Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

этом неопределенности вида х> — х->, 0• х-, - могут быть све-

ОО

деиы к виду (в примерах 5 и 8 | 3 неопределенности ви­

да х — X) после приведения дробей к общему знаменателю

преобразовались к виду-^-). Мы советуем читателю отныне,

прежде чем делать какие-либо выкладки для вычисления предела, устанавливать наличие пли отсутствие неопреде­ ленности. В первом случае нужны преобразования; во вто­ ром случае — чаще всего подстановка ,ѵ0 в выражение, стоя­ щее под знаком предела. Рассмотрим еще некоторые при­ меры.

к х. при л*-* —1). Вычисления проводим так:

—lim [(.v'-f I)1'3 (я—5)-(х -f-2)2,3| =0. Л'—>—1

л*-»0

58

Р е ш е н » е. Здесь имеем неопределенность вида ---- .

СО

Умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под зна­

Х-*П

В заключение остановимся на некоторой взаимосвязи по­ нятий неограниченной и бесконечно большой функций.

Напомним, что функция f(x) называется ограниченной в некотором промежутке, если существует число УИ>0 такое, что для всех х этого промежутка справедливо неравенство jf(x) \ < М. График ограниченной функции целиком располо­

вается ограниченной в окрестности этой точки, если сущест­

Функция / (х) называется неограниченной в окрестности точки *о. если каково бы ни было число М>0, в любой ок­ рестности точки х0 найдется, но крайней мере одна точка х, для которой I f(x) I >А1.

Справедливо утверждение. Если функция f(x) является бесконечно большой в точке х0, то она неограничена в лю­ бом интервале, содержащем эту точку. Обратное утвержде­ ние неверно. То есть, если функция f(x) неограничена в лю­ бой окрестности точки * о , то отсюда еще не следует, что она является бесконечно большой в точке *0.

59

Действительно, каково бы ни было число М >0, можно ука­ зать точку л'о, для которой |f(,Y0)|> A f (в качестве такой точки можно взять любую точку Хо, удовлетворяющую нера­

точке х = 0,.так как каково бы ни было число Af>0, не най­

рнм двум требованиям: 1) точка х0 будет принадлежать окрестности (—б, б); 2) /г(х„)>М . Отсюда следует неогра­ ниченность функции /(х) в любой окрестности точки X=0.

Данная функция не является бесконечно большой в точке х= 0 потому, что какой бы ни была 6-окрестность точки 0, в ней существует бесконечно много точек, в которых

60

жет быть справедливым для всех х из любой окрестности точки х = 0.

Сделанное утверждение становится вполне понятным, ес­ ли представить себе трафик данной функции. Он представ­ ляет собой кривую, совершающую бесконечно много колеба­

•раз пересекающую ось х-ов. Причем, по мере приближения х к нулю, частота этих колебаний неограниченно увеличива­ ется (изобразить эту кривую на чертеже практически не­ возможно).

2.Как будет-звучать определение бесконечно малой в ;гочке х0 функции на языке е—б?

3.Дана точка х0. Нарисуйте график какой-либо беско­

нечно малой в точке х0 функции. Кац обосновать чертеж?

5.Какая функция называется бесконечно большой в точ­

ке Хо?

6.Какая функция называется отрицательной бесконечно большой в точке х0?

7.Какова геометрическая иллюстрация бесконечно боль­ шой в точке Хо функции? Что характерно для поведения графика?

8.Что означают равенства а) 1іт/(.ѵ)=0, б) Пт /(л-)= оо,

61