Файл: Прикладная математика [сборник статей]..pdf

В ы в о д ы

На рио. 1

,в

и рис.

2 видно,

что переходный процесс

mokhq, разделить на два характерных этапа: первый?- быстрый,

связанный с ускорением

пластинки;

второй-более медлен-

О

с

выравниванием параметров газа по координате

ный, связанный

для

Рр= 0,07

кг/м 2,

что соответствует пластинке из бумаги

толщиной 0,1

мм, и Pi/ps = 1 ,5 характерное время разгона

пластинки составляет

около

300 мксек, тогда как проходящая

волна Т остается звуковой и через 6000 мксек после начала

взаимодействия.

Наряду с ускорением пластинки при взаимодействии с удар­

ной

волной происходит

также

изменение внутренней энергии га ­

окончании

переходного режима, когда давление

газа

с

обеих

сторон от

пластинки выравнивается, плотность

газа

будет неоди­

наковой с

разных сторон от пластинки. Это следует из

того . .

факта, что

на пластинке энтропия частиц газа не меняется со

временем,

причем

<Sfp>S£p , поэтому

Sjp >S£jf и, следова­

тельно,

< р |р .

С ростом интенсивности падающей ударной

волны этот

эффект

увеличивается.

f ( x ) = \G ( x - i ) < ip ( t) c tt

(I)

называется преобразованием свёртки с ядром 6 (X)

функции

в функцию i (х)■

( 2)

По формуле обращения будем имет$

c*too

•

Gli)= iW

i j

Лш

ds*

е * Г (7)di ’

( 3)

w * i

° °

C - l

A

Т е о р е м а

-

I .

Пусть

<jp

(t) -есть функция действительного

переменного

t

,

непрерывная

в

любом конечном

интервале, причем

Git)

\ e ' ‘s t cp (t)d t= F (R ),

0<Ае$<сг,

t

есть

функция действительного переменного

, удовле-тво-^

ряющая формулам (2) и (3 ), причем

от

величины

С

достаточно

потрв

бовать, чтобы

она

могла

принимать

значения

О < С< 6

$ а .

Функция

,

аналитическая

в полосе

0<Re$<8 ,

равномерно

стремится

к нулю при \JtnS\-~<:* и

интеграл

Т °*

F(s)

,

. . .

сходится

' Д - . W * - 0 < с < < ’

абсолютно.

Тогда для преобразования выраиения (I) получим

— r r = - \ e ~ sx!( x ) d x t

Q < Res< 5.

(4)

Д р к а з а т е л ь с т в о :

д

№

^ G

. { x - i ) v m

t - ^ \ m \ d t

5

<р W * ‘ * ‘l)m

d s =

-L

cliR

cC+iR

кR

.

“ l W

U mЫ

-R

EшM^ - т я т ’

1

A

C+1‘

1

e sx E M

’

0 < e < & ( C M .

4

) , '

-

E

M

a

f-iOO £

ТШ s . \ e ~ 3*£(x)dx,

(си. [ г ]

) .

Е (si

Формула (4) представляет собой двустороннее преобразование

Лапласа функции

£(х).

Применим к нему известные теоремы предельных соотношений

[5 и

6.J.

По теореме абелевого типа имеем

Ига

-t(x)

; i , o

W

- D W

V > -1 .

(5)

Х->+°о

X*

'

Аналогично

tim

t*

- и м »

Г(\)+1)

■

(6)

/~»+оо

+o

Если далее

предположить,

что A = t i m £ W * 0

,

■ТО получим

■

'

J

Um

KV

~

к

/ 1ГП

V?>-1

,

(7)

у)}

I

►+«и

Л

t - * * o e

X —►+«-*

при одновременном существовании обоих пределов.

Если функция

Cp(/J

монотонна

при i >0

, то

справедливо

соотношение

S**[F(sJ

lim

lira

- S J »

(8)

s'—

+о

ГЫ +i)

I -» +О0

t

Отсюда по формуле (5) получим

tim

i M

1

СР(М

V > - i.

(9)

Х - » + со Л

к }™ оа ( 9 '

Рассмотрим

далее

двустороннее

преобразование

Лапласа

(4)

в несколько ином порядке. Применим к нему сначала теоремы

тауберового

типа.

Например, получим [5 и б] х

Um

= M im

ГЫ+2)

*

( 10)

^■-.+0

Е (£)

х-+-оо

если

Q

при

х > д ,с > 0 .

Сравнивая эту

формулу с

№Формулой (б ), получаем

-гг lim

Ф («

уlim

Лl(u )d u

\ ? > - 1 ,

(И )

I

г v

w

у v?+5

Щ Щ I -*+ оо

t

Л-*+Х-++

ео

00и

если

при

ЛГ>О( ?->0.

Т е о р е м а

2 .

Пусть (p(i)

есть функция действительного переменного i ,

непрерывная в любом конечном интервале, причем

°\e-*t<C>(t)dt = F(s) ,

a < R e d < 0 ;

Функция

1 аналитическая в полосе $ <ReS< 0 , равномерно

FM 1

| J m s |

- с о и интеграл

стремится к

нулю при

С*/оа

J

d s ,

6 < с < О

сходится абсолютно.

С-too

EIS)

Тогда

для преобразования (I) получим

Fid)i = j e ~g/f ( x ) d x ,

% <R Pd < 0

(12)

E (s)

Формула (12) представляет собсТ двустороннее преобразо­

вание Лапласа. Применим к

нему предельные теоремы

абелевого

и тауберового типов

[5 и б ].

По теореме абелевого типа имеем

Их)

s ^ F l s )

(13)

lim

~ J

T

^ - ^

Qr{0x\)F(S)

>

А

* —С'©

* *

v

Аналогично

A

rfV -1 )

( W )

Если lim E(s) = W Ф0

, то

отсюда

следует

J — -o

lim

m

V

' - l .

(15)

у\

т О г - Ф -

X -* -oo л

при Одновременной существовании обоих пределов.

Если жепредположить, что <р(() есть

функция монотонная

при f <0

, то

требование существования

обоих пределов

в

lim

Х''

\ ?> - 1

( 16)

X— -со

Исследуем далее

асимптотику преобразования формулы

(12)

го типа [5

и

в) .

1X1

Имеем

<7+1 FW

J

i(u)du

'

l i m

- U m

r w +л

-IXI

(17)

г г*\

,0+1

./— -о

E(S)

JC-“ -Оо

N b - 1 ,

если С’|л'|'7+-/(х)^0

при

JfcO , С ьО ,

Использовав формулу ( Ш , получим

Um

mi /)

.

■ f H u) d a

N? > - l

(18)

X-»-oo

i-» -o o t

если 6

X1 4 /( x M 0

при

Л < 0 ,6 > 0 .

Если

функция /

{x) монотонна при х < 0 , то ..п^теореме

тауберового

типа

имеем

. .

- U m Г ( ч М ) - ^ - ,

\7> —1

(19)

um — Т О

^ _ * _ 0

J l lS J

X —-оо

Отсюда, учитывая формулу (IA), получаем

Ш

п

а

р

и

т

( 20)

i-*-oo £L v

XX-«»-«---aoo

Аналогично

можно получить

другие подобные результаты.