Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

2) Для вычисления второго предела

положим

у = сх—1.

Так как при

х ^-0 у ->0 и л; = 1п (1 + у), то lim е-ѵ-1

= 1іт

= 1.

.ѵ->0 *

у-* О ІП(1 + І/)

(1+.ѵ)а - 1

lim

(і-ь лг)“ — 1 ..

« - і п ( і т х )

lim — ■—------- =

1— --------lim -------------- .

Л.-Ч-0

X

x~0

а ln (1+ x) Л.--0

X

первого-прлагаем

у —(1 + х )а—1. Так как

при х->-0 у-э-0 и

aln(l +x) = 1п (1 +у), то

lim

(1+ж)*

■= а > 1іт

—а.

*-<•0

«-о 1п(і + у)

Пример 1. Вычислить lim

log°---- --- .

х ~ 0

X

lim

loga(l-rfo:)

,■

ln(l-l-fex)

1н (1+У) _

аv — - =

lim ----—— — = lim

о

л:—1

Х -ІП Ц

Ѵ-0

У .

—— -1п а

к .. Іп(1+г/)

к

------ lim — — — =

------

Ina

І/-.0

у

,

In а

Пример 2.

lim

Vе

lim

b

j -1

X

Х->|

*-0

xln —

,

a . 1 •

.rin -

, a

= limft-Mim

e

* —1

e

— I

----------=

ln — • l i m-

----= ln — .

x-Q

*-*0

•

X

b x~o

а

b

Xln —

0

Пример 3. lim 1оУГ-

lim ( Ц -

X)

10

#-*o

Пш

ln cos*

— Hm

ln [ l+ ( c o s ^ - l) ]

_

x-*0

X2

x - 0

X2

, — 2sina —

= lim .^ +

^

- ^

-.iim

- ^ Y l =

Hm----------- 2-

x - 0

COS X — 1

x-+0

X2

x-0

X2

1

П р и м ер

5-

ex- — c o s X

e** —1+ (1 — cos л) _

lim

lim

x - 0

jë»

x - 0

Xа

— lim

e * * - l

, lim

1 — COS X

= l + f = l , 5

x - 0

*

x - 0

X

П р и м ер

6-

lim

V

l +

a x - V l + ß x - f

_

x —0

I

-*

1 -

ß

T

;

Y

i +

' / \-\-ax

— lim my \ -f- ax-

lim

x - 0

x—0

= 1« ! ^

. - 1

lim

V T + 1

x-Q

X

X-+0

1

1

= ß ■lim -ü ± ß-x)-

— а • lim

nt

ax

X - + 0

ß*

*-o

_

ß

+

— =

an + ßm

n

m

am

П р и м ер

7-

\

Um

=

Hm ! Г ! Г - 8-У. + »)

lim 3 -Mim ( - — -) =

e-0

X-+Q

x - 0

x - 0 \ X J

=

ІпЗ-lim

^ 11- —1 )■ = in . 3.

(

x-o

*ln3

лг-Ы \

2х

Р е ш е н и е .

Здесь неопределенность

вида

0 • эо. Введем

новую переменную х= 1__Так

как

при х-+1,

у-*-0, то

д+1

У+ 1 ■tg

я(</+1)

jt—1

\

2 X /

у

- *о

]=

lim

( lnX■tg -^ -)

=

limHi

ln-

1

= lim [ln (y + 1)-ctg-^-1 =

tf-o

2 J

HmfiUÖLtil. . - Л ----- cos-2*1 = A .

y-o

L

У

.

ny

2

J

я

Примеры

для

упражнений

Вычислить пределы:

)

Пт

ctg -V

ъг .- 2 х

1) Пт ( Ѵ Т -

-1

2)

лг-2

ln cos ях

Пт e a r c s i n л- _j_ s i n 2 x .

л-0

sin 3x

4)

lim -n ,

--- ;

3

1— cos ln cos Ix

л-о

/ 2n+ X4 —2

5

ПтГlnJt+1

ctg 2я

)

л~2 [_

Б е р м а н №№ 365—375, 398.

Д е м и д о в и ч

№№

531, 537—542, 547, 549, 550, 563.

10.

Односторонние пределы,

односторонние

бесконечно

большие, односторонняя непрерывность. Разрывы

Пусть

функция f(x)'

определена

ң интервале (а, Ь), где

1. Число А называется пределом функции f(x)

в точке и

справа, если для любого

е> 0 найдется 6>0 такое, что для

всех X,

удовлетворяющих

неравенству

а < х < с + б,

будет

справедливо неравенство

\f(x)—А|<е*-

Предел функции /(х)

в точке а справа называют также

правым пределом функции f (x)

в точке а и обозначают од­

ним из символов

1іт /(х )

или

/( а + 0).

2. Число В называется

пределом функции f(x)

в точке Ь

слева,

если для любого е>0 найдется б> 0 такое,

что

для

всех X,

удовлетворяющих

неравенству

b—б<х<Ь,

будет

справедливо неравенство \ f(x)—В |< е.

называют также

Предел функции f(x)

в точке b слева

левым

пределом функции

f(x)

в точке b

и обозначают од­