Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

Пример 2.

sin X

■—sinx

. .

tg А' —SinX

- lim •

cosX

lim — -------------

sin

7x

x+o

x-sin5x-tg7x

x —> 0

. _

X

• sin o x

• cos

7X

lim

sin X

1—COS X

cos7x\

siri5x-sin7x

cos X

. v - 0

X

X

sin—

sin —

1

1

-2 lim

---------- lim ---------

=2 -

*-.0

sin

5x

*-*o

sin 7x

10

14

70

2

2

Пример 3. Вычислить lim

sin xn

.v-0

Sin,n.v

Р е ш е н и е .

Рассмотрим случаи

1) n = m. Тогда

lim

— = lim

sin7)1

jc-o

sinn X

*_*o

sinx n

lim ■

x n

*-o

= 1.

lim

sinX \ n

v->0

2) n>m. Пусть n= m + k, где k>0. Тогда

Иm

ЭІІ1 Ar

— lim

m+k

---------

sinx'

x-И)

sinm X

x - * 0

Sin"

=

lim [ sin^ ” -

. (—Z— Y

•**] = 1 -1 -0 = 0 .

x-*0 L Xm+k

\ sinx j

\

3) n < m. Пусть n + p — m, где p >Q. Тогда

lim -

sinxn

_ lim

sinxn

JC-0

sinmX

A'-+0

1ntP;

lim

sin xn

. (

*

' n+p

j =

1 • 1 0 0 = 0 0 ,

*-*o

xn

\

sin X

>)

xP

lim

cos 2x

lim

COS“ X — sin-x

sin X 4 - COS X

x~*

к sin X 4 - COS X

Х - +

7

T

=

lim (cos* — sinx ) = y r2~.

Пример 5.

ВычислитьПіт

sin X

Зк

Sin 6.V

(В) неприменима, так как х стремится

не к нулю, а к Зя.

Делаем замену переменной у — х —Зя. Так

как при ді-і-Зя

0, у фО при л: ^ З я , а. х = у +3я, то

имеем

lim

sin X

,.

sin (у +3я)

..

— sin у

sin 6x

= lim

—

- — hm ■

}

у—10

sin(6y+ 18n)

у.,о

sin 6y

sin-

sm -

=

21 im

■lim •

j:-*0

Jt-t0

X

=2 b + a

b * - a 2

Пример 7.

Вычислить lim

TtX

(p ф 0).

( a —p )-tg ----

л-->р

2p

— lim

_ +

_5L')1 =

lim

и-о

/J

у->о

■lim /-

2р ,

У

•cos —— ____ 2р_

ли

»-о і .

пу

2Р

Л

sin

-----

2р

Пример 8.

1-j- tg je—1

lim

**>/" 1 -f- tg А — 1

1- f t g А

+1)

,v->0

s in 3a

i ' i o

s in 3.A-

( Y (1 ~ t g А)2 +

Y

= lim

1

1

COS .V

У

О Т

tg x ) 3 -b

Y l

+

tg А + 1

*-»o V s in

3.V

— - 1-

1

1

3

3

Пример 9.

Вычислить

lim-

c o s (1 —

c o s x)

x+0

0

Р е ш е н и е , Здесь неопределенность

вида — . Умножаем

числитель и знаменатель

на

(1—cosx)2

и разбиваем

предел

на произведение двух

l i m

1— COS (1— COSA-)

l i m

1— cos (1— cos а)

(1— COSA)3

------------- ---------------— =

------------------------—

— - l i m

-------------—-

*->0

A—>0

(1 — c o s a )2

x—*0

В первом из этих пределов делаем замену

1—cosх = у. Так

как при лг-э-0

и //->0, то

cosy

1— c o s (1 —

c o s а)

. .

1 —

. .

(1 —

COSA)3

lim --------- ---------- - =

lim -------- - • lim —--------- — =

A-.0

A1

i/->0

tj-

a-»0

A*

2 - s i n 2

. . , X

4 s m 4 —

— lim ■

•lim

2

= 2- — .4 —

= —

i/-»0

а -»О

4

16

8

X —>0 А

Р е ш е и и е.

Здесь неопределенность вида —. Полагаем

о

Зх и разобьем предел на произведение двух

lim

---- 5—

= lim

----- -—

lim ----------

=

x-»0

tg 5x

*-*0

3.V

ЛГ-.0

tg 5x

= lim —

lim —Зх

= lim (—-— -cosy\ X

y-*o

tg у x-*o tg 5x

у.,о \ sin у

)

X lim f

• cos 5x ) =

— .

Пример 12.

,r-o V sin 5x

/ 5

_________

_____

V 1+ arcsin 3x — Y 1— tg2.v

_

*->o

3K 8+ sin X — 3^ 8 —arctgx

>/l + arcsin 3x — 1

_

V 1 — tg 2x — 1

= lim

_____________________ X_____________ - ________________________ X_______________

A*->0

ЪУ 8 + sin X —2 _

3У 8—arc tg x

—2

X

X

lim

/ ! + arcsin3x—1

_

Hm /

1 - tg2x —1

A --.0

X

x-0

X2*

lim V

8+ sin X —2 _ ljn,

V 8 —arc tg x -2

x-tO

X

A--»0

X