Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

Скачать файл (4,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 93

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

П->оо ё п ( ‘ П2 )

Н-измеримом множестве Si	U S, Н-измерима	и конечна (п. в.
Р, Pi)-	элементу v £ H s	ставится в соот
Таким образом, каждому	элементу v £ H s	ставится в соот

ветствие Н-измеримая функция <z, v>, принадлежащая как

пространству Ь2(В), так и пространству L2(A),					и равная (п. в.
Р) элементу Xv £	L2(B)	и (п. в.	Ру)	элементу Xv —TXV из
L2{A).
§ 1.7. Второй	метод вычисления		отношений		правдоподобия
Пусть на измеримом		пространстве		(Н, Н) определены две
удовлетворяющие	условию (1.4.4) вероятностные меры Р и Ру

с положительными операторами момента второго порядка В и А

соответственно.		Фиксируем	в Нв произвольный		базис {,п*}”_1
и обозначим через Тп отображение пространства					Н	в R",		за
даваемое	равенствами
_		tk— <z, v t!>, k — l,		, п.
Пусть Руп— распределение			на Rn,	индуцированное		при		ото
бражении	Тп мерой Ри а Р п— распределение на Rn,						индуци
рованное	при	отображении	Тп мерой Р. Если при каждом п
распределение		Рщ{С) определяется плотностью gin(t),					распре
деление Рп {С) — плотностью gn (t), а функция /					(z)	и	множе
ство 5 определяются формулой (1.5.1), то справедлива
Т е о р е м а		1.7.1.

HmglnSLnZ\ = f n(z) почта всюду на Н относительно меры Р,

Hm gln ^Z.nZ\~ =	f(z )	почти всюду на S	относительно меры Ру,
Л-.0О ё п \ ‘ П2 )
Пт g l f l =	-г со почти всюду на S		относительно меры Ру.
ё п ( Т „ 2 )		j
Доказательство		этой теоремы почти дословно совпадает с

доказательством теоремы 1.5.1. Разница лишь в том, что те

перь	нельзя считать а-алгебру	Н«„ совпадающей с Н.	Однако,
если	/ч	симметричную разность	между
если	обозначить через АДА	симметричную разность	между
	л

множествами А и А, то в данном случае можно воспользовать ся таким утверждением.

Для любого	А £Н	существует	непустое множество		/Ч
					Л £ Нот
такое, что	Р (АДА) = Рг (Л ДА) = 0.
					(1.7.1)
Это утверждение эквивалентно			следующему.	Пусть	F c H
является классом всех		множеств Л £ Н таких, что		A £ F	содер
жит непустое	множество А £ H^,		удовлетворяющее		(1.7.1).
Тогда		F = H.

			ч
Докажем	второе утверждение. Если	ряд V	ckv k сходится
по норме пространства Н в к элементу		А=1	то последова
по норме пространства Н в к элементу		Н в ,	то последова
тельность	П
	Т»п = 2С* <г-

* = 1

■функций от г сходится в среднем квадратическом относитель но каждой из мер Р, Р\. Каждая функция последовательности <г, и>п измерима относительно о-алгебры Нп, а, следова тельно, и относительно Н«,. Все функции этой последователь

ности определены на Нм-измеримом множестве			Е полной Р и
Р г меры,	являющемся пересечением	областей	определения
каждой из этих функций.		v > n подпоследователь
Выбрав	из последовательности <z,

ность <z, v>„v функций, сходящуюся (п. в. Р, Рi), опреде

лим функцию

-Сг, о » ,

совпадающую

с пределом (п.

в. Р)

подпоследовательности

<z; о > „ в

на

множестве S

ее сходимо

сти (п.

в.

Р)

и с пределом этой подпоследовательности на мно

жестве

ее

сходимости (п. в. Р\).

Очевидно, на

SUSi

оба

предела совпадают. Так как S n ^ i

Н-измеримо,-а

<Сz,

на

5 U5 i

равна

верхнему

пределу

подпоследовательности

<z,

o>nv, то функция <^z, v^> 'будет Н«,-измеримой.

Пусть

Тогда

(z, г») =

« 2, г>»

(п.

в.

Р,

РО.

(1.7.2)

Если A G Н

определено условием

А =

{z : (г, v t) < р„ v t £Н ,

i =

... , /г),

существует

непустое

множество

А £ Н т ,

удовлетворяющее

условию (1.7.1). Действительно, рассмотрим

множество

А — { г :< г , г/г» < р „ v ^ H , i = \, . . . , п].

Ясно,

что А £ Н ГО. Определим

S^GH условием

Разумеется,

Sv = { z :(z ,

v) =

<^z, т/>}, v £ H .

P(SV) = P 1(SV) =

1, v £ H .

(1.7.3)

Но поскольку

А = А П Д Я . J + А П

U S v, ] ,

(1-7.4)

A = A R [ QSi ,

+ А П

(1.7.5)

A n (fli5l'J =

л п \ p S v A

(1.7.6)

то из равенств (1.7.3)

Р АП U S v,	= р
i= i	^ n (iM Sv‘
А п ( и s 0(	= р , Аn (" и Sv,		:0. (1.7.7)
	1=1	1

Комбинируя теперь выражения (1.7.4)—(1.7.7), получим (1.7.1)-

Остается

доказать

равенство

F =

H. Класс F—алгебра. По

кажем, что

он является

а-алгеброй.

Пусть

A(£F,

i — 1, 2, ...

Тогда из определения F вытекает существование А; £ Н такого,

что

Я(А;Д А ,)= 0,

* =1 ,

2, ...

(1.7.8)

Определим

две

последовательности

множеств меры нуль Mi

и ЛД i — 1,

...

формулами

Тогда

М , =

Л , -

A,., N, =

Л ; — А {.

(1.7.9)

A;UA1;, г =

2, ...

Поэтому

А ,

—

N t C

Z &

t C Z

U At. - U A f , C U

Л, с

U Л,

U ЛЬ

1 -1

( = 1

1=1

\ i - l

\ i = l

откуда следует

U А г - U А(с U N„

U А, - U А,-С U М,.

1-1

1=1

1-1

1=1

Таким образом,

U А,

U А ,

i—\

i=i

т. е.

UA ,6 F,

1=i

икласс F является а-алгеброй. F содержит в себе класс мно жеств, порождающий Н. Действительно, А £ F, но класс всех множеств А порождает Н, поэтому

Из определения F		FD H .
Из определения F		FCH .
Следовательно,		FCH .
Следовательно,		F = Н.
Что и.требуется.		F = Н.
Что и.требуется.		пространстве (Н, Н) определена		о-ко-
Если	на измеримом	пространстве (Н, Н) определена		о-ко-
нечная	мера X и Н — пополнение Н относительно		X, то	с тем
же успехом можно в §		1.5—1.7 пользоваться не	пространст
вом (//,	Н), а пространством (/7, Н).

Г л а в а 2

ИДЕАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

§ 2.1. Постановка задачи

Вероятностные меры Р и Р ь определенные на измеримом пространстве (Н, Н), называются ортогональными, если суще ствуют непересекающиеся множества S и Si из Н, для кото рых

P (S ) =	1,	P(S>) = О
Pt (S) =	О,	Pi(S1) = l.

Если имеются две гипотезы и меры, соответствующие им, ортогональны, то, как следует из теорем 1.2.2 и 1.3.1, байесов ская процедура принятия решений определяется множествами S, Si н ей соответствуют вероятности ошибок, равные нулю. В случае, когда на пространстве (Н, Н) определены N вероят ностных мер Pj, t='l, ..., N и все эти меры попарно ортого

нальны, из теоремы_ 1.3.1 вытекает,	что функции fhi равны ну
лю на множествах Ski, а множества
( » : / „ Н =	А.}

пусты. По этой причине оптимальная по минимуму вероятно сти ошибки процедура принятия решений определяется, соглас но теореме 1.2.4, множествами

Е 'ь= П S kh

1= I

а соответствующие ей вероятности ошибок

A ( £ ‘*)<A(5i«v) = 0 при кф ч .

Назовем оптимальную по какому-либо из байесовских кри териев процедуру принятия решений идеальной, если все соот ветствующие ей вероятности ошибок равны нулю. Поскольку только что рассмотренные случаи представляют наибольший интерес для практических приложений и для них идеальностьпроцедур принятия решений вытекает из ортогональности мер, условия ортогональности вероятностных мер и будут предметом рассмотрения в данной главе. Вывод этих условий будет осно вываться на следующем положении.

Меры Р\ и Р ортогональны, если для некоторой последова тельности множеств Sn 6 Н, /г= 1, 2, ..., выполняются соотно шения

Н т Я (5 л) = 0,	lim Pl (S„) = 1
П - * СО	П - > СО

(стр. 95 [11]).

§ 2.2. Основные семейства распределений вероятностей

Будем рассматривать лишь вероятностные меры, удовлетво ряющие некоторым ограничениям.

Отнесем распределение Р к семейству Р„, если ему соот ветствует ядерный оператор момента второго порядка, а мера цилиндрических множеств с борелевскимн основаниями над линейно независимыми элементами определяется плотностью.

Справедлива			Ра соответству
Т е о р е м а 2.2.1. Распределению семейства			Ра соответству
ет положительный оператор момента второго порядка.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть В — оператор			момента второ
го порядка меры Р из семейства Ра.	Если	найдется отличный
от нуля элемент щ £ # , для которого
J(z, v xfP {dz) = {Bvx,	н,) =	0,
н

го мера Р сосредоточена на подпространстве, ортогональном к элементу щ. Фиксируем Некоторое конечномерное подпрост ранство, содержащее элемент щ, и цилиндрическое множество над этим подпространством. Мера цилиндрического множества равна мере основания в фиксированном конечномерном простран стве. Пусть эта мера будет отличной от нуля. Очевидно, она будет сосредоточена на подпространстве, ортогональном эле менту v\. Мера Лебега этого частного подпространства равна нулю. Следовательно, для выбранного цилиндрического мно жества мера не определяется плотностью. Но это противоре чит условию теоремы.

При каждом v £ H функция (г, и) от z Н-измерйма, а по этому является случайной величиной. Функция {z, и) от двух

переменных 2		£ Н и v £ Н по этой			причине	является случайной
функцией.		через m(v) математическое				ожидание	случай
Обозначим
ной функции (z, и), а			через	K{v,	v) — ее дисперсию. Началь
ный момент второго порядка				(Bv,	v) меры Р из Ра выражает
-ся через эти величины при помощи равенства
		{Bv,	v) — K{v,		v)-\-m l {v).		(2.2.1)
Так как	В —-ядерный		оператор,		то m(v) — непрерывный ли
нейный	функционал, a		K(v,	v) — непрерывный квадратичный