Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 81

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

п—1

Г

т(А+1)

( - 1 )A +l

 

+2А-0 r[=a± 3>+ i]JJ < * - >

3 'm(-l,x)dx .

 

 

Теперь остается вместо Э'т (±1, т)

подставить их значения

из формул (1.16)—(1.19). Окончательно будем иметь равен­ ства:

1)р= 1, п — любое целое (четное или нечетное): а) т — четное

 

 

 

 

 

 

Л — 1

m{k+1)

 

 

 

 

 

Эт(1»0

А. V * п

 

 

 

 

 

t

^

г Гт(й-Н) 1 ~Г"

 

 

 

 

*

 

 

г [ ~

 

 

 

л—1

 

 

 

 

 

 

го(А +1)

+ 1

2

 

>

+ lj ^

1т

п

e~zdx +

е~* \ х п

ё +

т

а^о r[^

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.2.4)

 

п—1

т—2

2кг

* m(A+l)

Чкт

 

 

2

*С08_^Г

 

 

+12

2

ж ^ ~ * ~ " ' М 1г+

 

А-0

- о

[“

+1J5

 

 

 

 

 

 

 

+

(t — х) sin 2r.r dx;

 

 

б) m — нечетное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П 1

m(A+l)

 

 

 

 

 

 

 

1

£ n

 

 

 

 

 

Эт (1) t) = t

^

lm(A

+

 

 

 

 

 

 

 

A=0 pi m(k+l)

 

 

 

 

 

. tZ.1

-

i4 m(A+l)

 

 

 

+

IL У

1

 

Г^ л g-td x - j -

 

 

 

m д

rp » £ h » + i] J

 

 

 

 

771—1

 

 

 

 

 

(6.2.5)

 

л—1

tcoa m

l

m(A+l)

2nr

 

 

 

2

 

+

—

 

 

e

 

i

------ —tcos—

4nr i

 

 

 

 

 

 

cos

1

m 2 2

''Г.+Н г

‘

'

m '

 

A=0

r»l

 

156

 

 

 

+

(f — t) sin

2 т.г

dv,

 

 

 

 

m

 

 

2)

P = 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a) n — четное, m — четное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m ( k + 1)

 

 

 

Эт(

 

1

^

<-*)*«

 

"

•+

 

 

1» t ) ---- — 2

т>Гт(й+1)

 

 

 

 

 

*=°

[ ~ и ~

 

 

n—X

(

I

(*

тКй'т1)

 

 

 

m(Hl)

.

1

 

 

 

Г*"*v

 

 

 

 

’

 

 

 

+

 

m A j . l r + i ) , . j K r

 

 

 

 

" « '*

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

nt—2

n—1 2

7» Д M

A=0 r=l

 

 

t c o s - r

t

 

 

2*r .

( _ l ) k e

™

л ЩВТ

 

P

»»(*+l)

—-cos—-

[Дгг

г[” -(*+ Ц +1|

ГJ

n

e

m cos

_

 

 

\ m

1

„

т

о

 

 

 

 

+

(f — t)sin ^ -rJ eh;

 

 

4-

1

б) n — четное, m — нечетное

 

1

П—1

 

m(A+l)

 

 

k*

n

 

(—lj

г

 

Этта (—1, t) = — 2d

_ Гт(Й+1)1 +

 

 

k = °

Г

—1 a-

-J

—

(- D ft

 

/* m ( k - j - l )

 

et V

 

 

"

e-x<h +

— ’V

г nWfe+n----i 1x

S-0

 

 

 

 

 

(6.2.6)

(6.2.7)

n—1

m—1

/ 4 ^ '

2^r

t%7П1Я+1)

__2ЧГ

г .

2

1 /я

2 V

V

(—l)*e

 

I

—-—

—TCO»—

4nr .

+4т -П2 2£ r p < ^ > + i j J

) T

“

e

m

C O S ----------b

 

 

 

 

 

 

 

. . .

.

2nr

eh;

 

 

 

+ ({ —T)sin —

 

157

в) л — нечетное, т — четное

 

 

 

 

 

 

 

Я—1

 

 

m(k+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(-1 ) * * п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V 4

 

 

 

 

 

 

э'm(—1, t) = — 2

У—

-I

 

 

 

 

 

 

 

 

"^Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

^«(*+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=п 1

--------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*=°

 

 

тГ

 

 

( 6. 2.8)

 

 

 

fcosrc2г+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тп— 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п —1

2

 

л

m(fe+l)f e -

 

 

 

?r+ 1

Г

2r+l

 

+Н 2

 

 

 

 

Г

---------- —tcostc----------

 

 

 

 

 

"

■

 

m cos

 

m

+

ш

 

v[m(k+l) _1_1

 

 

 

 

 

 

 

г= °

 

“

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

(f — t)s in ir^ jp j dr,

 

 

 

 

t) n — нечетное, m — нечетное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m(t+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П—1( - 1)4

п

 

 

 

 

 

 

э л - i , o = 4 - 2

г

'm(k+1) 1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

1 V i 1

( ~ 1 Г е ~ *

 

m(k+1)

 

 

 

 

 

 

 

f т[к* 1>

 

 

 

 

 

+

UT2

[

n

 

+1J°

"

eTdT +

 

 

 

 

г л»(*+1)

 

 

T

 

 

 

77t— 1 —1

{С03Т^Г+1

t

 

 

 

 

 

 

 

(6.2.9)

\ R

T

 

 

 

 

 

 

 

n—1

2

 

h j

m

 

л

 

 

2r+ l

 

 

 

 

 

 

 

f, m { k + l )

 

 

Го

2r+l

 

 

 

 

"

 

 

1

----------------•

—

- C

m

 

 

 

 

 

 

0 3 - ----------

2 ^ -----

+

Ld —d гГт»(йН-1)

 

j

T—

 

 

 

m

cos

+ i £

2

' f

 

1 | 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*=°

г=0

 

г | — л----- +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

ч .

2r+l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

(t — 0 Sini: — -

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

получены

такие

представления

для

функции Работнова

с рациональным

индексом,

которые

могут быть использованы в качестве рабочих формул при

численных

расчетах

значений функций на

интервале

0 < t ^ T ,

причем схема вычисления функций

Эта (1, t) и

Эт (—1,

t)

идентична,

 

П

что позволяет вести их расчет одно-

П

временно. Наибольшую трудность при вычислениях пред­ ставляет интеграл с осциллирующим подынтегральным вы­ ражением, однако к нему можно применить соответствую­ щие методы расчета [60, 81, 82].

158

§3. Замкнутая форма интеграла от функции Работнова

срациональным индексом

Спозиций, аналогичных вышеизложенному, представля-

t

ет интерес рассмотрение функций ] Эт (Р, x)dx,

О * имеющих приложение в наследственной теории упругости.

Как и в предыдущих параграфах, нас будут интересовать случаи р = ± 1 , переход к общему случаю при любом веще­ ственном р осуществляется использованием формулы пере-

t

1

1

хода j*9 a (P , x)dx= ifSafsignp, | р| at)dx.

0

^0

 

 

 

 

 

 

Аналогично приему, использованному в § 2, получим:

Случай р= 1

 

 

 

 

 

 

я

 

 

"Г1 ^

m(k+1)

 

 

 

t

П

+тг

 

J

 

=

2Ai 2 рГт(Ь+

, ■,] +

 

 

 

 

*=Ог=о г — ~—-+mr+1

 

п —1

 

 

С

m { k + l )

 

 

+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j£o r p ^ + ^ +mJV+lj jj

 

 

 

 

В частности, при iV=0 это равенство принимает вид

 

 

 

 

 

m ( k + 1)

 

 

С э„(1, T)dx =п~2%1

‘r p ^ + ^ + i j +

 

 

Q n

 

*=о

 

 

 

 

 

П—1

 

 

 

 

 

(6.3.1)

 

 

я

m (t-H )

 

+2

^

J ( f —0

п

Эт (1, x) dx.

 

,Jo r [

+ l ] 0

 

 

 

 

Случай

P = —1

 

 

 

 

 

 

а) при n четном в общем случае справедливо соотноше­

ние

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

я — 1 N

 

m ( k + l )

 

 

 

( - 1

 

-f - mr

 

 

— 1 , х ) d x = 2 2

) k t

п_________

+

 

 

 

+mr+ lj

 

 

 

*=о г=о

 

 

 

169

Смотрите также файлы