Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

,°2 + <

2Sp(EnBTEnEnBSEn) +

+ *%+ mx ( S p ^ S ^ J l S p ^ S ^ ) .

(5.4.4)

тельно меры Р квадрат.

Так как Bwh = Xh^h, то

1

Sp В Т — ^ (BTwk,

wk)

1

■ . ^ { B T B 'w b

B i w k}B_ It

k~\

A — 1

1

I

СО

Sp (ВТ)2

2 (BTBTwk, wk)

V

' BTBTB2wk,

,

k=\

A =

1

а поскольку

система элементов

B 2w

является

ортонор-

мированным

базисом

в

k —i

ВТ, рас-

И ,, ядерность оператора

СО

U-> (z) Р (dz) =

(О* +

ml) 2 Sp ^

)2 +

Н

А = 1

+ (« ’ + о

у ;

Ха ■- \

(5.4.5)

Ха

А = 1 \

/

Учитывая теперь формулы (5.3.8), (5.3.9) и унитарную

экви­

валентность

операторов

/ —

и

I — ^Лг"1,

вместо

(5.4.5}

получим равенство

j

U%(z) P{dz) =

(а2 +

ml) 2 Sp ( / — X ^ 1) +

н

+ (о2 +

/7&) [S p (/-X H ^ )]2.

(5.4.6),

7 З а к . 3S9

9?

рируемьш квадратом, равная тх ([/— >.0.4г l| z, z)B~ 1.

Таким

•образом,

U(z) — mx {[l — )0AT{]z, z)B-1 .

(5.4.7)

= тх (E„z, Enz)B__l — mx\0(Enz,

/:„с)д _ г

По этой причине можно также написать, что

U (z) = m,v (г, z )b _ , — отлХ0 (г,

г)д_ ,.

(5.4.8)

если Цл-И) при п-»-оо. Для

меры Р i рассуждения

несколько

усложняются.

существование интеграла

/ (z) для

Докажем прежде всего

02 + m2

S ~

-1

r

£

2

{(A A. Фл)д(А А A)b + 2

'}'i)|| A A,

ft = 1

i= l

'

(5.5.1)

ss

\ l l ( z ) P , ( d z ) =

O .

2

n

n

°2 + mA-

-------

{(а ф ;. ф;а саф;>ф;)* а 2( а ф ;. ф^ }

а а ,

ft=l

1=1

j/« (2 )/« ' И Я, (</*) =

3

2

"

п'

„2

Л,^ ]У ]{(А Ф й , Фа)в(АФ/-

Ф])д А 2(А Ф а. Ф/')*} Д*А.

-----------

А=1

1=1

из которых

находим

|

(/„ (z) — !n’ (2)12 Я, (<fe):

н

°2+ <

(АФ*. Фй)вДА

^^(Афл. Ф*)вА*

п

п

- *57

п

*=1

п '

ft=1■•

1=1■■

h=l

tS\

n r

ftr

\

+

2 2

2 (А А -

Ф,:)2В A A

•

(5-5.2)

Очевидно,

- X02

(Ай. <МвA A X02

(Aft. Фй)в A =

/I

л—1

n1

ft-1

— —X02 A A X02

A*= —X0(^2 — A X0(^2— Л )= 0.

ft= l

ft= l

поэтому

с

учетом

экстремальных

свойств

собственных

чисел

ха— хо опёратора

j4t — Х0/

П

2 (АФ*. Ф*)в А — 2 (АФ*. Фй)я А*

fc-1

fc=i

/г

п'

2

(Mi —V ]

Фа. Ф*)д А — 2

(1А - V

] Ф*. А)в А

<

ft=i

п

(5.5.3)

А 2^i,, 2 IА

А !•

л=1

7*

99

П П

\

2

М в д ад *

Й=1 1=I

V V

{UM M] M Мв Н- 2^о (Mi V I М ^)в ('Hi *Мв ~Ь

JmtdAd Ad

fi=1 /=1

(ft=I

+

2X0 У (И , - X 0/] M

M b + Ktl2

<

k ~ I

<

T<?n( 2

i X* - Xol2 + 2 X o 2 lXf t - ^ l

+

^ 8

(5.5.4 }

a= i

*=i

И совершенно

аналогично

n

nГ

V

V

(^lM

)s ДйД/

P'ft--+

L

ft=l /■=-]

/1=1

+ 2X0

2 „ 2

(5.5.5)

У | \k — X01-)- Цп

A = 1

Принимая во внимание

конечность

ряда 2

|

— М >'

из

ра-

венства (5.5.2) и

Л=1

что

по­

неравенств (5.5.3)—(5.5.5)

получаем,

следовательность

функций /п (z) сходится

в среднем

квадра­

если ч]п п

0 при /г->со.

последовательности функций Vn (z)

Докажем

теперь,

что

и |т-_ t I (г) сходятся

в среднем квадратическом относительно

меры Ях к одному и тому же

пределу.

Равенство

(3.1.2) по­

зволяет

написать

2

п

п

j Vl {z) Я. (dz) =

^]{(Л ,г>й, -иДв (Л ,^ ,

M b +

н

+

2(Л,г>*,

M b}’

(5-5-6>

M ;

.f K*(z) /- w p‘,fe=

S

S

2 j

**>вХ

X (ЛМ Mb + '2 (Ait;*, M b} V

(5.5.7)

Благодаря

(5.5.6),

(5.5.7) и (5.5.1),

V„(z) -77^77 ДМ} Я, (dz) =

H

и

»

—(°~ -р Мх) ■

V,!')b~

7 ~ 7 7

" S (Л|'',г’

А=1

'

А=1