Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
lim ------------------------------------------------ |
X |
а-->1 ( 1 + .V + |
. . . + Л п - 1) ( 1 + . ѵ 4 - . . . X ” 1- 1 ) |
) ( 1 іш т ( 'Ѵ'П~1 + Л:П~!!+ • |
• • +д-- + 1)-»(-ѵш-Ч--ѵт -2+ ■ ■ •+ * + !) |
.ѵ->1 |
X— 1 |
|
|
= — |
|
X |
|
|
|
п ■т |
|
|
|
X l i m |
Іпі(х'‘- і + х п-*+ .-..+ х + 1)-т п ]-[п (хт-і+х">-* + ... + х +1)-т п ) |
||||
*-»1 |
|
|
X—1 |
|
|
|
1 . . |
.ѵ " -1 + л -« -3 + . . . + . Ѵ + 1 — « |
|
||
/ |
п X—>1 |
|
X — 1 |
|
|
|
1 |
л-"*-1 + хт~2+ ■ ■ . + х + \ — т |
|
||
|
т а-->і |
|
X— 1 |
|
|
— — ■[1+ 2+ . . |
- + (п — 1)]------ [1+ 2+ . . |
. +(ш —1)] |
|||
п |
|
|
|
гп |
|
_ |
[ 1 + ( д — 1)] ( я — 1)_________ [ 1 + |
( т — 1)] (т — 1) _ |
п — т |
||
|
2 л |
|
|
2 т |
■2 |
При решении примера 8 мы воспользовались результатом, полученным в примере 7; числа т и п — натуральные.
IV. Вычисление пределов, содержащих иррациональности
Один из основных приемов, применяющихся при вычисле нии пределов, содержащих иррациональности (в том слу чае, когда неприменима теорема о пределе частного) состоит в перенесении иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот.
-/X_2_2 Пример 9. Вычислить 1im —-----------.
|
|
А - 6 |
X |
— 6 |
|
|
Р е ш е н и е . Здесь теорема |
о |
пределе частного |
непри |
|||
менима. |
Умножим |
числитель |
и |
знаменатель дроби |
на |
|
У х —2+ 2 |
(с целью |
перенесения |
иррациональности |
в |
зна |
|
менатель и для того, чтобы в дальнейшем произвести сок ращение дроби). Получим
Пт |
VX—2 -2 |
Ііт |
(Ух—2)2—23 |
|
|
*-*б |
X — 6 |
ДГ-6 |
(X—6)(Ѵх^2 + 2) |
|
|
= lim |
____________ X — 6 _____________ = 1іт |
1 |
|
||
> дт-*6 |
(х-6)(++=2 +2) |
Л'—»6 |
Ѵх=2 4-2 |
4 |
|
48
\
i • |
r> |
\ - |
V x+3 — У 5x—1 |
Пример ІО. |
Вычислить |
lim |
---- . |
х-*\ У IХ-\-2 — о
Ре ш е н и е . Здесь теорема о пределе частного также не применима, так как предел знаменателя равен нулю. Ум
ножим |
числитель |
и знаменатель |
дроби |
на |
|
множители |
||||||||||
У х + Ъ + V 5х—1 и |
V 7x4-2 + 3. Получим |
|
|
|
|
|||||||||||
.. |
|
|
|
|
,. |
|
[(/^ Р з) 4 - ( К ^ ^ ) 21-(Кт^+2+з) 1 |
|||||||||
] I |
—-------------------=11111----------------------------------------------- --- |
|||||||||||||||
*-*1 |
У |
7 х + 2 — 3 |
|
-V—1 |
[(V^7 х + 2 ) 2 —Зг ] • (Ух + 3 |
+ |
У 5х— 1) |
|||||||||
|
|
|
= Hm |
-Ч * - 1 ) ( / т£Р2+3) |
' |
= |
|
|
||||||||
|
|
|
|
лг-і |
7 ( х - І ) - ( / х + 3 + / 5 х - І ) |
|
|
|
||||||||
|
__ |
4_ |
j. |
У |
7Х-І-2 + 3 |
|
________4_ |
|
3 + 3 |
= |
_ _6_ |
|||||
|
|
7 ,*-й } 4 + 3 + У Ъх—1 |
|
|
7 |
з |
2 + 2 |
|
7 |
|||||||
|
„ |
|
.. |
г> |
|
|
|
I- |
з ,___ _ |
___ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
і/Зх —5 — У х —1 |
|
|
|||||||||
|
Пример 11. |
Вычислить lim-1- |
------—--------. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ДГ-. 2 |
|
|
Х— 2 |
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Умножим |
числитель |
|
и |
знаменатель дроби |
||||||||||
на выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ѵ(3х—5 ) 2 + У ф х —5 ) ( х — 1) + |
|
|
|
|
||||||||||
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
l i m |
У З х — 5 — |
У X — 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х -> 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim --------- з |
СУЗх-5 )3 |
— ()/4 Л )3 |
|
__ |
||||||||||
|
|
_____ , |
___________ |
|
||||||||||||
|
|
.,->2 |
( J C - 2 ) . ( ,/-(Зхг—5 )2 |
+ |
/( З х - 5 ) (.к~ 1) |
+ |
/ ( J C |
- 1 )2) |
||||||||
|
= |
l i m |
___________ |
|
|
-2 -(х—2 )__________________ |
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Х-+1 |
|
|
|
|
Ѵ (3 х -5 )(х -1 ) |
+ |
i/'t+T+p) |
|||||||
|
|
|
(х -2 ).( /( З х - 5 ) а + |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
— |
|
2 |
|
_ |
JL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
1+ 1+ 1 |
~ |
3 |
|
' |
|
|
|
|
||
|
Пример 12-. Вычислить lim — |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ту т - і |
|
|
|
|
|
|
||
|
Р е ш е н и е . |
Умножим числитель и знаменатель дроби на |
||||||||||||||
выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Y хп 1 |
+ |
у хп~2 + |
. . |
. 4 - |
у х |
+ 1 |
и |
у хіп 1 + |
|
у х пі~2 + |
||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
Шу-------- |
1. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
+ . . |
. + у |
у |
+ |
|
|
|
|
|
|||
4—2518 |
49 |
Получим
)» —|И| ('')ЛЛ-"1-1+ "У.у'»-2_|- , . , |
+ т )Лу+ l) |
||||
= lim |
|
Ѵ |
^ |
+ . . |
. + " К Г -і- О |
■v-l 1("У.ѵ)"' і"г] |
|
||||
1- 1г |
. . . |
+і |
= |
J!L |
|
1 1 - |
. . . |
-I 1 |
|
п |
|
Пример 13. Вычислить lim /.ѵ-ті - |
Ѵ2.Ѵ+1 |
|
|||
Р е ш е н и е . Прибавим |
и отнимем |
в числителе дроби по |
|||
1 и затем разобьем предел, па сумму двух следующим об разом:
lim Ух - 1-1—Н 2.V- 1 |
|
— lim |
Ѵх+1 -1 |
lim я/ 2 х + \ — 1 |
|
X —Ю |
X |
|
.V— (1 |
X |
X —»О |
= lim |
-V |
— Um |
2.x |
|
|
-l) |
|
|
|||
*-o |
_1 |
ТЛ x(dV(2x+l)2+V27TT +1) |
|||
|
|
2_ |
___ 1_ |
|
|
|
|
2 |
3 “ |
6 |
|
Пример |
14Вычислить lim |
—-----F |
~ ' - |
||
|
|
|
Л-.2 |
'Y'h-.y - J)/nu--4 |
|
Р е ш е н и е . В числителе дроби прибавим и отнимем по единице (так как каждый корень стремится к единице). В знаменателе прибавим и отнимем по два (так как каждый корень стремится к двум); кроме того, числитель и знамена тель поделим на х—2. Получим
|
|
у-'лПН-і |
__ У ІС Т —1 |
|
Ѵх—І —У5~2х |
.. |
.V—2 |
х—2 |
|
л -2 У б + х - |
4/ i u x - 4 |
,ѵ->2 У в ч х - 2 _ |
У lOx—4 —2 |
|
|
|
|
х— 2 |
х —2 |
|
Ilm |
*-»2 х —2 |
|
|
_ х-*і х—2 |
|
|||
~ |
Um |
- І Щ |
V |
|
|
х— 2 |
х-*2 |
Х— 2 |
|
5Ö
Вычисляя каждый из полученных четырех пределов отдела по по уже известным правилам, найдем
lim— — --------------- |
= ------------------- |
= 8. |
6 16
З а м е ч а н и е . Строго говоря, разбиение предела на не сколько более простых (как, например, в примере 14) за конно лишь тогда, когда известно, что эти более простые пределы существуют. Однако это заранее не всегда бывает известно. Поэтому, если тот или иной прием показал, что хоть одни из простых пределов, на которые разбит более сложный предел, не существует, то .следует искать другие способы решения.
Пример 15.
Um —— :----■— -— —------=
Л'->0 X
|
— lim |
У 1 + а,ѵ . 'У 1 ң-ßx — (1 4-ах)~1/ш |
|
|
||||||||
|
|
Х -+ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Л/ |
1+ Р * - 1)+ |
( l - |
|
|
|
|||
= lim "']/ 1 -fax- lim ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
•V -0 |
Л.-—0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
” v' 1 ! ßx — 1 . .. |
" У Н - а х - І |
|
|
|
||||||
|
hm ------—------- h lim — -— ■ |
|
|
|
||||||||
|
|
,v-0 |
X |
|
|
v- > 0 |
x - myr14 ax |
|
|
|
||
lim |
|
|
|
|
|
|
ßx |
|
|
|
|
|
X ("l/(l4-fl.v)"_i -i- ' V (1+ß.v)'1- 2 |
|
nV 1T ßx + 1 |
|
|||||||||
.v->0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
+ |
11 m |
m’77rT-rz~ |
X |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
*-o |
У |
1 4-ax |
|
|
|
|
|
|
V 1i m __________________________ |
_____________________ |
|||||||||||
*~a |
x ( ' " / (1 i-ax)m_1 + |
" У (i+ ax )'» - 2 + |
. . . + |
my \ 4-ax + 1) |
||||||||
|
|
_ ß |
j_ |
a |
_ |
mß + иа |
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
m |
|
nm |
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры |
для |
упражнений |
|
|
|
||||
Б е р м а н |
№№ |
268, |
269, |
271—275, |
277, |
279, |
280, |
293, |
||||
295—297, 299—304. |
№№ |
|
|
|
|
|
, |
426, |
427, |
437— |
||
Д е м и д о в и ч |
412—414, 418—423, |
|||||||||||
452, 454—456, 460, 467.
4* |
§1 |