Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

кает, что в некоторой окрестности точки х0 и / (,ѵ) > 0. Тогда

(Здесь мы последовательно воспользовались непрерывностью показательной функции, теоремой о пределе произведения и непрерывностью логарифма.) Итак, если пределы основания и показателя степени существуют каждый в отдельности, причем предел основания положителен, то при вычислении предела сложно-показательной функции можно переходить к пределу отдельно в основании и отдельно в показателе степени.

Большую роль в курсе математического анализа играет так называемый второй замечательный предел

_і_

1im( I +x) * Д-.0

(неопределенность вида 1“ ), относящийся к рассматривае­ мому типу пределов. Доказательство его существования чи­ татель может найти, например, в учебнике Н. С. Пискунова «'Дифференциальное исчисление». Этот предел обозначают буквой е. Оказывается, что е — число иррациональное и трансцендентное (то есть не являющееся корнем алгебраи­ ческого уравнения с рациональными коэффициентами). Вы­ числения показывают, что

е=2,718281828459045...

Число е принимают за основание так называемых нату­ ральных логарифмов, для обозначения которых используют специальный символ ln: lna = logta.

Натуральные логарифмы по сравнению с прочими обла­ дают рядом преимуществ. Многие формулы, содержащие логарифмы, выглядят проще, если за основание логарифмов взято число е. В дальнейшем читатель убедится в этом (см., например, формулы 8 и 9 на стр. 98).

80

Перейдем теперь к рассмотрению способов раскрытия неопределенностей вида 1 ~, то есть будем рассматривать пределы вида

Х - * Х 9

где limf(х) —1, linwp(x) = оо.

возможность перехода к пределу отдельно в основании и от­ дельно в покавателе степени, выполним следующие преоб­ разования:

Х-+Х%

(Предел, стоящий внутри фигурных скобок, вычисляется за­ меной переменной: f(x) —1=й. Так'как при х-*-х0, f(x)->-1, то при х->-Хо и-+ 0. Кроме того, для х=£х0 и иф 0 по край­ ней мере в некоторой окрестности точки Хо, а тогда примене­ ние теоремы о пределе сложной функции приводит к резуль­ тату

Теорема доказана.

* За исключением, быть может, самой точки х0.

З а м е ч а н и е . Третье условие теоремы можно заменить следующим. Функция f(x) должна строго монотонно стре­ миться к своему пределу 1. В этом случае автоматически обеспечивается ее отличие от 1 в некоторой окрестности точ­ ки *0, за исключением,- быть может, самой точки х0. Разу­ меется, с такой заменой условия 3 теорема становится менее сильной, но зато легче проверяется выполнимость ее ус­

( І Г Н

82

Пример 8. l i m ' 1V*43)13 ^(неопределенности нет:

\ Зя—1/

(ІГ = 0).

Мы видим, что вычисления с помощью формулы (*) до­ вольно просты. Однако читатель, чтобы избежать излишнего формализма, должен научиться вычислять пределы «типа е» не прибегая к формуле (*). Для этого в каждом конкретном случае следует повторять те выкладки, которые делались

для вывода формулы (*). Рассмотрим пример. 1_

_1_

2. lim(l + lnoc)^;

3.lim (1+ ^ (ответ: е2*;)- *-+0

Вопросы для самоконтроля к § 8-10

1.Как читается теорема о пределе сложной функции?

2.Для чего в теореме о пределе сложной функции нужно условие, чтобы внутренняя функция ф(х) в некоторой ок­ рестности точки х0, за исключением, быть может, самой точ­

ки Ха, не принимала значений, равных своему пределу в точ­ ке *о?

3. Может ли функция y = /ftp(x)] иметь в точке х0 предел, если в этой точке не имеет предела функция ф(х)? Привес­ ти примеры.

4. Как читаются теоремы а) о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, б) о непрерывности сложной функции? Как они выводятся из теоремы о пределе сложной функции?

5.В чем состоит метод замены переменной, применяемый при вычислении пределов? Всегда ли он применим?

6.Какой предел называется: а) первым замечательным,

б) вторым замечательным? В чем их «замечательность»? 7. Существуют ли

V

S4

ки х0 (за исключением быть может, самой точки х0)? Где

ним сводящиеся.

Вычислим перечисленные в заголовке пределы (заметим,

о , что каждый из них дает нам неопределенность вида —1

1) Для вычисления первого из этих пределов заметим,

85