Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 79
Скачиваний: 0
Изображение резольвенты R a(А, ц, t) ядра К„ (К, t) имеет
вид i?a(X, [a, t) |
ф (р) т. e.Rx(K, ц, t) = X‘a(A,+|x, t). |
Из этих простых расчетов следует, что ядра последейст вия могут задаваться своими изображениями вида Фа (jo) или (2). В обоих случаях ядра релаксации определяются изображениями типа (2). При этом только во втором случае будет иметь место свойство двойственности в узком смысле.
Если теперь учесть теоремы тауберова типа для интегра ла Лапласа, то для обеспечения свойства б-образности не обходимо потребовать:
1) |
фа (Р) |
|
|
| сопри, р -> + 00 |
(6.4.3) |
||
Р |
|
|
1 0, |
при р -> -)- О |
|||
|
1 -* Ф . (р ) |
|
|
|
|||
2) |
Ф* (р ) |
= |
0(1) |
при р -> 4-0. |
|
||
1 - аФ . (Р) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, если Ф«(р) такова, что |
|
|
|||||
|
РФ*(Р) |
00, |
при р -> + |
00 |
(6.4.4) |
||
|
.0 |
, |
при р -> + |
О, |
|||
|
|
|
|||||
то условия (3) выполнены. Отсюда заключаем, что свойство двойственности в широком смысле является следствием свойства (а), поскольку ядра релаксации имеют изображе ние типа (2 ).
Таким образом, вопрос о построении ядер последействия, обладающих свойствами (а) и (б), сводится к подбору функ ций Фа(р), удовлетворяющих ограничениям (4). Наиболее простым является случай, когда функция Ф„ (р) такова, что оригиналы ^ (t)» отвечающие изображениям вида [ФДр)] ",
могут быть вычислены сравнительно просто. Тогда ядро Ко. (Я, t), определяемое изображением (2), может быть задано рядом
- К а ( М ) = = 2 ^ (*“М *). |
(6.4.5) |
А=0 |
' |
Так, функция Работнова отвечает выбору Фа(р) = 1/ра. Дей ствительно, ограничения (3) удовлетворяются при 0 < а < ; 1 .
Далее так как [Фа(р)]п T(anf > то ряд (5) определяется разложением (1 .1 ) функции Э« I'X t).
165
Осуществляя аналитическое продолжение по параметру а можно показать, что функция Работнова (уже как обоб щенная функция) описывается соотношением (2.3.2), кото рое подчеркивает тесное родство функции Работнова при малых значениях а с 6-функцией.
Замечания. 1. Соотношения (3) можно рассматривать как обобщение требований (1 ).
2.Из (3) следует, что изображение Фа(р) должно быть функцией аналитической в полуплоскости R ep > 0 .
3.Если R(t) — резольвента ядра K{t), то e~?tR(t) — ре
зольвента ядра e~~9t K{t).
Это утверждение вытекает из следующей цепочки опе
рационных соответствий: |
|
|
<Р« (0 ф* (Р), |
e - ?t 9« (f) -5- Фа (р + Р), |
|
фа(Р) |
е-?*Кь(к, t) |
Фа (р +Р) |
К Л(Х, t) + 1 - ^ Ф а (Р) ’ |
: 1 -*Фа (Р+Р) ' |
|
§ 5. Частные реализации общего принципа
Ядро А» (г, X, t). Положим Фа (р) = (Ур2+ г2—р)®» Так как
[45] (формула № 11.6) |
|
|
|
|
а - у - J*(rt) + (V p 2+ r 2 |
— рУ , |
(а > 0 ), |
||
то в силу (4.5) изображению (4.2) отвечает ядро |
||||
|
|
00 |
|
|
А* (г, X, t) = |
<* + |
l)(Xr-)*J.(*+i)(rf), |
||
|
|
*=о |
|
|
ограничения (4.4) удовлетворяются при 0 -< а< 1 - |
||||
Ядро Ва(г, X, t). Положим Ф« (р) |
Р• ^ак как |
|||
(формула № 11.42) |
|
|
|
|
_ Г _ |
а —1 |
|
|
|
L . e р - ( f j 2 Л _ 1(2К Й , |
> 0 , г > 0), |
|||
то в силу (4.5) изображению (4.2) отвечает ядро
Ш
В« (г, X, t) = |
0—1 ( r(A+l) |
(ft+ 1) |
2 |
X«^(ft+i)o—i(2 V^r(ft+l)f). |
|
Замечание. Функции a^ -J^irt) e~?t; |
* J*-\(2Vtr) er& |
при 0 < а < 1 могут рассматриваться |
как ядра последейст |
вия, при этом соответствующие им ядра релаксации имеют вид
e-Pf Аа (г, X, t); e~9t В* (г, X, t).
§ 6. Учет запаздывания в явлениях последействия
Представляет интерес изучение ядер последействия, от вечающих случаю, когда максимальный эффект последей ствия обнаруживается с некоторым запаздыванием (на ве
личину т > 0 ) относительно |
начала отсчета t = 0. Этой мо |
|
дели отвечает ядро последействия К а (К, |
t), эффект 6-образ |
|
ности которого смещен из |
точки t = 0 |
в точку t=x. Она |
отражает те явления, когда |
временной |
(наследственный) |
характер упругих взаимодействий обнаруживается спустя некоторый промежуток времени. Здесь следует различать два случая:
а) ядро последействия имеет изображения вида
_ , . |
Ф« (р ) |
ф.(р)а-ч» или |
(р) е - '- Р ; |
б) ядро последействия имеет изображение вида
Ф»(Р)е ~р
(6.6.1)
1-ХФ а (р)в-'Р’
Во всех указанных случаях ядра релаксации имеют изоб ражения вида (1 ), т. е. характер запаздывающей релаксации не зависит от типа запаздывающего упругого последейст вия.
Схема построения ядер последействия, изложенная в § 4, без существенных изменений распространяется на вариант с запаздывающим последействием, при этом требование
167
6-образности накладывается на изображения типа (4.3) или (4.4), но не на (1). Рассмотрим некоторые частные реализа
ции этой схемы. |
(дискретный случай). Положим Ф„ (р) — |
||
Ядро D* (л, t) |
|||
= е-^р -f-8(f—а), |
(а > 0 ). |
Тогда ядро D* (Я, f), отвечающее |
|
изображению вида (4.2), |
представится рядом |
||
|
|
|
оо |
D a(k, f) = |
2 |
^ ( t — ak — a). |
|
|
|
*=o |
|
Уравнение Вольтерра с ядром 8(f—а) и резольвентой Da(Я, t)
вырождается в разностное |
уравнение 17(f)—KU(t—a) = /(f), |
|
|
|
m{t) |
решение которого имеет |
вид U(t) = f(t)+ |
—a)> |
где m(t) = max{k; ak + a<t). |
|
fe= 0 |
|
и резольвентой |
|
Уравнение Вольтерра с ядром Da (Я, t) |
||
|
|
m(t) |
Па(Я + ц, f) вырождается в уравнение U(t)—ц 2 ^ * U(t—ak—
|
|
fc=о |
—a) = /(f), решением которого является сумма |
||
m(t) |
|
— a). |
U (f) = f (f) + [J. 2 |
“b t1)* f (t |
|
k=0 |
|
|
Замечание. Необходимо иметь в виду, что 17(f) и /(f) равны 0 для отрицательных значений аргумента.
Ядро На (к, т, t) (непрерывный случай). Положим Фа(р)=
4 |
-ife r |
“ *■<*>• |
|
Тогда ядро Н а (Я, т, f), |
отвечающее изображению вида (4.2), |
||
имеет вид |
|
|
|
|
|
at |
ak+CL—1 |
|
|
|
|
На (К т, f) = |
е 1 2 |
Г(сА+а) |
|
И Л И |
|
|
|
Я« (Я, Т, f) = |
е т Э« (я, ^ ). |
||
Эффект 6-образности в точке f = x > 0 как функции cp„ (f), так и функции Я „(Я, т, f) обнаруживается тем острее, чем больше величина параметра а. В пределе при а->оо функ
168
ция фa(t) вырождается в функцию б(t—a), |
a Н« (X, т, |
t) — |
|
в Da (к, t). |
п _-ч®—1 |
|
|
I |
|
||
Ядро а» (к, т, t). Положим Фа (р ) = — е~хр-*- |
— il(£—т), |
||
0<а<с1, т> 0, |
|
Тогда |
ядро |
где ц(?) — единичная функция Хевисайда. |
|||
За (X, т, t), отвечающее изображению вида (4.2), представит ся рядом
|
|
|
|
,чй + а—1 |
|
|
|
|
|
|
За (ку Х90 |
|
XR( t —b z —т)' |
У] (t — kz — т). |
|
||||
|
|
Г(аА + |
а) |
|
|||||
|
k—0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отметим следующие важные свойства функции За (к, |
т, t). |
||||||||
1). |
Для каждого |
|
конечного значения |
t |
функция |
||||
За (л, т, |
t) представляется конечной суммой. |
|
|
|
|
||||
Пусть nx^.ts^.(n-\-l)x, |
тоща |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( t - k z - z ) ak+a- 1 |
|
|
|
|
||
|
З ч (X , т , * )= 2 Х‘ |
|
T ( a k + a ) |
|
|
|
|
||
|
|
|
А=0 |
|
|
|
|
|
|
2) Будем говорить, что функция t *~1 имеет в точке г= 0 |
|||||||||
степенную особенность порядка л, если |
^ |
а < |
~ . |
||||||
При |
любом фиксированном |
а (0 < а < 1 ) |
функция |
Зч (X, |
|||||
т, f) имеет конечное число степенных особенностей, точнее,
если i - j ^ |
а < |
~ |
, то |
Зч (Я, |
т, t) имеет ровно п |
степенных |
||
особенностей в |
точках |
t = т, |
2т, ... , |
пт, порядки |
которых |
|||
равны соответственно п, п—1 , . . . , 1 . |
|
|
||||||
3) Интеграл от Зч (к, т, t) как функция верхнего предела |
||||||||
непрерывен по t |
для любого 0 < а < |
1 и определяется выра |
||||||
жением |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
П |
|
|
ak+я |
|
|
j я« (к, |
§ & = |
2 |
-Ц ^ + г +i)— |
» если |
|
|||
п |
|
|
*=о |
|
|
|
|
|
Замечание. |
Ясно, |
что перечисленные свойства могут |
||||||
быть без труда распространены на ядра вида |
|
|||||||
a ^ D a (X, t), |
е-^На (X, t, t). |
е-^За (к, X, t). |
||||||
169