Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

Пример б.

Это и есть окончательный ответ. При вычислении предела мы последовательно воспользовались непрерывностью пока­ зательной функции, непрерывностью арктангенса, непрерыв­ ностью синуса и теоремой о пределе частного.

6. Используя первое отделение непрерывности, доказать непрерывность функций

а) ij — — — , б) у = / л 3— 1 - в любой точке.

7. Используя второе определение непрерывности, дока­ зать непрерывность следующих функций:

а) у = — 4— в точке ,ѵ=0; б) у — у х —3 в точке х =4.

8.Используя третье определение непрерывности, дока­

во всех точках их области определения.

Вопросы для самоконтроля

1. Какая функция называется непрерывной в точке х0? Дать 3 определения.

2.Как доказать равносильность всех трех определений непрерывности?

3.Какая функция называется непрерывной в интервале

[а, 6)?

4.Какие точки называются: а) граничными, б) изолиро­ ванными для функции f(x)?

5.Как читаются теоремы а) о непрерывности сложной функции; б) о переходе к пределу под знаком непрерывной функции; в) о непрерывности элементарных функций?

6.Сформулировать на языке е—б, что означают равен­

ства:

—/(Л'о)]=—5? Где можно, связать ответ с непрерывностью функции f (х).

б) в других точках?

9. Как на языке е—б сформулировать утверждение: функ­ ция f{x), определенная в точке х0, не является непрерывной

вэтой точке»?

10.Доказать, что если функция f(x) непрерывна в точке х0, то и функция f(x) = |f(x)| непрерывна в точке х0. Верно ли обратное?

11.Функция /(х) определена на отрезке [0, 1]; Х\ и xz — любые точки этого отрезка. Доказать, что а) если для любо­

го е>0 существует 6>0 такое,- что из |хі—х2|< б следует

68

f(xi)—f(x2)< e, то функция f(x) непрерывна в каждой точке интервала (0, 1); б) если для любого е> 0 существует 6>0

6. Замена переменной при вычислении пределов

Докажем предварительно следующую теорему о пределе сложной функции.

Теорема. Дана функция y = f[<p(x)]. Если функция и=ц>(х) имеет в точке х0 предел, равный и0 и, кроме того, в некото­ рой окрестности точки х0 (за исключением, быть может, са­ мой точки х0) не принимает значений, равных и0, а функция у = f ( и) имеет в точке uQ= \\my(x) предел, равный А, то и

сложная функция .*/=/[ф(Х)] имеет в точке х0 предел, рав­ ный А.

Доказательство. 1) Так как функция f(u) имеет в точке и0 предел, равный А, то для любого е>0 найдется число т]>0 такое, что для всех и ф «о и удовлетворяющих нера­ венству

69

4) Так как неравенство (III) при х +х0 влечет за собой справедливость неравенства (I), а неравенство (I), при усло­

6>0 такое, что для всех х =j=Л'0 и удовлетворяющих неравен­

Теорема доказана.

З а м е ч а н и я . 1. Как следствие только что доказанной теоремы может быть получена теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции (теорема 4 § 5). Пусть дана сложная функция г/ = / [ ф ( х ) ] . Е с л и функция и=хр(х) в точке х0 имеет предел, равный и0, а функция y=f(u) непре­

рывна в точке ы0= 1 і т ф ( л : ) , то

л-*х0

l i m /[ ф( .ѵ)1 = / ( 1 і ш ф ( . ѵ ) ) .

X - * X q X~+Xy

ки А'о любые значения, в том числе, равные и0. А тогда, на

2 § 5) может быть получена как следствие теоремы о пере­ ходе к пределу под знаком непрерывной функции. Действи­

70