Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

2 (.У3 — 4 л~+5) — х2—3

<

е; \2х3 - X2— 8* + 7 1< 2 • в(г2+3);

2 (х2+3)

\ х —\ \-\2x2 + х - 7 \ < 2 - г ( х 2+3).

. (Л)

Так как выражение 2х2+ х—7 в промежутке ОС х

< 2 имеет

наибольшим

значением

число 3 (при х=2), а выражение

2(х2+ 3)

имеет наименьшим значением в том же промежутке

число 6 (при л:=0), то неравенство

(Л)

является следствием

неравенства \х—1|-3<6е, или,

что

одно

и то же,

неравенст-

ьа \х—1|<2е. Положим

б=2е. Тогда для

всех

х ф 1 и

удовлетворяющих

неравенству

|х—11< б будет

справедливо

неравенство

(/().

Это

и означает,

что

предел

функции

х*___ 4# -|- 5

точке х = \

1

— — — в

равен — .

X* “f- 3

2

Пример 4.

Функция /(x )= sin ^ -

не

имеет никакого пре­

дела А в точке х = 0,

так как

в любой

окрестности

точки

,г= 0

эта

функция

бесконечно

много

раз

принимает

значе­

ния 0 и +1 и ни при каком 6>0 из

неравенства

\х—01< б

не будет

следовать даже

неравенства

s in -------А < .

sln- 1

X

1

Пример 5.

Функция у —

1 -не имеет предела

в точке

sin-

х = 0,

хотя во

всех точках, где

она определена,

совпадает

с 1.

Действительно,

если х ф — , ю

sin — ^=0,

и,

следо-

1

ПК

X

sin—

вательно, у = ------— = 1.

Причина в том, что в

любой, да-

sm-

1

же как угодно малой б-окрестности точки

я =0

существуют

точки, в

которых

функция не определена.

Действительно, в

точках

I

+2, ...) функция

не

1 '

х=>---- (га = ± 1,

определена

ПК

и каково бы ни было б>0 найдутся

точки,

для

которых

—

<6

(например,

при

значениях | п I >

—

Определение

!Ш

Тіб

і (2х— 1)—3 |< е

(М)

(нам нужно доказать, что этого сделать не удастся!).

С этой целью разрёшим неравенства

\х—1|< б

и (М) от­

носительно х:

1 - 6 < х < 1 + б

(Н), ± ^ - < х < і ± і - ,

(Я)

2

2

2

2

,

, или

\ + 8 < Л ± ±

б < ± ± 1

откуда

2

2

............. ■

ни одного б>0 такого, что интервал

(П)

целиком содержал

в себе интервал (Н).

Следовательно,

для

каждого из чисел

е, удовлетворяющих

неравенству 0<І[е<С2

не существует ни

щих

неравенству \х—1|< б было

справедливо

неравенство

(М).

Это и означает, что 1іт(2х— 1)=^3.

jr-*l

Пример 7. Какие функции f(x),

определенные на

отрезке

[О, 1]. удовлетворяют следующим

условиям: а)

для

любого

6 ^ 0

существует

6>0

такое,

что

из

\х}—х2|< б

следует

I/ (-^і)'—/(*2) |< в ;

б) для любого е>0 существует б>0 такое,

что из Xi—xz< ö

следует |/(* i)—f (*2) | <е; в) для

любого

е>0

существует

6 > 0

такое,

что

из

|*і—х2|< б

следует

|/(*i)

я2|< е ?

Здесь Х\

и х2— любые

точки, принадлежа-'

щие

отрезку {0,

1].

Р е ш е н и е ,

а)

Так

как

для

любого еЗэО существует

б> 0

такое,

что

из | лгі—лг2| < 5

следует

|/(я,) —f(x2) | < е, то

и для е= 0

существует

б> 0

такое,

что

из |хі—х2| < 6 сле­

дует

|/(хі)—f(^2) | < 0. Последнее невозможно. Следователь­

тавленному

условию.

б)

Каковы бы ни были точки х\

е [0,

1]

и х2 £ і[0,

1], для

любого е> 0 найдется

6>0

такое,

что

из

х\—х2< б

будет

следовать

\f(x\)—/(х2) |< е .

Следовательно,

и для

точек

х\= х

S 10,

1] и х2=1

из X—1<б

будет

следовать |/ (д:)—

■ / 0)1 < е-

Так как е может

быть

произво.льно малым, то

последнее неравенство

имеет место лишь при f ( x) =f ( l ) . В

силу произвольности X заключаем,

что функция f(x) должна

быть

постоянной на отрезке

|0,

1].

в)

Каковы бы пи были точки х\

и х2 из [0,

1], для любого

8>0 найдется б>0 такое, что из

\хі—х2| < 6

будет

следо­

вать |/(хі) —х2\ <е. В частности,

при хг=х2= х

из \х—х |< б .

будет следовать |/(х )—х |< е .

Так как е может быть

произ­

вольно мало, то последнее

неравенство возможно

только

для функции f(x)=x.

предела функции в точке?

Вопросы для

самоконтроля

"ч-

7. Функция f(x) имеет в точке х0= 0

предел. Определена

ли она в точке л:= 0,0000000001 ?

{ха—бі; Хо + бг) имеет

8. Если для всех х из интервала

место неравенство |/(х) — Л |< е и

Л =

1іт /(х ), то каким

9. е и

б — фиксированные

числа. Из |х—Х о | < б

следует

\f(x)—Л |< е . Можно ли утверждать, что Um f(x) =

А?

10. Где

ошибка

в следующем

Х—*Хо

«определении» предела

функции:

«Число А называется

пределом

функции Дх) з

точке х0, если для некоторого

числа е> 0 существует число

б>0 такое, что для всех х

х0 и удовлетворяющих

нера­

венству \х—х0|< б

справедливо неравенство

|Д х)—Л |< е ?

3,...). Что можно сказать о существовании

ее предела:

а) в

2

точке х = 0, б) в точке х — — , в) в точке х —0,1?

5

графика

функ­

14. Если прямые у = А ± е не пересекают

ции число б? Если не единственным, то сколькими?

16.

Доказать, что

если \imf(x) — А,

то 1іт|Дх) | = |А \.

Верно

ли обратное?

Х - * Х о

Х - * Х й

f(x) иметь несколько

пределов

в

17.

Может ли функция

точке

х0?

f(x)

определена в точке х0, то нельзя

18.

Если функция

ли число А в определении

предела функции

заменить

на