Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Скачать файл (5,74Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 100

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

(где е > 0 сколь угодно малое число). Оригинал, отве чающий этому изображению, является целой функцией по

t и аналитичен по X при \| X\| >	е.
Рассматриваемое изображение при Х = 0 перестает быть
аналитичным в окрестности	точки 2 = 0. Однако при Я-И)
последовательность функций	—	сходится равномерно к

1/2 в любой области вида \z\ > р . Последнее следует из оцен

ки | г-1 _ (г_ Я)-11 = -у-'(2ХЛ ) , < р || —р | •

Если обозначать о. о., отвечающий изображению г-1, через

b(t), то вышеизложенное означает,

что оригиналы -i- etix при

Я-Ю (по произвольному пути) о-сходятся к Sit).

П р и м е р

Изображение 2 х е~г является целой функ

цией по параметру X.

При R e^> —1 {f(X, t} = t ^ J x

(2У*).

При R e ^ < —1 и Х Ф —1, —2, ... имеем

t i l l

СО

(—l)*{tX+*}

21е~г

-г-

jmi

•

к\

й !Г ( А + * + 1 )

k=о

А=0

Пусть теперь — n<<ReX,<<—1, Х ф —2, —3,..

- { п — 1),

Л — 1 (_!)*{гх+*}

(-1 ) ¥ +*

тогда 2 хе~гч- ^

ft/r(X+*+l)

k\ Г ( Л + А + 1 ) ’

к=0

к—п

И, наконец, если Х=—п, то

е ■ 2

П—1

+ 2

)«zk~ n

(—1)*в(ге_*—1)(tj

( - D *

( - 1

-2

z П

И г п~ к

*=о

+ ( - l) " t * J n ® V t ) .

Здесь о. о., отвечающий

изображению z~m,

обозначен

символом б <т~1) (f).

соответствующий

изображению

Таким образом, о. о.,

zxe~z,

является

обычной функцией

по t только

лишь при

ReA >—1.

Ю. Н. Работнов в работе [85]

ввел функ

П р и м е р

цию

Эа(Х, f) =

t~a

lntn{l-ct)

(0< а< 1),

(2.3.2)

п=о Г [ ( л +

1 )(1 —я)] ’

которая при а = 0 обращается к экспоненту elt. Эта функция играет важную роль при изучении упругой среды с после действием.

“	1	(°,<1)-
Очевидно, Эа (X, )--	\ nzn(x~a)~a= ^,а- 1 ц	(°,<1)-

Заметим, что функция Эа (Л, t) выражается через производ-
	00	хп
ную функции Миттаг — Лефлера Е^(х) =	^
		m n + l) - по-
средством равенства Эа (Я, i) = ( l—a)t~a	п—О		Однако
	Эа(А, t)
важные для практики свойства функции			на языке
функции Миттаг — Лефлера выражаются в		виде	громозд
ких формул. Вместе с тем функция (2)	как	специальная

функция представляет теоретический и практический инте рес независимо от функции Миттаг — Лефлера. По этой причине в последующем функцию Э«(Я, t) будем именовать функцией Работнова.

Очевидно, функция Работнова аналитична по парамет ру а при R e a < l. Представляет интерес осуществить анали тическое продолжение этой функции по параметру а в об ласть R e a ^ l.

Рассмотрим случай а > 1 . Имеем

I3.(t,		<2-8-8>
Так как 1—а < 0 при а > 1 , то		Эг-<х (~Т~’ fj.
Следовательно, для а > 1	ввиду (3) имеем
Оа (X, *)} = -	X -	-ЕГ Э2- “ (-Г ' )
Итак, о. о. {Эа(X, t)},	отвечающий изображению (3), при
любом а, представим в следующем виде:
Эа(Х, t)		при а< 1,
{Э»(Х, г)}= И 8«>		при а=1,
{Э»(Х, г)}= И 8«>

при а>1.

В заключение отметим некоторые характерные особен ности о-сходимости. Нетрудно видеть, что о-сходящимися последовательностями оригиналов могут быть последова тельности просто сходящиеся, сходящиеся равномерно, схо дящиеся в среднем, расходящиеся (в обычном понимании).

Это указывает на широту охвата различных последователь ностей о-сходимостью. Однако здесь, как и в теории сумми рования расходящихся рядов, наблюдается потеря остроты метода с увеличением его мощности [107]. Действительно, можно привести пример последовательности функций-ори гиналов, равномерно сходящейся на [0, оо) и вместе с тем не удовлетворяющей критерию о-сходимости.

П р и м е р 5. Так как

t2 = Z ( - t ?)nlnl,

t2n (2ге)! z2";

то

В левой части этого соотношения имеет место равномерная сходимость на [0 , оо), тогда как в правой части ряд всюду расходится. Таким образом, из отсутствия о-сходимости некоторой последовательности еще не следует, что данная последовательность вообще не сходится.

§ 4. Обобщенное значение о. о. в точках г= + 0 и f = + oc

Вопрос об определении значения о. о. в произвольной точке связан с вопросом о реализации о. о. в терминах обыч ных функций и, как это имеет место в теории обобщенных функций, невозможно в общем случае ввести понятие зна чения произвольного о. о. в произвольной точке t. Однако, опираясь на так называемые теоремы тауберова типа, кото рые при определенных ограничениях, накладываемых на оригиналы, увязывают значения изображений на концах промежутка [0 , оо) со значениями оригиналов на концах промежутка [0 , оо), целесообразно ввести следующее опре

деление.

Назовем обобщенным значением о. о. f в точках f = + 0

и г= + оо соответственно величины пределов limF(z), limF(z)

г-*-+0 2-> 4* х

(если они существуют).

Корректность этого определения следует из теорем тау берова типа при тех ограничениях, когда эти теоремы спра ведливы [25,225].

Например, так как

то

lim cos t = lim тт~г, =			1,
t-j-fO	z-^ + Q 1 ^ 2 *
lim e~* =	lim el =	lim	— 1,
f-*-+ 0	f-* + 0	z-<-^01 — 2
lim e~x = lim		r r - = +0.
со	г-* + x ^ ‘ 2

Однако в тех случаях, когда теоремы тауберова типа «не работают», приведенное определение может приписать однозначно оригиналу f{t) некоторые вполне определенные значения в точках £ = + 0 и f =+oo, тогда как на самом де ле никакого определенного значения функция f(t) может не иметь в этих точках.

Например, [107] lim sint = \imrr^—r, =0, limcosf = lim гг~:,=
z->+ccJ,"i-2"	t-+*+ oo		+ ооА_*"г
= 0, lime' =lim - Д - = —0.
f->-+ CO 2--+ 00 ^		оригинала е 1 в
Таким образом, обобщенное значение
точке t = + оо равно — 0.			что приве
Замечание. Последний пример показывает,
денное определение не чувствительно	к	росту экспоненты,

в то время как на рост степенной функции оно реагирует вполне естественным образом.

Г л а в а 3

ОПЕРАЦИИ НАД ОБОБЩЕННЫМИ ОРИГИНАЛАМИ

Ранее было показано использование простейших (оче видных) действий над о. о., таких, как сложение о. о., умно жение о. о. на числа. В настоящей главе предстоит распро странить на пространство о. о. более широкий класс дейст вий. Общая схема такого распространения довольно проста.

Всякая процедура над аналитическими функциями (изображениями), приводящая к аналитической функции, порождает (индуцирует) соответствующую процедуру над обобщенными оригиналами, отвечающими упомянутым

изображениям, которая приводит к соответствующему о. о.

Иными	словами,	операция TF{z) = <b(z) (F(z), Ф(г)
6 W(z)/(w))	порождает	в	пространстве о. о. операцию Т*,
такую, что T{/(£)}= {cp()},			где {f(t)} -=-F(z) и {ф(£)}-^Ф(г).

В тех случаях, когда оператор Т* на классическом про странстве функций оригиналов или, скажем, на простран-

___

стве P0[i] имеет смысл вполне определенного оператора Т,

то оператор Т* можно рассматривать как расширение (обоб-

щение) оператора Т на пространство о. о.

Расширение оператора при определенных ограничениях

является единственным: если оператор Т, не всюду опреде ленный на Л(*)/(Л), осуществляет отображение A{f)/(A)->-

-*-A(t)/(A) и индуцирует на W(z)/(w) оператор T:W{z)/(w)—>-

-+W(z)/(w), область определения которого совпадает с про-

странством W(z)/(w), то расширение Т* оператора Т единст венно.

Так, расширение регулярного оператора Т единственно.

Оператор Т называется регулярным, если:

а) T@W(t)+T(z— а)п;
00 б) Т — линейный	оператор и	любой		степенной	ряд
2 cA(z—Р)* оператор Т преобразует			в	равномерно	сходя-
А=0	оо

щийся в некоторой области G ряд 2		ckT (z — р)*.
Цель настоящей	А = 0		свойства операторов
	главы — изучить

над пространством о. о., порождаемых (определяемых) соот ветствующими операторами, действующими в пространстве изображений.

§ 1. Регулярные операции

п. 1. Интегрирование о. о. Поскольку z n | L n (x/zo)dx-r-

4-z(z—z0) n и умножение степенного ряда на z не изменяет его радиус сходимости, то операция интегрирования явля ется регулярной операцией. Следовательно, операция инте грирования определена для произвольного о. о. и задается операционным соотношением:

			I
			§ { m d x + zF{z).		(3.1.1)
Отсюда следует,		что	t
		t	t
	j	. •	. j{/4x)} {^т}" "■2nF(z).		(3.1.2)
	o		o	t	t
				t	t
Кроме того, поскольку zn(z — z0)k+ z0kj . . . j Lk(z/z0)dzn =
	t			o	o
Z k	t
Z k	r*			и умножение степенного
=	\ (t — ■z)n- lLk('z/z0)dz			и умножение степенного

ряда на z" не изменяет его радиус сходимости, то операция t

(Д_ i)fj (t—т)п_1 (-)dt определена для произвольного о. о. и

задается операционным соотношением

t
_ l _ t f {t _ ,)n- l { m d x + 2 np(z)	(3.1.3)
0

Это операционное соотношение является частным случа ем более общего правила (правила свертки).

Сравнивая (2) и (3), заключаем, что в пространстве о. о. справедлива формула Коши

t	t	t
j	. . . J {/(t)}dxn =	J* (t - t)«-i {r(^)}dt.	(3.1.4)
0	0	0

n. 2. Свертка о. о. Пусть точка Zo принадлежит общей части области аналитичности изображений F(z) и G(z). Тог

да если

F(z) = V a„(z — 2о)в,			\ z — zc \ < p(F),
71=0
ОД= 2 K	( z - z 0)n,		I z -	г0 \| < p(G),
л=0
то
F(z)G(z) =	1	771=0	—m^n	(z — z0)n,
	71=0	771=0

который сходится абсолютно и равномерно в круге |z —Z q \ ^

^ r< m in [p (F ),			p(G)]. Следовательно,	ряд Лагерра
00	/	71
2	I	^ ап—тЬт I ZQn L n (t/zQ) является обобщенным и пред
71“ 0 \ 771=0			некоторый о. о., который в силу свойства
ставляет собой			некоторый о. о., который в силу свойства
многочленов Лагерра
		t
		zo го dt	( гв j ■^'n('t/zo) ==	Lk+n №1го)>
		o
естественно определить как свертку двух о. о. и писать
			t
		JT j {/(■ - ■)} {^(T)}dx-		F(z)G(z).	(3.1.5)
			о

Смотрите также файлы

Андреев, Г. С. Запорная арматура.pdf

Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона.pdf

Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf

Беленький, Я. Е. Многоточечные бесконтактные сигнализаторы температуры.pdf

Белопольский, И. И. Стабилизаторы низких и милливольтовых напряжений.pdf

Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно