Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

В работах [39, 43] доказано, что для того, чтобы суще­ ствовал интеграл

от произвольной суммируемой на любом конечном отрезке [О, Т] функции f(t) и при этом представлял собой функцию

Предположим, что выполнено условие (4). Выберем па­ раметр А,>0 таким, чтобы было СГ(Д< ^-и перепишем усло­

где о„ вычислены как коэффициенты Фурье согласно из­ вестной формуле

45

00

j e-f 2 |jV (Xt) d x j e - ^ L ' M d t .

Воспользуемся известными оценками для многочленов Ла-

герра е-*1* \ L n(t) \ < 1, т | L'n{t) | < п, 0 < t < со,

тогда получим

где к = y |* e~ tl2 jV (ж) dx dt.

Последний интеграл сходится, так как Оо^-С - у и выполнено

условие (5), следовательно, величина а конечная. Рассмотрим изображение ряда (6):

Оценка (8) означает, что степенной ряд (9) сходится равно­ мерно по меньшей мере в области | z— Следовательно, ряд Лагерра (6) является представителем некоторого о. о. f с изображением F\(z), порождаемым степенным рядом (9). Покажем теперь, что функция F\{z) совпадает с функцией F(z), определяемой интегралом (3). Тем самым будет пока­ зано, что о. о. {/(f)} может быть отождествлен с исходной функцией /(f), ибо при условии (4) функция /(f) определяет­ ся однозначно (с точностью до значений на множестве меры нуль) своим изображением Лапласа — Карсона F(z) [43].

Коэффициенты ап разложения (9), вычисляемые по фор­ муле (7), в силу (3) могут быть представлены в виде

с другой стороны, в силу (9) имеем

Оп = !П-W * ) ! 2=Х •

Следовательно, в силу теоремы о единственности аналити­ ческой функции будем иметь F\{z)==F{z).

46

Приведенное доказательство означает, что пространство функций-оригиналов классического операционного исчисле­ ния является частью пространства обобщенных оригиналов, при этом отвечающие им изображения Лапласа — Карсона и обобщенные изображения тождественно совпадают.

§ 3. Обобщенные оригиналы, зависящие от параметра

Непрерывность по параметру. Пусть F(z, к) аналитичная по г в ограниченной односвязной области D и зависит от ве­ щественного или комплексного параметра к , пробегающего значения некоторой области А. Для VkQA имеем {f(t, Я)}4-

+F(z, к).

Примем, что при Я-»-Яо (Я, ко G A) F(z, Я) сходится равно­ мерно по 2 в произвольной замкнутой области D a D к функ­ ции F(z, ко).

По теореме Вейерштрасса, функция F(z, ко) аналитична в D и, следовательно, принадлежит пространству W(z)/(w).

Обозначим через {/(£, ко)} отвечающий изображению F(z, ко) о. о. О. о. {/(£, Яо)} будем называть о-пределом после­ довательности {f(t, Я)} и писать

Х-*Х„

а последовательность о. о. {f(t, Я)} будем называть о-сходя- щейся. О. о. {/(?, Я)} называется непрерывным по параметру

Я в области А, если при любом Яоб А имеет место соотноше­ ние (1).

Замечание. Очевидно, что непрерывность о. о. [f(t, Я)} по параметру Я равносильна равномерной непрерывности функции F(z, к) по параметру Я относительно z Q D .

Интегрирование по параметру. Пусть F{z, к) для любого zQ D интегрируема по параметру Я вдоль некоторого спрям­ ляемого контура Г, причем F\z, Я) равномерно ограничена в области D (ZQD) при любом Я6 Г. Образуем интегральную

| 2kF ( z, kk)Akk I <M((p)Z,

где I длина контура Г, то последовательность интегральных

47

где о = тах|АЯг |, то в силу теоремы Витали последователь-

i

ность интегральных сумм сходится равномерно в области D к соответствующему интегралу.

Это означает, что в пространстве обобщенных оригина­

о-сходится к некоторому о. о., который обозначим символом

х

Дифференцирование по параметру. О. о. {g(t, Я)} называ­ ется производной о. о. {/(£, А,)} по параметру X в точке Я = Яо,

равномерный по z в области D. Из определения следует, что

F(z,X)k=K.

Аналитичность по параметру. Если X комплексный па­ раметр, пробегающий открытую область А, то дифференци­ руемый по параметру X о. о. {/(if, А,)} называется аналитиче­ ским по параметру X. В этом случае F(z, X) представляет со­ бой аналитическую функцию по каждой из переменных zQD р XQA. В силу известной теоремы Гартогса функция F(z, А,) является аналитической по совокупности переменных (z, Я)

[23].

Разложим функцию F(z, Я) в ряд Тейлора в окрестности точки (z0, Я0) 6 ФХА)

который сходится равномерно и абсолютно в некотором би­ цилиндре Е :

\г— z01=^р1< гь |Я— Яо| < Р 2 < г 2,

где г\ и г2 — сопряженные радиусы сходимости рассматри­ ваемого двойного степенного ряда. Ряд (2) можно переписать в виде

F(Z, X) = 2 i £ л F(z, X) |х=х0• (X - Х0)к.

48

В пространстве оригиналов ему отвечает о-сходящееся раз­ ложение о. о. {f(t, А,)}:

{fit, я» = 2 £ № , щ к=х. • (я - h ) \

которое представляет собой ряд Тейлора для о. о. {/(£, X)} в окрестности точки аналитичности Я=Яо. Радиус сходимости этого ряда Тейлора естественно определить величиной гг.

Два аналитических по параметру Я о. о. {f(t, Я)}, {g(t, Я)}, определенные в области А и совпадающие на множестве то­ чек из А, имеющем предельную точку внутри А, совпадают при всех KQ А.

Действительно, два изображения F(z, Я) и G(z, Я) совпа­ дают (для всех zQD) на множестве точек Я, имеющих пре­ дельную точку внутри А. Следовательно, в силу классиче­ ской теоремы о единственности аналитических функций функции F(z, Я) и G(z, Я) совпадают по Я на всем множестве А. Этот принцип лежит в основе аналитического продолже­

Следовательно, £х-т-Г(Я+ 1)2х, (НеЯ>---- 1-).

Используя принцип аналитического продолжения по па­

ную степенную функцию. Как будет показано ниже, в точ­ ках Я =—1, —2, ... о. о. {fx} как функция параметра Я име­ ет полюсы.

П р и м е р 2.-^- е(/х-г---^-‘

Функция аналитична по Я в окрестности начала ко­ ординат г —0 для всех Я, удовлетворяющих условию | Я | > е