Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

12. Зависит ли число Ö, упомянутое в определении беско­ нечно большой функции, от М? Каким образом? Всегда ли функция б= ф(Л4) монотонна?

13. Единственным ли образом по заданному числу М >0 можно найти соответствующее ему б, упомянутое в опреде­ лении бесконечно большой функции? .

15.Какая функция называется а) ограниченной, б) неог­ раниченной в окрестности точки х0?

16.Если функция является неограниченной в любой ок­ рестности точки х0, то можно ли утверждать, что она будет бесконечно большой в точке х0? Приведите примеры, иллю­ стрирующие ответы.

17.Какими свойствами обладают бесконечно малые и бесконечно большие функции?

18.Если функция f(x) имеет в точке х0 предел, то будет

ли она ограничена в окрестности точки Хо?

19.Функция f(x) бесконечно большая в точке х0 умно­ жается на ограниченную в окрестности точки х0 функцию ср(х). Может ли функция f(x)-cp(x): 1) быть бесконечно боль­ шой в точке х0? 2) быть ограниченной в окрестности точки ха? 3) быть бесконечно малой в точке х0? Привести примеры, иллюстрирующие ответы.

20.Функция / (х), бесконечно большая в точке Хо, умно­ жается на бесконечно малую в точке Хо функцию ср(х). Мо­ жет ли функция [(х)-ф(х): а) быть бесконечно большой в точке Хо? б) быть бесконечно малой в точке х0; в) иметь ко­ нечный и отличный от нуля предел в точке х0. Привести при­ меры.

5. Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Для каждой функции /(х) и любой точки х0 возможны случаи.

■ 1. Функция не определена в точке х0; 1іт/(х) не сѵщест-

-Г—,ѵ„

вует ^например, f(x) = — , х0 = o j . »

62

х-*х0

и, кроме того, lim f(x) = / (д0) (например, J(x) = xl, л-0 =2).

А‘—»Л'о

В этом последнем случае функцию / (т) называют непре­ рывной в точке х0.

Итак, функция 1(х) называется непрерывной в точке Хо, если ее предел в этой точке равен значению функции в точке

лу т. е. lim f (x)=f (x0). >■

I о

Заметим, что непрерывность функции в точке Хо озна­ чает совпадение трех обстоятельств, а именно: 1) функция должна быть определена в точке х0, 2) она должна иметь предел в этой точке, 3) предел функции в точке х0 должен быть равен значению функции в точке лу Совпадение столь «благоприятных» обстоятельств позволяет ожидать от непре­ рывных функций многих замечательных свойств по сравне­ нию с прочими функциями. Некоторые из этих свойств мы в дальнейшем отметим.

Поскольку определение непрерывности функции в точке дано с помощью понятия предела, то возможно и другое, равносильное первому, определение непрерывности функции в точке, а именно: функция f(x) называется непрерывной в точке Хо, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если для любого е>0 существует число 6>0 такое, что для всех X, удовлетворяющих неравенству \х—Л'0|< б , справедливо неравенство \f(x)—f(x0) | <е.

, Рассмотрим примеры.

Пример 1. Доказать непрерывность а) степенной у*=хп и б) целой рациональной у = Рп(х) функций в любой точке х0.

63

в точке х = 2, используя второе определение непрерывности.

піее значение у шы = — (в точке х = —), то из справедливос­ ти неравенства \х—2 |< - j(B ) будет вытекать справедли­

вость неравенства (Б).

Положим б= Тогда неравенство \х—2 |< б '(совпада­

ющее с (В)), через посредство неравенства (Б) повлечет за собой справедливость неравенства (А). А это и означает,

что функция f(x)= — непрерывна в точке х —2.

Существует и третье, равносильное первым двум, опреде­ ление непрерывности функции в точке. Так как равенство

64

Иными словами, непрерывная функция позволяет перехо­ дить к пределу под своим знаком.

Последняя теорема имеет огромное значение для практи­ ки вычисления пределов. -Так, в силу непрерывности основ­ ных элементарных функций и теоремы 4 справедливы ра­ венства:

З а м е ч а н и е . Очень часто, начинающий изучение мате­

матического анализа, например, пишет lim cosx = cos 0= 1, не А'—>0

отдавая себе отчета, на основании чего произведена эта вер­ ная запись. Обращаем внимание читателя на то, что эта за­ пись верна в силу непрерывности функции cosx в точке х = 0. Читатель, производя любые вычисления и предельные перехо­ ды, должен научиться обосновывать каждый шаг своих вы­ числений. Рассмотрим примеры.

щем основании. Функция, стоящая под знаком предела, элементарна, а значит непрерывна в точке х —2. Следова­ тельно, предел этой функции равен значению функции в точке х —2, что и записано.

Пример 5. lim [lnIX2—7л:-р6 ) — ln | х2 -+ 6х —7 1] =

Здесь мы воспользовались непрерывностью логарифма.

66