Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Очевидно, что f(t) 6 Ра [*] (или что то же F(z) 6 P[z—а]) тогда и только тогда, когда коэффициенты разложения (1)

удовлетворяют условию Коши — Адамара lim у | f п | =/=оо.

Т 1 -* СО

Ряд Лагерра (2), коэффициенты которого удовлетворяют условию Коши — Адамара, будем называть обобщенным рядом Лагерра.

Введем в рассмотрение пространство обобщенных рядов

абР

Ему отвечает пространство W(z) всевозможных степен­ ных рядов с отличными от нуля радиусами сходимости:

W(z) = UP[z— а].

аеР

Очевидно, соотношение (1) устанавливает взаимно-одно­ значное соответствие между A(t) и W{z).

Эйлеровский вариант обобщения понятия изображения, а вместе с ним и понятие оригинала могут быть описаны следующим образом.

В пространстве W(z) введем отношение эквивалентности

(w) по такому правилу: два степенных ряда F a(z)eP [z —a]

и F р (г) 6 P[z—р] отнесем к одному классу эквивалентности, если они являются элементами одной и той же аналитиче­ ской функции F(z), т. е. если существует простой контур, соединяющий точки z = a и z=(3, вдоль которой элемент F a (г) может быть аналитически продолжен до Fp(z).

В результате фактор-пространство W(z)/(w) по указанно­ му отношению эквивалентности w оказывается изоморфным пространству полных аналитических функций комплексно­ го переменного z, с которым и отождествим пространство

W{z)t(w).

40

Ясно, что отношение эквивалентности в пространстве W(z) производит в пространстве A(t) отношение эквивалент­ ности Л по следующему правилу: два обобщенных ряда JIareppa f a(t) и f&t) относятся к одному классу эквивалент­ ности, если отвечающие им степенные ряды F a (z) и F$(z) являются эквивалентными в упомянутом выше смысле. Соответствующее фактор-пространство пространства обоб­ щенных рядов Лагерра обозначим символом Л(£)/(Л).

По построению имеет место изоморфизм

A(t)/A<—>W(z)/(u0. (2.1.4)

Классы эквивалентности на Л(£), т. е. элементы прост­ ранства Л(£)/'(Л), будем называть обобщенными оригинала­ ми и обозначать символом {/(?)} (кратко записывать о. о.). Пространство Л(£)/(Л) будем называть пространством обоб­ щенных оригиналов, а пространство W(z)/{w) — простран­ ством изображений.

В силу (4) каждый о. о. {/(£)} находится во взаимно-одно­ значном соответствии с отвечающим ему, согласно (4), изоб­ ражением F(z), что будет записываться так: {/(£)}-4-F(z).

Напомним [100], что область G называется областью определения, а ее граница Г — естественной границей ана­ литической функции F(z), если F(z) не продолжаема анали­ тически за границу области G.

Gi(|z| < 1 ) и G 2( \ z —2|<3i). Каждое из указанных изобра­ жений порождает о. о.:

ifi(t)} = 2(ft!)!

па Fi(z).+Fa(z) и Fi (2) • F2(z) теряют смысл. Следовательно, операции суммирования и свертывания о. о. определены не для любых о. о., т. е. как пространство W(z)/(w), так и прост­ ранство A(t)/(A) яе являются кольцами. В связи с этим в последующем всюду без всяких оговорок будет предпола­

41

гаться, что области определения рассматриваемых изобра­ жений имеют не пустую область пересечения.

В частности, практически может считаться, что в каче­ стве пространства изображений рассматриваются аналити­ ческие функции, для которых областью определения слу­ жит вся комплексная z-плоскость за исключением некото­ рых специальных точек этой плоскости (особых точек изоб­ ражения).

В таких предположениях справедливо, например, свой­

изображению ctFi(z)+|3Cr(z), символом {а/(0+Р£(0}> то мы должны признать справедливым следующее правило опери­ рования с фигурными скобками:

{«/(*)}= а{/(0}

и

{«ЯО-Г МО} =«{/(*)} + РМОЬ

Ниже будет показано, что в отдельных случаях сущест­ вуют специальные правила различного рода оперирования с фигурными скобками.

Рассмотрим о. о. {/(f)}. Если в этом классе эквивалент­ ностей существует по меньшей мере один ряд Лагерра, ко­ торому некоторым регулярным способом сопоставляется взаимно-однозначно функция f(t) (последнее возможно, на­ пример, когда ряд Лагерра в том или ином смысле сходит­ ся к функции /(£))> то указанная функция может рассмат­ риваться как представитель класса эквивалентностей {/(£)} и в этом случае допускается отбрасывание фигурной скоб­

изображению, тождественно равному единице на z-плоско-

сти: {1(0} -т-1.

Очевидно, что разложение о. о. {1(f)} в ряд Лагерра име­

=2 ( - i ) ft- i - | - i ft(o. k=0

42

Известно, что упомянутый ряд Лагерра сходится при любом t> 0 к сумме, равной lnf+C (С — постоянная Эйлера). Следовательно, ln£ + C-=-lnz.

Замечание. 1. В рамках рассматриваемой теории единст­ венность обобщенного оригинала, отвечающего изображе­ нию F(z), понимается несколько шире, чем это имело место в классическом операционном исчислении. Так, о. о. {/(f)}, отвечающий многозначной функции F(z), может содержать различные компоненты, соответствующие различным ветвям функции F(z). Например, главной ветви логарифма Lnz от­ вечает оригинал 1п£+ С и, следовательно, функции Lnz отве­ чает о. о., состоящий из компонент вида \nt + C+ 2kni.

Таким образом, выбор представителя из класса эквива­ лентности {/(?)} может оказаться зависимым от выбора вет­ ви изображения F(z). Этот факт необходимо иметь в виду в случае, когда изображение является многозначной функ­ цией.

2. В дальнейшем, не оговаривая каждый раз, условимся строчными латинскими и греческими буквами /, g, ф,...

обозначать оригиналы, тогда как отвечающие им изображе­ ния будут отмечаться соответствующими прописными бук­ вами. При этом могут присутствовать индексы, параметры и т. д. Далее для о. о. будем опускать фигурные скобки и аргумент, сохраняя их в тех случаях, когда это необходимо.

Итак, запись /4-F(z), f\ -s- F a (z) означает соответственно

{f(t))~F(z), {h{t))+-Fa(z),...

§ 2. Обобщенный оригинал как обобщение классического понятия функции-оригинала

В принятой символике для о. о. {/(£)} фигурные скобки означают, что в общем случае о. о. нельзя рассматривать как обычную функцию переменной t.

Естественно возникает вопрос: можно ли и каким путем реализовать тот или иной о. о. в терминах обычных функ­ ций. Частично ответ на этот вопрос будет дан в настоящем

параграфе.

Рассмотрим сначала простейший случай. Пусть F{z) аналитична в окрестности начала координат, тогда разложе­ нию

П

(2.2.1)

отвечает 0-ряд Лагерра

43

Нетрудно видеть, что ряд (2) сходится абсолютно и рав­ номерно на любом конечном отрезке О ^ ^ Г к целой функ­ ции /(f) экспоненциального порядка роста. Последнее озна­ чает, что о. о. {/(0) реализуется обычной целой функцией /(f) экспоненциального порядка роста. При этом легко убе­ диться, что соответствие /(f)+-F(2) задается интегральным, преобразованием

0°

F(z) = ^ e ~ ~ f(t)dt.

О

Последний интеграл называется интегралом Лапласа — Карсона в терминах 2-переменной. В операционном исчис­

лении принято записывать интеграл Лапласа — Карсона в

оо

терминах р-переменной Ф(р) = р ^e~pt f(t)dt.

0

Замечание. В данной работе используется запись изобра­ жения Лапласа как в Z -, так и в р-переменных. Именно при изучении вопросов теории используется 2-переменная. Ока­ залось, что в терминах 2-переменной удается изящнее пред­ ставить свойства симметрии ряда важных операционных соотношений. В остальной части книги (в главах 5 и 6) ис­ пользуется традиционная запись в р-переменных. Переход

в степенные ряды, легко убедиться в справедливости следую­ щих операционных соотношений:

где iFi(^, y, f) — вырожденная гипергеометрическая функ­ ция, a 2Fi(i, 1; у; z) — гипергеометрическая функция.

Частным случаем последнего операционного соотноше­ ния является (а—2)x-+axiFi(— %•, 1; f/a).

Покажем теперь, что понятие функции-оригинала клас­ сического операционного исчисления является частным случаем понятия обобщенного оригинала.

44