Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

Скачать файл (4,62Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 87

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Бесконечные пределы

Функция [(X) называется бесконечно малой в точке л'0,

если lim f(x) = 0.

Функция f(x) называется бесконечно большой в точке х0, если для любого числа Л4>0 (хотя бы как угодно большого) найдется число 6>0 (зависящее от М) такое, что для всех л->-л'о и удовлетворяющих неравенству \ х—х0 | <6 будет справедливо неравенство \f(x) \ >Л1

Тот фак-г, что функция f(x) является бесконечно большой в'точке х0, коротко выражают записью lim f(*) = ѵ>, хотя,

• г - --Ѵ„

разумеется, бесконечно большая в точке х0 функция не имеет предела в этой точке. Иногда, вместо слов «функция f(x) является бесконечно большой в точке д'о» говорят: «функция f(x) имеет в точке Хо бесконечный предел», разумея под обеими фразами одно и то же.

Дадим геометрическую иллюстрацию бесконечно большой в точке х0 функции и покажем, что график функции y =f ( x ) при X -> х 0 неограниченно приближается к вертикальной пря мой (асимптоте) х = х0 (черт. 25). С этой целью зададимся как угодно большим числом М> 0 и проведем прямую у = М до пересечения с графиком функции f{x). Ближайшие к пря

мой х = х 0 точки	пересечения графика	функции	с прямой
у = М (их м-ожет	быть несколько!), расположенные по обе
стороны от этой прямой, спроектируем		на ось лг-ов;	получим


точки В и С, абсциссы		которых обозначим соответственно
через х0—бі и хо+ бгТогда б\| — ширина				вертикальной		поло
сы х0—бі<д:<л:о;	62 — ширина		вертикальной		полосы	А'0<
<А<Хо + бг. Выберем б=тпіп(бі,			6 2 ). Тогда для всех х ф			х0 и
удовлетворяющих неравенству \х—а'0 \|< 6				будет справедливо
неравенство \|f(x)	\|>М ,	геометрически означающее, что ор
динаты точек графика		функции f(x) для х Ф Л'п из окрест
ности А'о—б<х<*о + б превосходят число М. Это					и означает,
что по мере приближения х к а'0			график функции f(x)			«ухо

дит» в бесконечность, приближаясь к вертикальной прямой

х= х0.

Обратим теперь внимание читателя на некоторые детали, относящиеся к определению бесконечно большой в точке х0 функции.

1. Определение предполагает, что функция f(x) определе на в некоторой окрестности точки Хо (то есть справа и сле ва от точки х0); за исключением, быть может, самой точки

Л'0. Так, например, функция //=1п|х| (черт. 26), определен ная по обе стороны от точки х= 0 (кроме самой точки Л'= 0) является бесконечно большой в точке х = 0, так как для лю

бого М>0 существует	число 600,	например 6= e _if такое,
что из справедливости	неравенства	\|х—0 \|<(е_лг(х ФО) сл-е-

дует справедливость неравенства | ln | а'| | >М (действительно, если |.ѵ—0 |< е ~ Л|, то 1п | х | < —М, откуда 11п| х\ \ А функция г/=-1пх, в смысле сделанного выше определения,

не является бесконечно большой в точке х = 0, так как опре делена лишь справа от точки %=0 (для х>0). Однако в дальнейшем понятие, бесконечно большой в точке х0 функ ции будет распространено и на тот случай, когда функция определена лишь по одну сторону от точки .ѵ0.

2. Оговорка в определении хф-х$ существенна, ибо бес конечно большая в точке х0 функция может быть не опреде

лена в	точке	д'о, или определена, но неравенству	\ f(x)\ >M
в этой	точке	может не удовлетворять (читатель	не должен

думать, что бесконечно большая в точке хп функция всегда

неопределеиа в этой точке; так,	например, функция
\
■является бесконечно большой в
точке а-	= 0, но АО) = 0).

3. Слова в определении «...любого М>0'...» существенны, ибо'если найдется хоть одно М > 0, для которого невозможно

найти, упомянутою в определении числа б, то функция f(x) не будет бесконечно большой.

4. Число 8 зависит от /И; поэтому			пишут 6= ср(М). Как
правило, увеличение М влечет за собой уменьшение б.
Пример 1. Доказать, что функция f(x) = (ѵ_1)=				является
бесконечно большой в точке .ѵ=1, то есть, что lim
Каким	должно быть		.ѵ-1 (.V	І ) а
		число б>0, чтобы значения		функции
превзошли число М= ІО6.
Доказательство. Зададимся произвольно большим числом
М>0 и	попытаемся	найти б такое,	чтобы неравенство

І * - І	< 6 (хуМ )	влекло за собой			справедливость перавен-
ства	(х-1) ^>М.	(А). С	этой	целью		решим	неравенство
(А)	относительно	х 11:			^ 1
	(ѵ — 1)2 <Г — ; I -V' — I				^ 1
		м				Ум
Положим б= т		М Тогда,	для	всех .ѵ		и удовлетворяю
щих	неравенству	\х —1\| < б	будет		справедливо		неравенство
	~>М. Это	и означает,		что	lim	(.ѵг — I)=	: со. В част-
(-!)						(.ѵг — I)=
				=0,001.

Черт. 26	Черт. 27
Бесконечно большие в точке х0 функции делятся на поло
жительные бесконечно	большие, отрицательные		бесконечно
большие и просто бесконечно большие.		большой	неравенст-
Так, если в определении бесконечно
в° \ f ( x) \ >M заменить	на f(x)>M, то	мы получим опреде-

ление положительной бесконечно большой (и тогда пишут

1іт/С*) = + '"О; если вместо |/(.т)|>М написать —f(x)>M,

х-*лв

то получим определение отрицательной бесконечно большой (и тогда пишут lim/(дг) = —

X —М*0

Так,	например, функция f(x) = (л:-!)2 является положи
тельной	бесконечно большой в точке х=1. Функция	f(x) =
= Inj л" I	является отрицательной бесконечно большой в точке
,ѵ = 0 (черт. 26). Функция f(x) = ------является просто		беско-
	.V -

ьечно большой в точке х=1 (черт. 27).

Бесконечно большие и бесконечно малые функции обла дают следующими свойствами.

1.Алгебраическая сумма любого конечного числа беско нечно малых в точке х0 функций есть функция бесконечно малая.

2.Произведение бесконечно малой в точке л"0 функции на постоянную, на ограниченную в окрестности точки ,ѵ0 функ цию или на другую бесконечно малую в точке х0 функцию есть функция бесконечно малая в точке х0.

3.Частное от деления бесконечно малой в точке х0 функ ции на функцию, имеющую не равный нулю предел в этой точке, или на, бесконечно большую в точке ха функцию есть

функция бесконечно малая в точке х0 (символически: — =0; ■ а456

4. Сумма любого конечного числа бесконечно больших в

точке х0 функций одного знака	есть функция бесконечно
большая в ТОЧКе Х0 ( х;-4_ >0 —	м:.. х;).

5. Произведение бесконечно большой в точке ха функции на постоянную, отличную от нуля; на функцию, имеющую в точке х0 отличный от нуля предел, или на другую бесконечно


большую в точке х0 функцию,	есть		функция		бесконечно
большая в точке х0 (символически:				х>- чз-=>о).
6. Частное от деления бесконечно			большой		в точке х0
функции на функцию, имеющую		предел в		точке х0 (в		том
числе и на бесконечно . малую	в	точке х0		функцию)		есть

функция бесконечно большая в точке х0 (символически — = а -

7. Если функция f(x) бесконечно мала в точке х0 и в не которой окрестности этой точки, за исключением, быть мо

жет, самой точки х0, отлична от нуля, то функция <р(х) = -^— f(x)

является бесконечно большой в точке х0( — =

\ О

8. Если функция f(x) является бесконечно большой в точ

ке л'о, то функция ф(л') =

бесконечно мала в точке х0

(символически— =0).

СО

9. Частное от деления функции, имеющей ненулевой пре дел в точке д-'о, на бесконечно малую в точке х0 функцию есть функция бесконечно большая в точке х0 (символически

а	- \
—	= 30 1.
0	!
	Все сформулированные свойства применяют при вычис
лении пределов.		.у» - Зх -1- 2
	Пример 2. Вычислить lim	.у» - Зх -1- 2
	х - М	(-*- I)1
	Р е ш е н и е . Применение	теоремы о пределе частного

здесь недопустимо, так как предел знаменателя равен				нулю.
После	сокращения дроби,	стоящей под знаком	предела, на
X —1,	получим дробь	, в числителе которой	стоит	функ

ция, имеющая некулевой предел в точке х —1 (1іт(л: + 2) =3),

а в знаменателе — бесконечно малая	.t-i
а в знаменателе — бесконечно малая	в точке x = l функция.
Эю означает, что частное 'ѵ— - есть	бесконечно большая в
х — 1
точке X — 1 функция. Поэтому

l i m

Х-И

Аа -ЗлҢ-2

= со.

(* -і)а

Пример 3.

1 і т	Л'2 —2х — 3	= 1 і т	( х - 3 ) ( х + 1 ) ( / * + Т + 2 ) » _
г-з	(X3- 2 7 ) (Ѵх+1 - 2 )3		(У-З) (.ѵ-Ч-З.ѵ+9) (-Ѵ—3)а
		(х+1) • іУх+1+2)3		,
	= 11ІП— 5——-——		—	—.4-00.
	х-з	(х-3)а-(*а+Зх+9)

	З а м е ч а н и е .	При вычислении пределов алгебраичес-
ких	**	lim	Р (А*)	могут встретиться следующие
	дробей вида		Q ( х )
		х - х а

случаи: 1) Q(x0) Ф 0; тогда lim	Р(х)	Р(ѣ (таи как
	Q(x)	Q(-vo)

limQ (x) =Q (xo)

и применима теорема

о пределе частного).

JC-Jto

Р(х)

2) Q (х0)—0; тогда при

подстановке числа хо в дробь

получается один из символов

или

t где а=Р(хо) ф0.

Первый из этих символов называют

неопределенностью,

вычисление соответствующего

предела — раскрытием

этой

неопределенности. Символ

означает

частное or

деления

функции,

имеющей ненулевой предел в точке хо(а = Р(хо) =

= 1ішР(х)

ФО),

на бесконечно

малую в этой точке

функ-

х-*х„

Q(x) —'Q(xq) = 0). Поэтому,

Р{х0)

ф 0,

цию lim

если

X - * х 9

Р (X)

Q(xо) =0, то lim

(см. свойство 9).

—----=оо

х~*х<> QМ

виды

неопределенностей;

вместе

Существуют

и другие

„

со,

О О

„

— их всего семь: — ,

оо— оо, 0 •

-----,

оо .

оо

Разъясним, что значит раскрыть каждую из этих неопреде

ленностей.		С этой		целью положим		1іт/і(х)=0;			Ііітіфі (х) —
= со;	Птф(х) = 1;					а: - * „	со.	X — х 0
				1іт/2(л)=0; 1ііпф2(ж) =				Тогда вычис-
	Х ->Х 0			Х'-->Л'о	—ѵх„
ление	предела		~ h { x ) 1 О \		называют раскрытием неопре-
			п т —-----f — I
т		0	вычисление предела			фі (л)		называют рас-
деленности — ,						і т ------
		0			н	Х-+Х' фа (X)			И
крытием		неопределенности			---- ,	вычисление			предела
lim [фі (х) —-фг(х) ] называют					ОО		неопределенности
					раскрытием
х-^д:*-				предела	Нт[/\|('л')-фі(х)}			называют рас-
со—со, вычисление
крышем		неопределенности			.х —х,	вычисление			предела
					0• со,