Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 68

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
П->оо ё п ( ‘ П2 )

Н-измеримом множестве Si

U S, Н-измерима

и конечна (п. в.

Р, Pi)-

элементу v £ H s

ставится в соот­

Таким образом, каждому

ветствие Н-измеримая функция <z, v>, принадлежащая как

пространству Ь2(В), так и пространству L2(A),

и равная (п. в.

Р) элементу Xv £

L2(B)

и (п. в.

Ру)

элементу Xv —TXV из

L2{A).

 

 

 

 

 

§ 1.7. Второй

метод вычисления

отношений

правдоподобия

Пусть на измеримом

пространстве

(Н, Н) определены две

удовлетворяющие

условию (1.4.4) вероятностные меры Р и Ру

с положительными операторами момента второго порядка В и А

соответственно.

Фиксируем

в Нв произвольный

базис {,п*}”_1

и обозначим через Тп отображение пространства

Н

в R",

за­

даваемое

равенствами

 

 

 

 

 

 

_

 

tk— <z, v t!>, k — l,

, п.

 

 

 

 

Пусть Руп— распределение

на Rn,

индуцированное

при

ото­

бражении

Тп мерой Ри а Р п— распределение на Rn,

индуци­

рованное

при

отображении

Тп мерой Р. Если при каждом п

распределение

Рщ{С) определяется плотностью gin(t),

распре­

деление Рп {С) — плотностью gn (t), а функция /

(z)

и

множе­

ство 5 определяются формулой (1.5.1), то справедлива

 

 

Т е о р е м а

1.7.1.

 

 

 

 

 

 

HmglnSLnZ\ = f n(z) почта всюду на Н относительно меры Р,

Hm gln ^Z.nZ\~ =

f(z )

почти всюду на S

относительно меры Ру,

Л-.0О ё п \ ‘ П2 )

 

 

 

Пт g l f l =

со почти всюду на S

относительно меры Ру.

ё п ( Т „ 2 )

 

j

 

Доказательство

этой теоремы почти дословно совпадает с

доказательством теоремы 1.5.1. Разница лишь в том, что те­

перь

нельзя считать а-алгебру

Н«„ совпадающей с Н.

Однако,

если

симметричную разность

между

обозначить через АДА

 

л

 

 

множествами А и А, то в данном случае можно воспользовать­ ся таким утверждением.

Для любого

А £Н

существует

непустое множество

Л £ Нот

такое, что

Р (АДА) = Рг (Л ДА) = 0.

 

 

 

 

(1.7.1)

Это утверждение эквивалентно

следующему.

Пусть

F c H

является классом всех

множеств Л £ Н таких, что

A £ F

содер­

жит непустое

множество А £ H^,

удовлетворяющее

(1.7.1).

Тогда

 

F = H.

 

 

 

 

 

 

 

 

22


 

 

 

ч

Докажем

второе утверждение. Если

ряд V

ckv k сходится

по норме пространства Н в к элементу

А=1

то последова­

Н в ,

тельность

П

 

 

 

Т»п = 2С* <г-

 

 

* = 1

■функций от г сходится в среднем квадратическом относитель­ но каждой из мер Р, Р\. Каждая функция последовательности <г, и>п измерима относительно о-алгебры Нп, а, следова­ тельно, и относительно Н«,. Все функции этой последователь­

ности определены на Нм-измеримом множестве

Е полной Р и

Р г меры,

являющемся пересечением

областей

определения

каждой из этих функций.

v > n подпоследователь­

Выбрав

из последовательности <z,

ность <z, v>„v функций, сходящуюся (п. в. Р, Рi), опреде­

лим функцию

-Сг, о » ,

совпадающую

с пределом (п.

в. Р)

подпоследовательности

<z; о > „ в

на

множестве S

ее сходимо­

сти (п.

в.

Р)

и с пределом этой подпоследовательности на мно­

жестве

5|

ее

сходимости (п. в. Р\).

Очевидно, на

SUSi

оба

предела совпадают. Так как S n ^ i

Н-измеримо,-а

z,

на

5 U5 i

равна

верхнему

 

пределу

подпоследовательности

<z,

o>nv, то функция <^z, v^> 'будет Н«,-измеримой.

 

 

Пусть

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z, г») =

« 2, г>»

(п.

в.

Р,

РО.

 

(1.7.2)

Если A G Н

определено условием

 

 

 

 

 

 

 

 

А =

{z : (г, v t) < р„ v t £Н ,

i =

1,

... , /г),

 

существует

непустое

множество

А £ Н т ,

удовлетворяющее

условию (1.7.1). Действительно, рассмотрим

множество

 

 

 

А — { г :< г , г/г» < р „ v ^ H , i = \, . . . , п].

 

Ясно,

что А £ Н ГО. Определим

S^GH условием

 

 

Разумеется,

 

Sv = { z :(z ,

v) =

<^z, т/>}, v £ H .

 

 

 

P(SV) = P 1(SV) =

1, v £ H .

 

(1.7.3)

Но поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А = А П Д Я . J + А П

U S v, ] ,

 

(1-7.4)

 

 

 

 

A = A R [ QSi ,

+ А П

 

,

 

(1.7.5)

 

 

 

 

A n (fli5l'J =

л п \ p S v A

>

 

(1.7.6)

23


то из равенств (1.7.3)

Р АП U S v,

= р

 

 

i= i

^ n (iM Sv‘

 

А п ( и s 0(

= р , Аn (" и Sv,

:0. (1.7.7)

 

1=1

1

 

Комбинируя теперь выражения (1.7.4)—(1.7.7), получим (1.7.1)-

Остается

доказать

равенство

F =

H. Класс F—алгебра. По­

кажем, что

он является

а-алгеброй.

Пусть

A(£F,

i — 1, 2, ...

Тогда из определения F вытекает существование А; £ Н такого,

что

 

 

Я(А;Д А ,)= 0,

* =1 ,

2, ...

(1.7.8)

 

 

 

Определим

две

последовательности

множеств меры нуль Mi

и ЛД i — 1,

2,

...

формулами

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

М , =

Л , -

A,., N, =

Л ; — А {.

(1.7.9)

 

 

 

 

 

A;UA1;, г =

1,

2, ...

 

Поэтому

А ,

N t C

Z &

t C Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U At. - U A f , C U

Л, с

U Л,

U

U ЛЬ

,

1 -1

 

( = 1

 

1=1

 

 

\ i - l

 

/

\ i = l

 

откуда следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U А г - U А(с U N„

U А, - U А,-С U М,.

1-1

 

1=1

1=1

 

1=1

1-1

1=1

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U А,

 

U А ,

 

 

 

 

 

 

 

 

i—\

 

i=i

 

 

 

 

 

т. е.

UA ,6 F,

1=i

икласс F является а-алгеброй. F содержит в себе класс мно­ жеств, порождающий Н. Действительно, А £ F, но класс всех множеств А порождает Н, поэтому

Из определения F

FD H .

 

 

FCH .

 

 

Следовательно,

 

 

F = Н.

 

 

Что и.требуется.

 

 

пространстве (Н, Н) определена

о-ко-

Если

на измеримом

нечная

мера X и Н — пополнение Н относительно

X, то

с тем

же успехом можно в §

1.5—1.7 пользоваться не

пространст­

вом (//,

Н), а пространством (/7, Н).

 

 


Г л а в а 2

ИДЕАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

§ 2.1. Постановка задачи

Вероятностные меры Р и Р ь определенные на измеримом пространстве (Н, Н), называются ортогональными, если суще­ ствуют непересекающиеся множества S и Si из Н, для кото­ рых

P (S ) =

1,

P(S>) = О

Pt (S) =

О,

Pi(S1) = l.

Если имеются две гипотезы и меры, соответствующие им, ортогональны, то, как следует из теорем 1.2.2 и 1.3.1, байесов­ ская процедура принятия решений определяется множествами S, Si н ей соответствуют вероятности ошибок, равные нулю. В случае, когда на пространстве (Н, Н) определены N вероят­ ностных мер Pj, t='l, ..., N и все эти меры попарно ортого­

нальны, из теоремы_ 1.3.1 вытекает,

что функции fhi равны ну­

лю на множествах Ski, а множества

 

( » : / „ Н =

А.}

пусты. По этой причине оптимальная по минимуму вероятно­ сти ошибки процедура принятия решений определяется, соглас­ но теореме 1.2.4, множествами

Е 'ь= П S kh

1= I

а соответствующие ей вероятности ошибок

A ( £ ‘*)<A(5i«v) = 0 при кф ч .

Назовем оптимальную по какому-либо из байесовских кри­ териев процедуру принятия решений идеальной, если все соот­ ветствующие ей вероятности ошибок равны нулю. Поскольку только что рассмотренные случаи представляют наибольший интерес для практических приложений и для них идеальностьпроцедур принятия решений вытекает из ортогональности мер, условия ортогональности вероятностных мер и будут предметом рассмотрения в данной главе. Вывод этих условий будет осно­ вываться на следующем положении.

Меры Р\ и Р ортогональны, если для некоторой последова­ тельности множеств Sn 6 Н, /г= 1, 2, ..., выполняются соотно­ шения

Н т Я (5 л) = 0,

lim Pl (S„) = 1

П - * СО

П - > СО

(стр. 95 [11]).

25


§ 2.2. Основные семейства распределений вероятностей

Будем рассматривать лишь вероятностные меры, удовлетво­ ряющие некоторым ограничениям.

Отнесем распределение Р к семейству Р„, если ему соот­ ветствует ядерный оператор момента второго порядка, а мера цилиндрических множеств с борелевскимн основаниями над линейно независимыми элементами определяется плотностью.

Справедлива

 

 

Ра соответству­

Т е о р е м а 2.2.1. Распределению семейства

ет положительный оператор момента второго порядка.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть В — оператор

момента второ­

го порядка меры Р из семейства Ра.

Если

найдется отличный

от нуля элемент щ £ # , для которого

 

 

 

J(z, v xfP {dz) = {Bvx,

н,) =

0,

 

н

 

 

 

го мера Р сосредоточена на подпространстве, ортогональном к элементу щ. Фиксируем Некоторое конечномерное подпрост­ ранство, содержащее элемент щ, и цилиндрическое множество над этим подпространством. Мера цилиндрического множества равна мере основания в фиксированном конечномерном простран­ стве. Пусть эта мера будет отличной от нуля. Очевидно, она будет сосредоточена на подпространстве, ортогональном эле­ менту v\. Мера Лебега этого частного подпространства равна нулю. Следовательно, для выбранного цилиндрического мно­ жества мера не определяется плотностью. Но это противоре­ чит условию теоремы.

При каждом v £ H функция (г, и) от z Н-измерйма, а по­ этому является случайной величиной. Функция {z, и) от двух

переменных 2

£ Н и v £ Н по этой

причине

является случайной

функцией.

через m(v) математическое

ожидание

случай­

Обозначим

ной функции (z, и), а

через

K{v,

v) — ее дисперсию. Началь­

ный момент второго порядка

(Bv,

v) меры Р из Ра выражает

-ся через эти величины при помощи равенства

 

 

 

{Bv,

v) — K{v,

v)-\-m l {v).

(2.2.1)

Так как

В —-ядерный

оператор,

то m(v) — непрерывный ли­

нейный

функционал, a

K(v,

v) — непрерывный квадратичный

функционал в пространстве Н. Это означает, что существует элемент b £ Я, для которого

m{v) — {b, v),

(2.2.2)

и существует ограниченный линейный оператор К в Я, для ко­ торого

K{v, v) — {Kv, v).

(2.2.3)

Если примем во внимание ядерность оператора В и равенства (2.2.1) — (2.2.3), то легко придем к выводу, что оператор К также является ядерным.

.26