Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

У =

^2 _J

и = ф (х) ■

X I

, если

I

X I

>1

----- -, где

1,

если

I

X і

<

1.

Очевидно 1ітф(х) существует и равен

1.

Существует также

' А--Ч)

^

= lim (u + 1) = 2.

Но в

интервале (—1,1) зна-

и Ііш----------

U-+1

и-- 1

«-»1

совпадают с ее пределом в точке х = 0.

чения функции ф(л:)

Ввиду

этого функция у — —т

— — оказывается

неопреде-

f(x —1)

в точке х0 = 0

ленной в интервале (—1,1). Поэтому предела

она не имеет.

в точке х0 даже

4.

Функция Яф М ] может иметь предел

в том случае, если функция и=ср(х)

не имеет предела в точ­

ке х0.

Пусть, например, дана

функция y = sin —, где и ——— •

и

s i n л :

Функция

и=------ не имеет

предела в точке х — 0.

Однако

функция

s

i n X

определенная

для

всех х =£=nk(k=.

г/=/Тф(*)],

= 0, +

1,

± 2,...) и имеющая для этих х

вид: y = sinsinx, имеет

предел в точке х = 0, равный нулю.

Огромное

значение доказанной

теоремы

состоит в том,

что она оправдывает так называемый метод замены пере­

менной при вычислении пределов. Пусть, например, требует­

ся вычислить 1іт/[ф(л:)], который невозможно или трудно вы-

л-->л-0

положить

числить уже известными средствами. Мы можем

а=ц>(х). Если

1ішф(л:)=«о и

условия

теоремы

о пределе

■ѵ-м-о

то справедлива формула

сложной функции выполнены,

1 і т / [ ф ( . ѵ ) ]

= 1 і т / ( м ) ,

( V I )

X - * X q

U - *U q

* - > і

х й — 2 x 3 - l n X + l n 2 * — 4 , v 3 - j - 4 1 n X + 3

U — X? — In Л'.

Так

как

«0 = lim(x3—Іпх) = 1 и существует окрестность

точ-

ки

х=1

Л'-П

(кро­

(например, |.ѵ—11<0,5), для всех х которой

ме х=1)

X3—Іпх ф 1 (рекомендуем читателю в этом

убе­

диться),

то применение формулы (VI) допустимо и преоб­

Ul l i ——

— .

и-*і и 2 — 4 и -|-3

Следовательно,

имеем

а--и

.V0 —2.ѵ3-1пл: +

1п2.ѵ — 4л3 -}-4.1па'+-3

,.

и — I

и — 1

..

1

1_

= li m

------------- =

11 m -------------------=

11 m -------

2

и->1 и2

іи

( и —

3)

и-> и —

—

4 -3

u-> I

1) (к —

29—X

_21

3

Пример 2.

Вычислить

lim —---- 1------ .

а—>з

X—3

Р е ш е н и е .

Здесь неопределенность вида-^-. Спомощью

замены переменной мы можем привести

выражение,стоящее

под знаком

предела,

к

рациональному

виду.

Положим

ЪѴ 29 + х —2= і/.

Тогда

х = ( у + 2)5—29,

а знаменатель

-V—3 =

(у + 2)5 —32.-Так как у0 = lim ( s[/ 29-|-.v—2)=0, и для

X 4=3 у 4=0, то

X-*■3

, .

V 2 9 + X - 2 У

lim —------------=

li m

д г - * 3

і/-> 0 (у -т-2)5— 32

= lim ■

У

У- о

Уъ+ Ш

+ 4 0 з - 3 Н -80^ 2 4- 80jy

4 - 3 2 - 3 2

_

1

_

— “

" о

у4 + 1 0 /

+ 4 0 # 2 +ВОу + 8 0

_ ' 80

lim

п

= lim

п

т

\ 1 — х "

1- х '

у-*о

1 - ( 1 + - у ) п

1 - ( 1 + < / Г

lim

— п

,

т

ту+ т ( т — 1)

• • +уП

о

2!

пт (т — 1)

— пуп

- т п у - ----------- ----------- Уа - .

VХ-\ -1

• 1 - 1

Пример 4. Вычислить lim

х—1

4 - Vх~ \ -1

- 2

х-*2

х-2

,

,.

л2 -4 9

(ответ

24);

I.

lim

х-*7 V 7 X + 1 5 - 2

2.

lim

( V 1 +ле_л • sin X — Y 1 —хе~х ■sin х ) ел

(ответ 1).

л-»0

X •Sin X

/

-

7х -6 *

3.

lim

V

л2 — 5.Ѵл+ 6

(ответ—2)

2+

х-*2

5*2 - 7 х

- 6

VX2 —5л + 6

ял

ял

4.

lim

sin'

— 3sln

■+2

ответ —

ЗТ X

у I)

Л Х

\

8

2

sin2----- —lOsin------ +9

4

4

i t 2* 2 — 4зт.ѵ t g — + 4 t g 2 — — 5 я л + 10 t g — + 6

C

1 •

X

X

X

5.

lim ------------------------------------------------------- -

4

1

1

1

■*-* — я 2л 2 — 4 я л t g — + 4 tg 2 — — 1 2 я * + 2 4 t g — + 2 0

ответ

— .

I

8

о

,•

V l + 127jc-2

/

ответ

3 3/ T

o.

lim

------— 1-------------- ;

y-n

Я- Г-___ ___■■

* Q_

Г—

1

1

28

syr і + 127я — 8 3|^2

'

\

7.

lim [------ ——1 =

I

ответ

m ( \ - mVx) :

Ln (I—V X,)

I

2nm

8.

lim

aV — xq

(ответ

со).

x-rn

\ aP — xP

о

1 ■„

x—1 —1

/

ответ

m \

.

9.

lim ■■'r>__- —

—

x->2 m V x - i - 1

\

Л.--.0 л:

анализа доказывается,

что

лом. В курсах математического

1

*

si n X

<

/ л ч

1lim

-------=1.

(А)

.ѵ->0 X

Наряду с формулой (А)

следует помнить формулы

lim

sin ах

= а

( Б )

X

лг-0

lim ■ sin ах

а

( В )

л:-*0 Sin bX

при X -> 0 и у

0 и, кроме того, y=h 0 при

0 и а=£=0, то

при а і=0 имеем

lim

sin ах

,.

sin у

=

..

sin у

= l i m -------—

а - l i m -------— = а.

д?-ѵо

X

о

у

у-*о у

а

При а —0 справедливость формулы

(Б)

очевидна. Форму­

лу (В) получаем так:

Пример 1.

"

2 х —3sin;c

X — «J

X

Л — о 1 і іи

ЛГ-.0

X

2—3

1

l i m

l i m --------------------------------

sin je

- ---------------------------------=

---------- =

— .

v-jf, Бх —7sinx

A--.0 _

„

.

sin*

5—7

2

5—7 --------

X

5—7 lim

--------X

» 0