Файл: Прикладная математика [сборник статей]..pdf

превращается в тепло.

1

Определим скорость, с которой часть энергии звуковой волны

поглощается вследствие вязкости, а часть

рассеивается

благода­

ря присутствию сферического препятствия.

Пусть сферические звуковые волны, исходящие от точечного

источника Е , распространяются в вязкой

среде и встречают

на

своем пути абсолютно твердую и неподвижную сферу радиусом

а ,

центр

которой находится

на расстоянии

6

от источниКа^вдка Е

При установившемся движении (с временным множителем

1)

зада

ча

определения акустического поля

вязкой среды приводится

к решению двух уравнений

Гельмгольца:

. дср4-Лг[ф=0 ;

д<Р+/^Ф=0,

(I)

^ = 0 ;

Г0= О ;

J V 0 ,

( 2)

где «

! - с ч

’

: V т

3 5 л

* =

“\ Г

К ,

r 8 , V v

- проекции скорости точки на оси сферической

Р , в , U)

системы

координат, связанной

со

сферой;

-

сферические координаты;

о

-

частота

колебаний.

Я=0

(k%r)?n (cosBj£>-6 ^ 4-

*ik i "Hi A n (In +-1)hn (ki&)hn(klr)Pn (co$0 )p'6ii'; (3 )

'

> r)

где

hft{z),jf](z)

- сферические

функции Ханкеля и Бесселя

J^rj (cos 9)

П -го порядка;

о

-

полиномы Лежандра;

Aft

и Bft -

постоянные

коэффициенты, определяемые

по

д

следующим формулам:_ .

_ - П (п+Р/п [к^а)Ьп {кгаЬк^<Х]п(кух) \kiahb(к^акЬ^а)]

Ал

kfik'n(k.ja) [к ^ К (кгakhn[кь^\-п (п+ 1)ЛЙ (к^)кп [кьа)

в

_ k ih n ik iS jjJ k ia l+ k iA n h n (k i& )h n (k ^ c t)

(4)

Л

к 2кп (кг6)[k0ia/}l,l(k1a)fhftikla}]

ГДе

Jn (z)=

M

Ш hn (z)-

где ? Г Р °7 Г

F On

•давление и радиальная скорость па-

э

= ,

дающей сферической в'олны; .

ps,=p Q^ £ £ ; y^r= -J& ’^

давление и радиальная скорость волн,

отраженных от сферического препят­

ствия.

Так как

механическая

энергия в замкнутом

пространстве

остается постоянной, то среднее значение этого

интеграла пред-

4 - И 1 Р , У£г * р ^ 9 е )с1$.

(5)

рой меньше б ,

но значительно больше величины

, ]*>'* -

толщина вязкого

пограничного слоя:

.

•

h j w *

(б)

В этом случае потенциалы скоростей падающей и отраженной

волн имеют вид

сp p = i k i ^ { l n + { ) h n i k i6 )jn (Ajе)Рп ( c o s 8 ) e~6 i l ;

ф < г=ik. £

[In+1)Д я {kjS)hn(к{г)Рп(co s 8 )e■6ii

(?)

A

n=0

с высокой степенью точности можно ограничиться

двумя первыми

членами в разложении (?)..

Найдем значение интеграла (5) при монопольной составля­

ющей падающей

волны. Для этого в формулах (7) нужно поло­

жить п = 0 .

Тогйа для действительных частей потенциалов

скоро­

стей падающей

и отраженной волн будем иметь

=ki [/о(A^jsin 6t-ji0{ki6)ca$6t}j0 (k%r);

(8)

<ps =

k ^ 0j 0{ k s ) - 5 0Tia ( k ^ t i a e t -

[60j 0 { k ^ ^ n d k ^ ) J c o s e tj,

где

a 0=H0j 0{ki&)-Kon °

60 = H 0n 0{k^ + K o j'o ( k t 6 );

Aa=Hn+iKD=

j o ( k

j

O i .

K ik ^ a )

’

- 98

-

В этом случае значение, интеграла (5)

/ г=-6Яр0С(5'

1

(is)

1+ к\61.

Н%.

к \ а Ч \ а г и к\6г

(17)

Этот результат в совокупности с выражением (II)

опреде­

сферическом препятствии.

^

Е|зли значение а. имеет порядок

]?>

или меньший,

чем {У

f то вследствие

малости к \&

1

4ра t+ра

и потеря энергии, выраженная

через

поток

энергии

в первоначаль

ных волнах, оказывается равной

ska

1+

1

1

•

1

Т\аг.

(18)

ра

|Ь сзг

'Н16Ч

В этом случае выражением (II)

в сравнении

с

полученным

выражением вполне можно пренебречь.

Таким образом, формула (18)

определяет ту

часть энергии

в падающих волнах, которая поглощается вследствие вязкости

среды.

Если в формулах/(1 7 ),

(18)

перейти к пределу при<5-—°°,

то полученные результаты

совпадут

с

результатами

работы [2 ],