Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 111
Скачиваний: 0
п—1 |
|
С |
т\Н- |
|
(—1)А |
|
m (ft+ l) |
||
+ 2 |
j ( i - x ) |
'* |
||
|
||||
iwi r [m(AB+1) +»У + 1 j о |
|
|||
или при 2V= 0 |
будем иметь |
|
|
|
tt |
|
v ? (-l)* i |
mfk+l) |
|
Г |
|
n |
||
] Эт (—1, i)d% — 2 i г,Гт(*+1) , , |
||||
0 |
n |
k=0 |
— + |
+тм
эя (1 , ^)dx
+
(6.3.2)
|
|
П—1 |
|
( - 1)* |
|
n |
|
m(k-1-1) |
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
) <*—*)■ ■ •"9 .(1 , ,)d ,; |
||||||||
|
|
*=o Г |
^ |
^ + |
' 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
б) если n нечетное, то будем иметь |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
п—1 |
w |
|
|
m(k+1)+mr |
||
|
j |
Э? ( - 1 , т)* - |
2 |
J ) гГ-(»+1) |
+тг+11 + |
|||||||
|
О |
п |
|
|
|
й,° г-0 |
*^— |
|
|
|
|
|
|
|
п—1 |
|
(—1 )* |
|
t |
771Tn(ft'-f-l) +ntiV |
|
||||
|
|
|
|
/» |
Эт(-1,х )й х |
|||||||
+ ( - i ) * + i 2 |
|
|
|
|
|
J (*—х) п |
|
|||||
|
|
до Г^ |
(^+1-). +mJV+l j 0 |
|
|
|
|
|||||
или в простейшем случае, когда N = 0, |
имеем |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(k+1) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
А* |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■1)4 |
|
|
|
|
|
|
о |
* |
|
|
|
А |
г р х » |
+ 1 1 + |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.3.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
, |
ччй+1 |
|
с |
|
т{Н+1) |
|
|
|
|
|
|
+ 2 й = и в с д | ((- ,) * |
э » ' - 1- |
|
|||||||||
|
|
|
L |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся представлениями функции Работнова це |
||||||||||||
лого |
индекса, |
определенных равенствами |
(1.12)—(1.15). |
|||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Для функции J |
Эт |
(1, |
т)dx имеют место равенства: |
||||||||
|
|
|
|
0 |
»" |
|
|
|
|
|
|
|
160
а ) т — четное
|
п |
|
|
71 1 |
7tt(fe+l) |
|
|
|
|
|
•*— |
|
|
|
|
|
Эт(1, x)dx = |
^ |
г[-те(А+1) 1 |
+ |
|
||
|
О п |
|
|
*=° |
Г[— п---- +1J |
|
|
71—1 |
1 |
I |
Г |
m{kJrl) |
Г |
ro (ft-fl) |
|
1 ^ |
mW |
||||||
; Д + 1 ) — |
1Г . ) т B |
e - * d z - e r * ) * п е Ч ^ + |
|||||
[ |
п |
J { |
о |
|
|
о |
|
т —2
71— 1 |
2 |
+ 1 - 2- —2
ft= 0 r = l
|
|
|
|
|
|
( 6 . 3 . 4 ) |
|
fcos 2л:г |
n> |
m777(72(A-+ l) |
2itr |
2nr |
|
|
|
|
|
в |
m COS |
|
r [m(*+l) , , |
|
|
— XCOS |
|
+ |
|
r |
~ |
|
|
|||
1 |
------Г--------+ 1 |
|
|
m |
||
L |
n |
|
|
|
|
|
|
+ (f — x)sin |
— 1 dt; |
|
|
||
|
|
|
m |
J |
|
|
6) m — нечетное
|
|
гt, |
|
|
|
|
n—1 |
m ( k + 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
J9 m (+ l,x )d x = |
t n |
, - 1 + |
|||||
|
|
2 ■f m(k+1) |
|||||||
|
|
0 |
n |
|
|
|
A—0 1 I ——---—+ 1 |
||
|
|
|
|
|
I |
П |
|
||
|
|
|
71—1 |
|
|
|
m(fe + l) |
|
|
|
+i-2 |
|
|
|
|
||||
|
|
<Щ ) |
+1] jJ т |
n |
-f- |
||||
|
|
|
Я г [ 2 |
||||||
|
|
m—1 |
|
|
|
|
|
( 6 . 3 . 5 ) |
|
|
n—1 |
fcoa-^- |
|
* |
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
2*1 |
||||
+ |
» 'i-,- |
^ |
e---m777 |
|
n m(*+l) |
e |
|||
^ г |
2 |
гИ2 * + 1 ) |
+Г]xJ л |
TC0Sm cos[ ? + |
|||||
|
*=0 |
r=l I |
n |
|
|
о |
|
L |
|
|
|
|
+ |
(7 — x) sin |
dx. |
|
|||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
2. |
Для функции |
j*Эт |
(—1, t )<2t |
справедливы соотноше- |
|||||
|
|
|
|
0 |
*. |
|
|
|
|
ния:
1 1 - 5 |
161 |
|
а) п — четное, ш — четное
7 7 l ( f t + 1)
|
л—1 |
|
v |
|
— jLi |
|
k=0 |
п—1 |
>7 7 l ( f c + l ) |
+12f t r |E ^ ± ll+ lj |
X " |
( - D * |
|
т |
|
( - 1 )*/ |
П |
|
|
|
r j-m(*+l) |
+1-Г |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
c 7 |
7 l ( i + l ) |
Tdx |
|
e—Td x — e~* b : |
n |
< |
+ |
п—1 |
т—2 |
|
2чг |
f |
m\K( k-+fl) |
|
|
|
2 |
/ i\Jk* |
t c o s ---- |
1 |
____ 2тсг |
|
|||
го |
л |
+ |
||||||
+ 1 2Ы |
2 |
( — Х ) в |
|
( |
— и |
— тсо s — |
cos [ - |
|
Т.Г7»(*+1) |
.) |
" |
|
L ш |
1 |
|||
|
|
|
|
У |
|
:=0 Г - 1 Х [ -----п + 1 J 0
|
+ |
(* — *) sin |^ J |
dx; |
|
|
|||||
б) га — четное, /га — нечетное |
|
|
|
( 6 . 3 . 6 ) |
||||||
* |
|
|
|
|
|
7 . - 1 |
|
771(4+1) |
|
|
|
|
|
|
|
(— 1 ) . |
" |
|
|||
Г |
|
|
|
|
|
чп |
|
|||
J Эт( - 1 , l)dt = |
|
2 ) |
ГГ»(*+!) + i | + |
|
||||||
О |
в |
|
|
|
|
*~° |
[ |
Я |
J |
|
1_у ( - 1)V _ |
|
|
f T- n r - e-xrft+ |
|
||||||
+ - |
£ r [ 2L(Mi)+ ij J |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 6 . 3 . 7 ) |
|
771— 1 |
^ |
2иГ |
t |
|
|
|
|
||
|
.1 |
fC O S 1— |
|
|
|
m |
Г?яг I |
|||
2 w ? |
4 i ( - ! ) * « |
|
” |
|
|
|
|
|||
|
|
f 2 » £ *± i? - t c o s — |
|
|||||||
+ |
r[E i*±ll |
|
' - 1 ’ T “ |
e |
m со8[ЯГ + |
|||||
k= 0 |
r—x L |
n |
|
-+ 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
(f — x)sin 2Щ dt; |
|
|||||||
в) ra нечетное, /га — четное |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Д—1 |
|
|
п»(*+1) |
|
|
( - 1 ,т) dx |
|
(-■l)*t |
в |
|
|||||
|
|
2r |"m(A+l)_+1"j + |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
*=о |
|
|
|
|
162
n—1 |
m—2 |
, |
|
Я - | i |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
fcosx r~ |
|
|
|
|
|
|
2r+l . |
|||||
2 V’ |
V |
(—l)*e |
" |
r* |
»<*±L> |
_ эдв1£ ± г |
|
г |
||||||
+ # 2 |
2 |
|
|
|
|
f |
|
|
e |
m cos |
I |
it----- |
i |
|
*=0 |
r. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TO |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.3.8) |
|
|
|
|
|
+ |
(t — -c)sinrc |
|
|
di; |
|
|
|
|
||
t ) n — нечетное, m — нечетное |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
t |
|
|
|
|
W (~i)*t |
m(k+1) |
|
|
|
|
|||
|
r |
|
|
|
= |
n |
|
|
|
|
||||
|
J Эт(—1, |
2d rfTO(A+ l) j.,1 |
|
|
H— |
+1J |
||||||||
|
o |
» |
|
|
|
|
|
|
*=°r L— |
|||||
|
|
|
71—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J - У |
_ |
|
|
----j |
x |
n |
eTdt -f- |
|
|
|
|
|
|
|
m i^oS,rT*[ » ( W |
+ lj 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.3.9) |
|
|
m_1 _ 1 |
|
. |
2r+l |
, |
m(t+i |
1) |
|
2r+l |
|
|
|
|
|
_2_ W |
|
(—l)ke |
C0S,t nt |
/• |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
— ТСОБЛ-------- |
|
|
|
|
||||
+ m A |
A£ |
0 tr Ip |
< |
m |
+ i ] |
r |
n |
|
! |
m COS |
[ « * ? + ■ |
|||
*=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4- (t — *)sirnt |
|
j dt. |
|
|
|
|
Таким образом, получены равенства для функции, пред ставляющей собой интеграл от функции Работнова дробного индекса, которые можно использовать как рабочие форму лы при вычислениях значений этой функции.
При проведении расчетов значений функции Работнова и интеграла от нее удобно в формулах (2.4)—(2.9), (3.4)—
(3.9) с помощью замены г — —— промежуток интегрирова
ния [0, 7] свести к отрезку [0,1].
По этим формулам была проведена серия расчетов на ЭВМ БЭСМ-ЗМ с использованием стандартной программы по квадратурам типа Гаусса (Я. М. Жилейкин, ВЦ, МГУ, вып. 26, 1967). Сравнение результатов с данными работы [87] показало, что предлагаемые методы расчета функ ции Работнова и интеграла от нее весьма эффективны и по точности не уступают упомянутым таблицам.
163
§ 4. Построение ядер последействия с заданными функциональными свойствами
Требуется сконструировать ядро последействия K (t—т), обладающее свойствами: а) 6-образности и б) двойственно сти. Под 6-образностью понимается выполнение следующих ограничений
К {t) оо при t -> —)—О,
(6.4.1)
К (0 -*■ 0 при t -> -j- оо,
00
j* K (t)dt < <х>.
О
Под двойственностью в широком смысле понимается, что как ядро K(t—т) уравнения Вольтерра II рода, так и его резольвента 6-образны, в узком — резольвента описывается той же функцией (но при других значениях ее параметров), что и ядро K(t—т).
Нетрудно видеть, что ядро Кл (A,, t) интегрального урав нения восстановления удовлетворяет условию двойственно сти в узком смысле в том и только том случае, если оно са мо является резольвентной некоторого ядра Вольтерра фа(£).
Пусть К*{%, t) — резольвента ядра <р«(£) и Фя(р)— изоб ражение Лапласа функции фа(£), т. е. фа(г)-т-Ф<* (р).
Тогда изображение функции К* (Я, t) имеет вид
Ф (р)
(6.4.2)
Действительно, если в уравнении U(t)—Я J 9* (t—x)U{x)dx =
= ф(?) перейти к изображениям Лапласа U(p)—XQ)a(p)U(p) =
_ |
_ |
_ |
Фа (р) _ |
= ф(р), то получим U(p) = i(p) + X 1 __?ф (ру ф (р). |
|||
|
|
|
t |
Следовательно, |
С/(0= 1К 0+Я |
(Я, t—т)ф(т)йт и таким об- |
|
, |
|
|
О |
разом формула (2 ) доказана. |
t |
||
|
|
|
Образуем уравнение I/(t)—ц J tf . (Я, t —x)U(x)dx=f(t).
О
Гб4