Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 60

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 10

 

 

0

 

—32256

32256

 

8064 —8064 —1536

1536

 

144 —144

 

—57400

 

32256

32256 —4032 —4032

-512

512

—36

—36

1

 

0

 

 

13664 —13664 —9464

9464

2016 —2016 —196

196

19110

—13664 —13664

 

4732

4732 —672

—672

 

49

49

40320

 

0

 

—1624

 

1624

 

1456 —1456 —504

504

-

56

—56

 

—2100

 

 

1624

 

1624

—728

—728

168

168

—14

—14

 

 

0

'

 

56

—56

—56

,

56

24

—24

—4

4

 

 

70

—56

—56

 

28

 

28

—8

' —8

 

1

1

Учитывая

(5.83)

и (5.84), окончательно имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

а, = b X П |ЕX w; '

 

 

(5.85)

 

 

 

 

 

а, = b X П[ т) X w .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим элементы матрицы аз. Для этого подставим (5.68)

в уравнение

(5.65):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ d4Hl

0

 

d4ri3

'

 

 

 

 

 

 

/ ^ H ,

 

 

Ri X “ix

■ д &

 

 

di*

 

 

 

 

 

 

 

'0i3dt|

 

 

 

 

 

 

d4 Ft

 

 

 

 

 

 

 

d‘H 3

 

 

 

О

д

tj4

д V

j

X

a2

+ R 2X«2X t X d^dr*

X

 

 

 

 

 

/

W

 

 

 

 

a* Hi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X a 3 = LX T X Q -

 

 

 

(5.86)

После 'несложных преобразований получим:

 

 

 

 

(Ri R2) X Г(Х1 а»л X г Е2 X tj j X

 

*Нз

X а3

= L, X Т XQ-

д

h

d r f

- i

 

 

 

 

—

Ri X

 

X

 

r^H t

X-72- X

[b X П,е b X Пц] X w. (5.87)

 

 

 

 

 

d £4

d

-n‘j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По правилу нахождения производной (5.17) выражение (5.87)

после подстановки Нь Н2 и Н3 примет вид:

 

 

 

 

 

где

^ X u X ^ L i X C V X w +

TXQ ),

 

 

(5.88)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

___

 

Ц = (a% ! X Р40 X П40 + 4a3Ri6 X Psi X П31 + 2a2R33 X Р22 X

,174

22

26

22

04

(5.89):

X П + 4aR X Pis X П13 +

R X Pot X П );

 

V =

(a4 Ru X S40x n «

X b X Пц 4“ R22 S04X

 

Х П ^ Х Ь Х П , , ) .

 

(5.90)'

_3десь и

получается _при применении

(5.22) к

матрице Н3,

а V — к матрицам Hi и Н2.

 

 

 

Из (5.88) можно получить зависимость

 

 

 

if X ^ 4 v f) X [ w Q ] .

 

(5.91)1

Очевидно, что (5.91) представляет собой систему ^уравне­

ний относительно элементов матрицы а3. Анализируя Li (5.71)4 нетрудно сделать вывод,, что первая строка из (5.91)— един­ ственная строка, которая существует при любом \ и тр Выделим эту строку из (5.91). После преобразований она запишется такз

R2 X . <£ X г 24 8 24 _J X [а„ а22 а13] + 24 X Ri Х ч X

X [(Ь4-Х Пц) (ь; х П1Ч)1 х w =

q4 a* h4 sin4 <?;

(5.92)1

здесь Ь4— четвертая строка матрицы

Ь.

;

Нетрудно видеть, что в силу положения 1

ь4 — п Ь4 х ь

ПЬ4 = (0 00 1 0 0 0 0 ) .

Остальные^уравнения из (5.91) используем для определения

элементов из а3. Что^ы получить недостающие уравнения систе­ мы для определения а3, запишем полином (5.68) для точек сет­ ки (см. рис. 22), лежащих на осях координат.

Приведем (5.68) к виду

Н3 X а8 = w — щ —(Hi Й2)X [ai а 2 ] .

(5.93)1

, После подстановки в матрицы Hi координат узлов имеем:

Н3 X а3 = — Е12 X Wi — (Н?5ч Н2%) [(b X Пц) X

(b X Пц)] X w;

(5.94)1

175

здесь

 

 

 

 

 

 

 

wt]

='[W6W7

w.,]; p =

6, 7,8, 9, 14,

15........21.

Матрицы

(wj

) и w отвечают .условиям положения 1, сле­

довательно

 

 

 

 

 

 

 

»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[wiwiy =

X w;

 

и тогда

(5.94)

можно переписать так:

 

■ H3k X

а'3

-

 

{(-ЁрШ2) X П«, -

(Н ^ И У X

[(b X Пц)

 

 

 

 

 

( Ь Х П „ ) ] } Х Ё

(5.95)

Уравнение

(5.95)

запишем в сокращенном виде:

 

 

 

 

Н$ X а3 = Ki X w + Z X ОТ

• (5.96)

где Z — нулевая матрица размером_42 X Р.

здесь р —число строк в матрице Q.

Система (5.91) без первой строки имеет вид:

* Ё, X а. = (Vx Тх) X [w g].

(5.97)

Поскольку Ui, Vi, Т получены из щ, V и Т, то по положению 1

Ui — Пи“Ь u; Vj = n uXV; Т х ^ П ц Х П

(5.98)

Объединяя (5.97) и (5.96), получим систему 26 уравнений от­ носительно элементов матрицы аз. -

ъ

х ^ з =

К х

w х Т2 X~Q.

(5.99)

Здесь

 

 

 

 

 

Ul

 

" v r

'тХ

D =

;

К =

; т2=

 

 

Нз_

 

J V

. Z .

Решим уравнение (5.99):

176

a3= D-*X(KXT2)XlwQ].

(5.101)

Выделим из а3 матрицу

[a3i а22 ai3] = П<и X аз-

'

(5.102)

В первой части уравнения (5.92) находится значение функ­

ции нагрузки в начале координат qi, но qi входит в матрицу Q. Отсюда по положению 1 получаем:

^ = ]T q XQ -

(5.103)

Подставляя (5.102) и (5.103) в (5.92) с учетом (5.101), полу­ чим уточненный конечно-разностный оператор для анизотропных косоугольных пластин:

(24 х r , х а; X [Ь* X П,?Ь4X П1ч] + К3 Х Г 2 X Т2X

х n dl х о -1 X к) X w = (Пд— к2Х «2 X t ^ x

X n dl X D_ 1 X ТГ) СГ

(5.104)

t

 

iKaK частные случаи из этого уравнения могут быть получены операторы для ортотропных и изотропных пластин. В частно­ сти, при

Ф= — ; а = 1; Du =

D33 = D22

- D; Di6 = D26= 0,

 

а также полагая в Н3 и

а3

при п =

4 соответствующие

значе­

ния i, получим уравнение

(1.126).

 

 

§ 4. Удовлетворение граничным условиям

Рассмотрим жестко защемленную деформированную грань пластины. Расположим центр сетки на грани (рис. 23: а).

Сетка (рис. 23) отличается от сетки (см. рис. 22), следова­ тельно, для нее нужно построить новую матрицу Н3 и найти

новую матрицу а3.

Однако показанный выше алгоритм не привязан к какой-ли­ бо форме сетки, он связан лишь с числом узлов, не лежащих на

177

координатных осях, а их количество осталось неизменным. Та­ ким образом, можно считать, что матрица D определена, обозна­ чим ее через Di. Учитывая это обстоятельство, в дальнейшему переходя к новой сетке, будем считать матрицу D| найденной.'

2 9

П.

Функцию деформации грани в пределах сетки (см. рис. 23 а) разложим в ряд;

7

1

ws = а^0 + ^

(5.105)

i=0

 

В такой же ряд разложим функцию заданных углов поворота по нормали к грани;

178

6

 

°t = c‘o + £ ci0 x £'•

(5.106)

i=0

 

Будем считать, что (5.105) и (5.106) удовлетворительно ап­ проксимируют функции деформаций.

Ввиду полного удовлетворения граничным условиям исклю­

чим из матрицы деформаций участка (5.82) точки,

относящиеся

к оси |, и заменим их коэффициентами разложения

(5.105):

 

«

 

wi =[аоо ai0w3 a2oW5w6.......w9a3o wn a4o Wi3Wi4 ----- ■.

........w2i a50 w23 a6o w25 a7o w27 a8o w29].

(5.107)

Здесь aso =

0 и оставлено для сохранения размеров матрицы.

В этом случае матрицы Hi и аь входящие в

(5.68), запи­

шутся так:

 

 

Hi=(E52 .......rg 8),

 

ai — [aio аго ........а7о аво].

(5.108)

Выразим а,

через Wi:

 

 

aj = Пщ X w , .

(5.109)

Сравнивая

(5.109) и первое уравнение из (5.85),

приходим к

выводу, что во всех уравнениях алгоритма, изложенного выше,

произведение ЬХ'Пц

необходимо

заменить

матрицей

Пц

вследствие полного

удовлетворения

граничным

условиям

по

оси |.

 

 

__

_

.

 

С учетом этого определим матрицы V)

и Кл:

 

 

— Пи X (®4 Rii X S40X

X Пш-ЬИ^г В04 X СВ,) X

 

х ь х Пц).

Ki = (—Ё}2! 12) х Пцч — (Hi Н2) X [ПшЬХП1Ч]. •

(5.110)

Оператор (5.104) примет'вид:

,

179

Смотрите также файлы