Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 78

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

п—1

 

С

т\Н-

(—1)А

 

m (ft+ l)

+ 2

j ( i - x )

'*

 

iwi r [m(AB+1) +»У + 1 j о

 

или при 2V= 0

будем иметь

 

 

tt

 

v ? (-l)* i

mfk+l)

Г

 

n

] Эт (—1, i)d% — 2 i г,Гт(*+1) , ,

0

n

k=0

— +

+тм

эя (1 , ^)dx

+

(6.3.2)

 

 

П—1

 

( - 1)*

 

n

 

m(k-1-1)

 

 

 

 

+ 2

 

 

) <*—*)■ ■ •"9 .(1 , ,)d ,;

 

 

*=o Г

^

^ +

' 1

0

 

 

 

 

 

 

б) если n нечетное, то будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п—1

w

 

 

m(k+1)+mr

 

j

Э? ( - 1 , т)* -

2

J ) гГ-(»+1)

+тг+11 +

 

О

п

 

 

 

й,° г-0

*^—

 

 

 

 

 

 

п—1

 

(—1 )*

 

t

771Tn(ft'-f-l) +ntiV

 

 

 

 

 

/»

Эт(-1,х )й х

+ ( - i ) * + i 2

 

 

 

 

 

J (*—х) п

 

 

 

до Г^

(^+1-). +mJV+l j 0

 

 

 

 

или в простейшем случае, когда N = 0,

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m(k+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А*

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■1)4

 

 

 

 

 

о

*

 

 

 

А

г р х »

+ 1 1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.3.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

,

ччй+1

 

с

 

т{Н+1)

 

 

 

 

 

+ 2 й = и в с д | ((- ,) *

э » ' - 1-

 

 

 

 

L

п

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся представлениями функции Работнова це­

лого

индекса,

определенных равенствами

(1.12)—(1.15).

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Для функции J

Эт

(1,

т)dx имеют место равенства:

 

 

 

 

0

»"

 

 

 

 

 

 

 

160

а ) т — четное

 

п

 

 

71 1

7tt(fe+l)

 

 

 

 

 

•*—

 

 

 

 

Эт(1, x)dx =

^

г[-те(А+1) 1

+

 

 

О п

 

 

*=°

Г[— п---- +1J

 

 

71—1

1

I

Г

m{kJrl)

Г

ro (ft-fl)

1 ^

mW

; Д + 1 ) —

1Г . ) т B

e - * d z - e r * ) * п е Ч ^ +

[

п

J {

о

 

 

о

 

т —2

71— 1

2

+ 1 - 2- —2

ft= 0 r = l

 

 

 

 

 

 

( 6 . 3 . 4 )

 

fcos 2л:г

n>

m777(72(A-+ l)

2itr

2nr

 

 

 

 

в

m COS

r [m(*+l) , ,

 

 

— XCOS

 

+

r

~

 

 

1

------Г--------+ 1

 

 

m

L

n

 

 

 

 

 

 

+ (f — x)sin

— 1 dt;

 

 

 

 

 

m

J

 

 

6) m — нечетное

 

 

гt,

 

 

 

 

n—1

m ( k + 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J9 m (+ l,x )d x =

t n

, - 1 +

 

 

2 ■f m(k+1)

 

 

0

n

 

 

 

A—0 1 I ——---—+ 1

 

 

 

 

 

I

П

 

 

 

 

71—1

 

 

 

m(fe + l)

 

 

+i-2

 

 

 

 

 

 

<Щ )

+1] jJ т

n

-f-

 

 

 

Я г [ 2

 

 

m—1

 

 

 

 

 

( 6 . 3 . 5 )

 

n—1

fcoa-^-

 

*

 

 

 

2

 

 

 

2*1

+

» 'i-,-

^

e---m777

 

n m(*+l)

e

^ г

2

гИ2 * + 1 )

+Г]xJ л

TC0Sm cos[ ? +

 

*=0

r=l I

n

 

 

о

 

L

 

 

 

+

(7 — x) sin

dx.

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

2.

Для функции

j*Эт

(—1, t )<2t

справедливы соотноше-

 

 

 

 

0

*.

 

 

 

 

ния:

1 1 - 5

161

 

а) п — четное, ш — четное

7 7 l ( f t + 1)

 

л—1

 

v

 

— jLi

 

k=0

п—1

>7 7 l ( f c + l )

+12f t r |E ^ ± ll+ lj

X "

( - D *

 

т

 

( - 1 )*/

П

 

 

 

r j-m(*+l)

+1-Г

 

 

 

t

 

 

 

 

c 7

7 l ( i + l )

Tdx

e—Td x — e~* b :

n

<

+

п—1

т—2

 

2чг

f

m\K( k-+fl)

 

 

 

2

/ i\Jk*

t c o s ----

1

____ 2тсг

 

го

л

+

+ 1 2Ы

2

( — Х ) в

 

(

— и

— тсо s —

cos [ -

Т.Г7»(*+1)

.)

"

 

L ш

1

 

 

 

 

У

 

:=0 Г - 1 Х [ -----п + 1 J 0

 

+

(* — *) sin |^ J

dx;

 

 

б) га — четное, /га — нечетное

 

 

 

( 6 . 3 . 6 )

*

 

 

 

 

 

7 . - 1

 

771(4+1)

 

 

 

 

 

 

(— 1 ) .

"

 

Г

 

 

 

 

 

чп

 

J Эт( - 1 , l)dt =

 

2 )

ГГ»(*+!) + i | +

 

О

в

 

 

 

 

*~°

[

Я

J

 

1_у ( - 1)V _

 

 

f T- n r - e-xrft+

 

+ -

£ r [ 2L(Mi)+ ij J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 6 . 3 . 7 )

 

771— 1

^

2иГ

t

 

 

 

 

 

.1

fC O S 1—

 

 

 

m

Г?яг I

2 w ?

4 i ( - ! ) * «

 

”

 

 

 

 

 

 

f 2 » £ *± i? - t c o s —

 

+

r[E i*±ll

 

' - 1 ’ T “

e

m со8[ЯГ +

k= 0

r—x L

n

 

-+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

(f — x)sin 2Щ dt;

 

в) ra нечетное, /га — четное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д—1

 

 

п»(*+1)

 

 

( - 1 ,т) dx

 

(-■l)*t

в

 

 

 

2r |"m(A+l)_+1"j +

 

 

 

 

 

 

 

*=о

 

 

 

 

162

n—1

m—2

,

 

Я - | i

t

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

fcosx r~

 

 

 

 

 

 

2r+l .

2 V’

V

(—l)*e

"

r*

»<*±L>

_ эдв1£ ± г

 

г

+ # 2

2

 

 

 

 

f

 

 

e

m cos

I

it-----

i

*=0

r.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.3.8)

 

 

 

 

+

(t — -c)sinrc

 

 

di;

 

 

 

 

t ) n — нечетное, m — нечетное

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

W (~i)*t

m(k+1)

 

 

 

 

 

r

 

 

 

=

n

 

 

 

 

 

J Эт(—1,

2d rfTO(A+ l) j.,1

 

 

H—

+1J

 

o

»

 

 

 

 

 

 

*=°r L—

 

 

 

71—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J - У

_

 

 

----j

x

n

eTdt -f-

 

 

 

 

 

 

m i^oS,rT*[ » ( W

+ lj 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.3.9)

 

m_1 _ 1

 

.

2r+l

,

m(t+i

1)

 

2r+l

 

 

 

 

_2_ W

 

(—l)ke

C0S,t nt

/•

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

— ТСОБЛ--------

 

 

 

 

+ m A

A£

0 tr Ip

<

m

+ i ]

r

n

 

!

m COS

[ « * ? + ■

*=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4- (t — *)sirnt

 

j dt.

 

 

 

 

Таким образом, получены равенства для функции, пред­ ставляющей собой интеграл от функции Работнова дробного индекса, которые можно использовать как рабочие форму­ лы при вычислениях значений этой функции.

При проведении расчетов значений функции Работнова и интеграла от нее удобно в формулах (2.4)—(2.9), (3.4)—

(3.9) с помощью замены г — —— промежуток интегрирова­

ния [0, 7] свести к отрезку [0,1].

По этим формулам была проведена серия расчетов на ЭВМ БЭСМ-ЗМ с использованием стандартной программы по квадратурам типа Гаусса (Я. М. Жилейкин, ВЦ, МГУ, вып. 26, 1967). Сравнение результатов с данными работы [87] показало, что предлагаемые методы расчета функ­ ции Работнова и интеграла от нее весьма эффективны и по точности не уступают упомянутым таблицам.

163

§ 4. Построение ядер последействия с заданными функциональными свойствами

Требуется сконструировать ядро последействия K (t—т), обладающее свойствами: а) 6-образности и б) двойственно­ сти. Под 6-образностью понимается выполнение следующих ограничений

К {t) оо при t -> —)—О,

(6.4.1)

К (0 -*■ 0 при t -> -j- оо,

00

j* K (t)dt < <х>.

О

Под двойственностью в широком смысле понимается, что как ядро K(t—т) уравнения Вольтерра II рода, так и его резольвента 6-образны, в узком — резольвента описывается той же функцией (но при других значениях ее параметров), что и ядро K(t—т).

Нетрудно видеть, что ядро Кл (A,, t) интегрального урав­ нения восстановления удовлетворяет условию двойственно­ сти в узком смысле в том и только том случае, если оно са­ мо является резольвентной некоторого ядра Вольтерра фа(£).

Пусть К*{%, t) — резольвента ядра <р«(£) и Фя(р)— изоб­ ражение Лапласа функции фа(£), т. е. фа(г)-т-Ф<* (р).

Тогда изображение функции К* (Я, t) имеет вид

Ф (р)

(6.4.2)

Действительно, если в уравнении U(t)—Я J 9* (t—x)U{x)dx =

= ф(?) перейти к изображениям Лапласа U(p)—XQ)a(p)U(p) =

_

_

_

Фа (р) _

= ф(р), то получим U(p) = i(p) + X 1 __?ф (ру ф (р).

 

 

 

t

Следовательно,

С/(0= 1К 0+Я

(Я, t—т)ф(т)йт и таким об-

,

 

 

О

разом формула (2 ) доказана.

t

 

 

 

Образуем уравнение I/(t)—ц J tf . (Я, t —x)U(x)dx=f(t).

О

Гб4

Смотрите также файлы