространства изображений (а именно элементы э. к. с. р.) с классом полных аналитических функций, регулярных в окрестности начала координат, и с другой стороны, он поз­ воляет определить в пространстве оригиналов предельный процесс при i->oо.

Это обстоятельство будет играть в последующем фунда­ ментальную роль при обобщении операционного исчисле­ ния.

§ 5. Формальные ряды Лагерра

Выше были рассмотрены основы дискретного операцион­ ного исчисления на базе понятия ф. с. р. Алгебраическая структура степенных рядов и их свойства по существу об­ разуют алгебраический фундамент различных типов дис­ кретных преобразований.

Укажем три важных приема сведения дискретного опе­ рационного исчисления, базирующегося на понятии ф. с. р., к различным его модификациям.

Первый из них состоит в приписывании того или иного смысла символу г. Так, полагая z равным s~(, получим преобразование Дирихле

00

F{t) = 2 akS~kt;

полагая z равным е *, получим дискретное преобразование Лапласа

F(t) = 2 аке~ы;

полагая z равным z \ получим так называемое 2-преобра­ зование

00

зо

наконец, полагая z равным t, получим производящую функ­ цию

F ( t ) = ' 2 l a kt k.

*=о

Пространства указанных дискретных преобразований име­ ют алгебраически изоморфную структуру, что собственно определяет также изоморфизм соответствующих операцион­ ных правил.

Второй прием заключается в различных модификациях операций свертывания. Приведем простейшую из таких мо­ дификаций.

Рассмотрим последовательность с ненулевыми элемен­

тами из Р: (ро, pi, Р2, • • •)•

Сопоставим каждую последовательность из Р [t]

l.O'the.N ~ (Оо, Oi> ^2, . . . )

со взвешенной последовательностью

[a/P/]ieJv = (а0р0, ®iPi а2?2>• • • )»

в пространстве Р(г] ей отвечает ф. с. р.

00

F f (z) = 2 аь Р* 2*-

*=о

Теперь, если ограничиться рассмотрением только подоб­ ных взвешенных ф. с. р., то операция умножения в про­ странстве Р[г] породит новый тип свертки во множестве взвешенных последовательностей над полем Р, а именно

[Ofjfew © \btiteif = [cfJfew>

где

'.-itr?)*»-*

А=0 " '

исчисление Блиссара.

Третий прием основан на использовании функциональ­ ных сверток. Остановимся на одном из важных типов свер­ ток.

31