Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

21. Что означают

следующие

равенства:

а)

lim / (х) = 3;

б)

lim / (х) =

10;

в)

И т/(х) = 1;

г)

■У—» 2

lim(.v-K*2—1) == 21/ 3;

д)

дг— ►— 4

х - *0

Х-+1

s—б.

lim л:= 1 ? Ответ

сформулировать

на языке

*-*1

22. Существуют ли

а)

lim(x V х — 1);

б)

1іт(д: Ѵ Т Ш )\

л г - > 0

, ѵ - « 0

Г ------ —

1 / Xs in —

в)

lim хУ~х;

г) Пт

—--------- -— ?

*-о

. /

1

V xsm~

23. Имеет ли предел в точке х0—0 функция

ң х^ = (

X, если X — рациональное число,

I —X2, если X — иррациональное число.

24. Дано равенство lim 5= 5. Что означает цифра 5, стоя-

х - » 0

т

г

щая под знакам предела?

cos ■

25. Имеют

ли пределы

функции cos

— ,

X — 1

существует

б< 0

такое,

что

из

\хх—*2|< б

следует

|f(x,) —

из

/№)|<Се; б) для любого

е> 0

существует

б> 0 такое,

что

\Хі

Х2 1< б следует

|/ (jcj)—/(*2)|> е ;

в)

для любого

е> 0

и любого

б> 0

из \хх—х2\<Ь

следует

|f (xx)—f (х2) | < б;

г)

для

любого е$г0 существует

б> 0 такое,

что из хх—х2< б

следует

Ңх х)—/(*2)< e;

д)

для

любого

е> 0

из |хі—х2|< е

следует

\f(xx)—f(x2)|< e ; е)

для любого

е существует б та­

кое,

что из

|л:і

х2|< б

следует

|/(х і)—f(x2\<Ce\ ж)

для

лю­

бого

е> 0 существует

б>е

такое, что из

хх—х2< б

следует

1/(^1)

f(x2) I ^ е ? Здесь хх и х2— любые точки, принадлежа­

щие

отрезку [0,

1].

Примеры

для

упражнений

Б е р м а н №№ 190, 192, 193, 213.

Д е м и д о в и ч. № 401.

Кроме того, рекомендуем

I. Доказать равенства

а)

lim (х3 —4х+2) = — 1; б)

lim

'v —5

в) lim

-1

ЛГ-1

.«-*3 X3 + 1

2 -V' •

. .. X*—Зле+2

=

— ; д)

lim

X s + 2 х 2

—2] е) Um 2* = 2 ;

г)

lim -------------

Зх —2

'

2• (ха —4)

8

-о 2.*3

х—*\

ж)

lim co sx = l;

з)

lim У х + 3

=2;

и) lim

X3 +4х Ч-З

13

дг-0

д:—>1

._2

X3—5д:+ 5

функции f(x )= x + l в точке х = \\

б) число В = 0 не являет­

ся пределом функции <р(л:)=л:2 в

точке х=2.

2.

lim л: =

х0.

х - + х 9

3.

Если

lim f(x) = А,

Іітср ( х)= В,

1ітф (х ) = С,

mo

Х - * Х 0

Х + Хщ

х - * х 9

lim■[/ (л:) + ф (х) —ф(х)] = А +

В — С.

(А)

Х -¥ Х ь

существования предела

limi[/(x) ±<р(х)]

не

следует сущест-

Х - * Х а

в точке

х0.

вования пределов функции f(x) и q>(x)

А. Если lim f1(x) = A1, lim f2(x) = A2, .

. ., lim /„ (x) = An,

X - * X 9

x - > x 0

.

X-+XQ

Обратная

то 1іт[Д (х )-/2(х) • . .

. ■fn(x)] = АхАг .

. An,

а при условии А >-0 и

lim А f(x)

= уСД .

С л е д с т в и е

Х -+ Хо

2. Постоянный множитель можно вы­

носить за знак

предела-,

lim \C-f(x)\ = C-Iimf(x).

X

X —*X q

5. Если lim Ңх) = А,

lim cp(x) = B ^Q, то l i m ^

— А .,

X -> X q

Л'->Л'о

X —>Xq Ф (-V)

В

Посмотрим

теперь

на

примерах, как применяются эти

теоремы.

I. Вычисление

пределов

целых

рациональных функций

Напомним, что целой рациональной функцией назы­

вается функция у= Р п{х), где

Рп{ х )-а пхп~\-ап_1хп~1+ . . .

-\-ахх -f-a0.

Пример 1. lim [апхп -f а ^ х “- 1 +

. .

. -{-apt + а0]

=

lima„xn +

Х -+ Х 0

. +

П т^л: + 1іт я 0 =

lim а„_1л:п- 1 -f . .

=

x — X q

x -+ X q

. .

л:-* а'о

x - * x 0

а,і • limx,'+ ап_1-1ітд:л- 1+

. -f- a1-limx +

+

х-*х0

x-tXa

X — Xo

Пт а0 = апх0п -j- an_iX0n_1 + .

. . + aLx0-\-aa. В кратких

Р (X)

Функция — ' , [

1 где Рп (х) и Qm [х) — целые рациональ-

ные функции—называется

дробно-рациональной. Пусть

треоуется вычислить lim —

. Если Qm (х0) =£0, то,

х-х0

Qm (А

lim - Рп(*)

_

J j lA L

.

(Б)

Л->.Ѵ0 Qm (х)

Qm(.Vo)

,

Если

Pn(xo)~Qm(x0) = о, то,

как

это

следует из теоре­

мы Безу, многочлены Рп{х) и Qm(x)

содержат множитель

X— х0,

на

который следует

сократить

(сокращение воз­

можно

в

силу оговорки X Ф *о.

сделанной

в определении

пользоваться

формулой

(Б).

Случай Рп (х0) Ф 0, rQm(x0)= О

будет рассмотрен ниже.

*3 _зѵ2

_2

Пример 2.

Вычислить П т ------1-----:---- .

а--*і

ж-—5-ѵ—4

Р е ш е н и е .

Так как

здесь предел

знаменателя равен

нулю при X

1,

то применение теоремы

о пределе частного

,.

х3 —Зх2 + 4 х —2

,.

(х3 — х2) — (2 х2 — 2х) 4 - (2 х —2) =

П т -------------------- =

Пт

—5-ѵ + 4

л - 1

X2 - 5 х +4

л - > 1

= Пт

-5л: +4

+

= 1 іт . (х —1)-(х2 —2х + 2 ) _

л - 1

Л-+1

(X— 1)-(х —4)

= П т

X 2 —

2х + 2

1— 2+2

____ 1_

л —> 1

X —

4

1—4

~

3

Пример 3.

. . .

х* + 6 х 3 +

12 .+

+ 8.V

Л— 2

х 3 + З х 2 - 4

, .

X (X3 +

З х 5 -2 +

З х - 2 2 + 2 3)

л

-

, - 2 (Xs +2х2) +

(X2+ 2.Ѵ) -

(2х + 4 )

Н т

_________X (х + 2 ) 3___________ __

(X +2) + X {X +2) —2 (X +2)

_

2

Л-2

=

Пт -----

X (х + 2 )3

_

л - » —

2

(-Ѵ 2 +

X

-2) (.V +2)

= П т

X(х+2)3

— П т ■ ■у(X+ 2)

= 0.

Л— 2

(л: — 1)-(х + 2 )2

л- —2 х —1

III.

Вычисление пределов, сводящихся к пределам вида

Н

т ^

л->л„ Qm(x)

д*2

Зх —4

---------f-

(

X—4

2

х2 — 3

lim

X2

З .ѵ — 4

\

+

1 ± ± . = _ 9 + _L= -

8A .

ь -4

Ч~

)

х-*3

2 а-2 - 3

3 - 4

1

2 - 9 — 3

3 »

3

Пример 5.

Вычислить lim /—-----------V

F

F

A - lU - l

а3 —1/

Р е ш е н и е . Здесь

применение

теоремы о пределе част­

ного в каждом, слагаемом невозможно. Приведя

обе дроби

к общему знаменателю, получим

Пт

2

=

---------- £ ------- ) =

1 А — 1

А3 — 1 /

х-*1 \

А — 11-

((XА -—1 1)( А(А2 --f-- AА +- f1- 1) )

Рассмотрим теперь более сложные примеры.

Пример 6.

Хп = Пт

Ап (хт~п —1)

Пт Ат —

XР — А®

X 1

хЯ (а р ~ч — 1)

Н т

* ” •(* — i) - ( A '” - n - 1 +

Am - n - 2 +

■ ■ - - 1 - А + 1)

* - й

А? ( А — 1) ( х Р - Я - 1 + х Р - 4 - г +

. . . + А + 1 )

р — я ■; (т и п — целые

числа;

т^>п^>0; p^>q^>0).

Пример 7.

П т

х + а2+ ■ •

• + * " - « _

1іт (^—О Ч- (-ѵа —1) + • • ■+ (*л-1) =

х->1

А — 1

.

А — 1

-

Пт (* ~ 1)[1+(* +1)+(*2+л'+ 1 ) + • ' • + (^П- Ч а”-2 + . .. +1)1 _

Х -+ 1

X—1

= 1 + 2 + 3 + .

. . + « = -iÉLtiL

Пример 8.

Пт / —----------- —

W

lim (--------------- ----------------

* - і \ 1 - а л

1 — а " 1/

* - і \ ( 1 — а ) ( 1 + а + .

. . + а " - 1)

___________

от________________\

__

( 1 — А) (1 + А + . . . + хт~х) I ~

~ l i m п ( 1 + д ; + - -

• + А т - 1) — ОТ (1 + А + ■ ■ ■ + А " - 1)

А - 1 ( 1 - А ) ( 1 + А + .

. . + А « - 1 ) - ( 1 + А + . . . + А " * - 1) '

V