Файл: Прикладная математика [сборник статей]..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 56

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 99 -

2. Лайб Г. Гидродинамика. М., Гостехиздат, 1947.

3. Мор Ф. Колебания и звук. М., Гостехиздат, 1949.

ю.п. ИЛЬИН

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СЛАБОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ

СИНЕРЦИОННОЙ ПЛАСТИНКОЙ В ГАЗЕ

Вработах, посвященных исследованию взаимодействия сла­ бых ударных волн с различного рода объектами в газе , как пра­ вило, не затрагивается вопрос о влиянии массы объекта, а основ­ ное внимание уделяется его форме и другим геометрическим ха­ рактеристикам.

Вданной работе на примере задачи о нормальном взаимо­ действии ударной волны с пластинкой изучается роль сил инерции пластинки в процессе передачи'импульса.

Постановка задачи и основные предположения

Рассмотрим одномерную нестационарную задачу, когда все зависимые переменные представляются функциями одной простран­ ственной координаты X и времени t .

Будем считать, что-среда представляет собой идеальный, совершенный газ; процесс - адиабатический и пластинка - абсо­ лютно твердая.

Первые два допущения основываются на том, что за харак­ терное время взаимодействия ударной волны с пластинкой (око­

ло

Ю-4 сек) процессы, связанные с теплопроводностью, вязкостью

и

внешними притоками тепла, не успевают развиться. Поэтому

ими можно пренебречь.

Для небольших интенсивностей падающих ударных волн можно пренебречь также деформацией материала пластинки и.считать, что пластинка ведет себя как целое. При этом допущении можно, принять, что пластинка - бесконечно тонкая, и характеризует­ ся поверхностной плотностью массы Рр .

В исходном

состоянии пластинка и газ с обеих

сторон

от

нее находятся в

покое.

В начальный момент времени

t = О

слева на пластинку р

падает ударная волна

I заданной

ин­

тенсивности (ou,X -t

диаграмму на рис. 1 ,а ) .

Требуется

опре­

делить последующее развитие процесса.

- 100 -

Качественно речение процесса представляется следующим. В первый момент взаимодействия вверх по потоку отражается ударная волна R , интенсивность которой определяется из условия равенства нулю скорости пластинки в момент образо­ вания волны. В результате на пластинке возникает перепад дав­ ления, под действием которого она начинает ускоряться. При этом вверх по потоку от пластинки образуются волны разреже­

ния,

которые, догоняя

отраженную ударную

волну R

, ослабляют

ее .

Вниз

по потоку

идут волны сжатия,

которые,

усиливаясь,

переходят в ударную волну Т . По окончании переходного про­ цесса, связанного с передачей импульса'через пластинку, отра­ женная ударная волна Л должна перейти в звуковую волну, а интенсивность ударной волны Т должна достигнуть интенсивно­ сти падающей ударной волны I .

Система уравнений, граничные и начальные условия

Будем искать решение, зависящее от переменных X и / и принадлежащее к классу кусочно-непрерывных дифференцируемых функций с конечным числом разрывов.

Очевидно, что систему уравнений нельзя записать в диффе­

ренциальной форме для всей

области течения.

 

>

 

В плоскости X - t

линиями,

 

на которых

решение

нашей

за ­

дачи терпит разрыв, могут

быть

траектории

ударных

волн

К

и Т

и траектория пластинки

р

(рис.

1 ,а ) . Эти

линии делят

всю

область течения на зоны

I

- 5 .

В

зонах 1 ,2 ,5 параметры

газа

постоянны и известны. В зонах 3,4 течение непрерывно,и здесь

справедливы следующие

дифференциальные

соотношения

[ l]:

уравнение неразрывности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( I ,

уравнение

движения

д и

 

др

 

 

 

д и

• 1

= 0 ;

 

 

di

+ и дх

j> дх

( 2)

уравнение

адиабатичности процесса

 

 

 

 

dt

дх

( 3 )

 

IOI -

Рис. 2. Траектории (а) и зависимости интенсивности отраженной ударной волны (б) и скорости пластинки (в) от вре­

мени t

- 102 -

где U - скорость частиц жидкости; р -'плотность; Р - давле­

ние;

S - энтропия.

 

 

 

 

К этим уравнениям надо добавить уравнение состояния

идеального газа

 

 

 

 

 

S = c r Vn (/>/ру)+ const,

 

 

(4)

где С у - удельная теплоемкость

газа

при

постоянном

объёме;

~у=Ср/Су- отношение теплоемкостей.

 

 

 

Решение

систем уравнений

(I) -

(4)

(рис. 1 ,а ,

области З.'А

удовлетворяющее начальным условиям и условиям совместности на

линиях разрывов R , Р

, Т , дает решение поставленной

задачи.

 

Условия совместности на ударной волнеR

даются соотноше­

ниями Гюгонио

[ i] , в

число

которых

входят:

 

 

 

уравнение

сохранения

массы

 

 

 

 

 

 

 

Рзл УъR = p%v&;

 

 

 

(5) ■

уравнение

сохранения

импульса

 

 

 

 

 

 

PiRV}RW}R+p}R- p i Pi U;i-<-pi ;

 

 

(6)

уравнение

сохранения

энергии

 

 

 

 

Р з А ^ А ^ Г

+

^ А ^ .5 Л =Р л ( у

 

 

(?)

где

v = u

- U b

- скорость частиц газа относительно

ударного

 

 

е

фронта;

 

 

 

 

 

 

 

- внутренняя

энергия

газа на

единицу

объема,

 

 

 

еж Т ^ ~ " 9 ~ '

о

 

 

(Ю

 

Аналогичные соотношения можно написать и для ударной

волны Г .

Условия совместности на пластинке^ включают

в себя

условие непроницаемости

 

 

 

 

(9)

 

 

 

и з р - Н

h р - U

p

 

 

 

■ уравнение движения

пластинки

 

 

 

 

 

 

 

Ру~Р*р=?рЬгр, '

 

 

 

(10)

где

Up -

скорость пластийки;

 

 

 

 

 

Up - ее ускорение.

 

 

 

 

 

 

Начальное

условие дается равенством

 

 

 

 

 

 

Up =0

при

Z -0 .

 

 

 

(И)

Метод расчета и результаты

Основные особенности использованной расчетной схемы для одномерной нестационарной задачи о движении газа описываются

-ю з -

вработе [21. Область течения разбивается на зоны линиями сильных или слабых разрывов. В этих зонах система дифферен­ циальных уравнений (,Т)-{3) аппроксимируется разностными соот­ ношениями в подвижной координатной сетке..В схеме использует­ ся метод ^'предиктор - корректор", дающий ей второй порядок точности на гладких решениях.

Перейдем теперь к безразмерным величинам. В качестве

характерных масштабов возьмем

величины

р % ,

, р р . Тогда

решение задачи ( I ) - ( I I) надо

искать по

системе

 

p-PiPlx.t.pt/Ps.p;

 

 

<

 

“ ~ т

/

 

 

 

 

 

 

Ц с ;

 

 

 

 

р=р5рlx.t,£i/ps,p;

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

' i f-дгр*/рP . i*tyPs~Pt Vpp

 

 

 

 

 

где U , p

,

p

-

безразмерные

функции

своих аргументов.

 

 

Отметим,

что

величина

р р

вошла^ лишь

в X

и t

;

поэтому

достаточно произвести расчет только для одного конкретного

 

значения

 

 

,

так

как

для!

других

значений

рр

решение

мо'кно

 

ч получить. соответствующим выбором масштаба длины и времени.

 

 

На рис.

1 ,6 ,в и ри с,2 приводятся

результаты расчета

 

для

 

1 ,4 .

На рис. 1,6 изображен график

зависимости

интен­

 

сивности отраженной ударной волны R

от времени.

По оси

 

ординат

отложена

безразмерная

величина

 

 

 

о

 

 

где

Ct -

скорость звука в

зоне 2;

t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, а по оси абсцисс -

На рис. I , в

приво­

 

дится зависимость безразмерной скорости пластинки

Up =Up/U±

 

от

времени

I

 

. Кривой I соответствует Pt_/p% -

1 ,377,

кри­

 

вой

П -

рг / р ъ = 1,500.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Распределение давления, плотности и скорости газа

по

,

координате

для трехразличных моментов

времени

давтся на р и с .2,

цде

по осям ординат откладываются

безразмерные величины

 

 

 

 

 

 

P/Ps'l

 

»

P / Р И

и

U = u /u t ,

 

 

 

 

 

Р =Я Ш ’

R

PiYPs-i

 

 

 

 

 

 

соответственно . здесь

Р * л Р*\ыа

и Pj =P*I<=0

 

 

Смотрите также файлы