ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 51
Скачиваний: 0
- н о -
Л и т е р а т у р а
1 . Титиарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.-Л., Гостехиздат, 1948.
2 . Вандерполь Б. и Бреымер X. Операционное исчисление на
основе |
двустороннего преобразования Лапласа. М., |
Изд-во |
и н остр .ли т.,1952. |
3. Хиршман И.И., Уиддер Д.В. Преобразование типа свёртки. М.,
Изд-во иностр.лит., 1958.
4 . Фихтенгольц-Г.М. Курс'дифференциального и интегрального исчисления. Том П. М .-Л., Гостехиздат, 1951.
5. Чернов В.М. Предельные соотношения для некоторых интеграль ных преобразований.- В сб . : Ученые записки Московского Государственного заочного педагогического институ
та , |
вып. 3, 1959. |
|
6 . Чернов В.М, |
Некоторые предельные соотношения для двусто |
|
роннего преобразования Лапласа |
и их приложения. - |
|
"Известия высших учебных заведений. Математика", |
||
1961,К" 4 . |
|
|
|
Е.Т.РАКЕНКОВ |
|
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ В ЗАДАЧАХ АНАЛИТИЧЕСКОГО |
||
|
КОНСТРУИРОВАНИЯ |
|
Рассмотрим |
инвариантную относительно |
группы Sn нелиней |
ную многомерную однотипную систему автоматического регулирова
ния (МОСАР) типа t i x t n , |
уравнения |
которой |
имеют вид |
|
||
X£ = l \ |
(x±f . tXn) + f |
(Li |
... ,Xfi)) |
( i —1,2.,...,л ) , |
(I) |
|
|
/ а д = о , |
|
|
|
|
|
где |
) - |
линейные*форш |
от |
переменных |
|
|
Вектор-функция / = |
|
) |
предполагается такой, |
|||
что вектор-функция / (М/ |
= |
f |
j |
является определенно |
||
положительной. В связи с инвариантностью МОСАР ( I) относитель |
||||||
но группы S n линейные |
формы |
образуют по совокупности |
||||
линейные системы, матрицы которых инвариантны относительно |
|
|||||
группы &п |
: |
|
|
|
|
|
- I l l -
A(1)A w ..A'l K |
i f |
p 10pit) |
p w |
|
t n Au)A4..AW |
fW |
plt)ptl) |
pit) |
JTt |
1 L |
|
|
(2 )
Aw Aw, .. A<«
r w r w . , r U)
Здесь A (lU |
W |
W- квадратные |
матрицы размер^ тпхтп о |
произвольной |
структурой(Г(,)= |^ у |
| ; ' r w = J y ]J 'j|) . |
|
Рассмотрим систему (I) с'позиций обратной задачи анали тического конструирования регуляторов (АКР), т . е . решим вопрос о том, какому управляемому объекту (ОУ), функционалу качест ва / и дополнительным ограничениям должна соответствовать
замкнутая система ( I) , Из теории оптимальных процессов известно, что обратная задача имеет не единственное решение, но это обсто ятельство не является существенным,
|
В работе |
[ I ] А.А.Красовский |
показал, что |
для |
линейного ОУ |
|||||||||
К +Аа> |
U , |
функционала |
качеств# |
J |
{JC^Bx)dt |
и для |
оценки |
|||||||
расходов |
сигналов управления |
J S d y I ' p J i k h W |
= С |
оптималь |
||||||||||
ными являются управления |
|
в,<=* |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
» |
U i = - d , n ^ n ^ ikJ(k |
(/=1,2 |
|
|
|
|
(3) |
|||||
где |
|
|
|
|
А —\ . |
|
|
|
|
|
|
|
||
(ДГ, ох) |
- положительно-определенная форма; |
|
|
|
||||||||||
|
|
с |
- положительная |
константа; |
|
|
|
|
|
|||||
с |
ВТухНрешение матричного уравнения |
|
|
|
|
(3‘) |
||||||||
|
|
|
£=-ТА-А*Т . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Вернемся к системе дифференциальных уравнений |
(СДУ) |
( I ) . |
|||||||||||
Предположим, |
что |
вектор-функция / |
|
имеет вид |
|
|
|
|
||||||
|
|
/у ( ...)= < // |
s i g n п ( ...) |
( /= 1 ,2 ........т).' |
|
(4) |
||||||||
|
Рассмотрим |
матричное |
равенство |
А (1)*...А^* |
|
|
р W|| |
|||||||
|
|
Г»)., .fit) |
а1ч ..а(Ч |
pill |
||||||||||
в = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 ) |
|
|
|
pit) |
pU) |
А ш ... А и) |
|
А ^ ]* |
. № * |
pit)” |
pit) |
|||||
где матрицы Г,А-те же, что- в системе |
(2) считаются |
заданными. |
||||||||||||
Так |
как |
А и Г инвариантны относительно группы S n , |
то |
сопряжен |
||||||||||
ная |
матрица |
также инвариантна относительно |
группы |
|
, |
т . е . |
||||||||
|
|
- |
112 - |
|
|
|
|
имеет блочную структуру, подобную структуре |
матриц |
А и Г . |
|||||
в выражении (2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом ,. правая часть равенства |
(5) является |
инва |
|||||
риантной относительно группы Sn . Отсюда следует, |
что |
левая |
|||||
часть равенства, т .е , матрица В, должна быть инвариантной |
|||||||
относительно |
группы лГЛ |
, |
т .е . иметь блочную структуру |
|
|||
|
|
|
. . в {г) |
|
|
|
|
|
B = |
|
. B w |
|
|
(6 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. B (i) |
|
|
|
|
где |
некоторые |
квадратные |
матрицы |
размера |
т х т . |
||
Допустим |
теперь, что |
найденная |
матрица |
В оказалась |
сим |
||
метричной и удовлетворяющей условиям Сильвестра. Тогда задача АКР:
0У |
i f A ^ X j + A |
{1)У |
. Xj^rUi |
( / « U .......П )\ |
(7) |
|||||||
ограничения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U,V |
< 4 / |
(*' = |
1 , 2 , . . . . Я ; |
/ |
= |
1 ,2 ,...,Л 7 |
); (8) |
||||
оценки расходов управляющих |
сигналов |
|
|
|
|
|
||||||
S Й |
E K S t il |
|
i i ) |
*,»№>«: |
(9) |
|||||||
o ^ = i |
/=1 |
|
*=i |
|
( I ) , |
|
|
|
является |
|||
имеет |
своим |
решением систему |
п/ф/ем последняя |
|||||||||
устойчивой |
[ I ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
группы S n , |
||
|
Для блочных матриц, инвариантных относительно |
|||||||||||
условие Сильвестра |
равносильно условию |
Сильвестра |
для |
матриц |
||||||||
c (t,= |
в '1’ - |
B<W , |
С1 |
= B(t> + |
(Я - |
I) В<4 |
|
|
|
|
||
|
Предположим |
теперь, |
что |
в системе |
(I) |
я |
= 2 и рассмотрим |
|||||
симметричную МОСАР |
типа |
2хтп [2]: |
|
|
|
|
|
|
||||
Я * Г ( X i . X t b f d f
U - U ) . |
( Ю ) |
Вектор-функция / |
здесь та же, |
что и |
для системы ( I ) . |
Возьмем формально |
|
|
|
д Я i11)=Д(1) t (n _ i) A |
W . AU)* = я |
r (l)*=f |
+ n ± _ r (2), |
|
-№ )Я _ Я _ -и ) |
( Ц ) |
|
1 |
= 2 1 |
|
|
|
|
|
|
- и з |
- |
|
|
|
|
|
|
||
В матричное |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
д1ЦЯд1«№ | |
(Аи,к)'( А 1г,,г)* |
||Г11)яг (г>л- |
||||||||
Я * = - |
|
|
|
|
|
|
|
|
1р(2МГр(ШТ (1 2 ) |
||||||
(t))ry(1)я д1«Яд(1)яГ |
СА(г,*)*(А(1,5Гг| |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||
подставим |
соотношения |
( I I ) . Выполнив несложные |
преобразова |
||||||||||||
нин, получим |
|
(Л-Z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
B u ) * =Bw + ? l z £ B (*). |
|
|
|
|
|
|
(13) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку условия |
Сильвестра |
для матрицы |
В 3х |
равносиль |
|||||||||||
ны выполнению условий |
Сильвестра |
для матриц |
c |
f ,jr, c f Tl: |
|||||||||||
|
c w |
= 3 m |
_ B w . |
c (l)* = 3 {4 ( j 7 - i ) B W sr, |
( и ) |
||||||||||
то, подставляя |
в |
выражения'(14) соотношения |
(13), |
получаем |
|||||||||||
|
|
|
С(Ш = С (1). |
c W b=c W ' |
|
|
|
' |
( 15) |
||||||
Итак, видим, если МОСАР (10) можно определить через |
|||||||||||||||
соотношения |
( I I ) , |
то она |
является |
решением |
задачи |
АКР:' |
|
||||||||
ОУ |
|
|
|
^ y ^ A |
{a,W f + |
|
« р + г / у |
|
(1б) |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ограничения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
\ u i j \ ^ c l j |
( / = 1 , 2 ; |
j = 1 , 2 , я » ) ; |
|
|
( 1 7 ) |
||||||||||
расходовсг гнало в управления |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
j f } * |
|
Е |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
||
При s |
|
и, если система (I) устойчива, |
то |
устойчива |
и_си-, ■ |
||||||||||
стема |
(10). |
Но верно и обратное, |
так как условия устойчивости |
||||||||||||
для систем (I) .и (10) сводятся к выполнению условий Сильвестра |
|||||||||||||||
для одних и тех же матриц |
С ^ , |
С11) (15) |
размера t n x m . |
|
|||||||||||
Посмотрим на |
системы |
(I) |
и (10) с |
позиций |
модифицированно |
||||||||||
го расширения (продолжения). Для этой цели запишем |
СДУ |
(I) в |
|||||||||||||
форме |
[2] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ^ l kl)lX£,6i h |
f ( i m urj,Oi)- |
|
.........я ) , |
|
|
(19) |
|||||||||
где |
|
|
линейные формы переменных |
|
; |
|
|
|
|||||||
|
б^~ элементарный |
симметрический инвариант первой степе |
|||||||||||||
|
|
|
ни .- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||