Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 96

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

3.

Для того, чтобы функция f(x) была непрерывна в точ­

ке х0, необходимо и достаточно,

чтобы

 

 

\ m f ( x ) —f(xo)~\imf(x).

*

 

х->ха—О

х->х,-{-0

 

Точки, в которых равенство (*) не имеет места, называ­ ются точками разрыва функции f(x). (Подробнее о точках разрыва см. в § 14). На черт. 28 изображена точка Хо раз­ рыва функции f(x), в которой эта функция имеет оба од­ носторонние предела А и В, но в которой А=^В.

У

Й

X

Черт. 28

При вычислении односторонних пределов функции можно использовать все перечисленные выше приемы, ибо все тео­ ремы о пределах остаются справедливыми и для односто­ ронних пределов. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Вычислить

lim

у х * - З х + 2

 

sin лх

 

 

*-1

 

 

Р е ше н и е . ' Так как х 2—З х + 2 — (х — 1) ( х — 2) >

0 при

X < 1 и X > 2, и, следовательно,

функция У х 2—Зх+2

опре­

делена лишь слева от точки х = Л

и справа от точки х = 2, то

в данном случае речь может идти только о левом односто­

роннем

пределе

при х -> 1—0. В обычном смыеле предела

при X ->-1 просто не существует. Сделав замену переменной

X—1 =у

и учитывая, что у

->-0—0

 

при х -* 1—0, будем

иметь

 

 

1

 

 

 

..

V *а—Зх+ 2

Ѵу{у—1) ’

 

’

 

lim

---------------- = lim —

— 1— —

 

д:-*.1'—0

Sinn*

J/-.0-0

Sin Л (tj + 1)

=iim ІИ._»<ыа..

(Л -

/1 - у

) о о , I

0-.О-О \ —sinлу

у — у/ *-»о-о \ sinity

Ѵ~У

)

90

так

как

функция

имеет

 

предел

при

у-+ 0, а

 

 

 

 

sin яу

 

 

л

 

 

функция

/ Т ^ Г является бесконечно

большой

в точке

у —О

 

Ѵ- у

 

 

 

 

 

 

слева.

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.

Вычислить lim

/ я — /

arccos X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*-*-1+0

 

/ а + 1

 

 

Р е ш е н и е .

Так

как функции

/arcco s*

и / х

+ І оп­

ределены соответственно для —1 < х < 1 и * > — 1, можно

говорить о пределе функции в точке

* =

— 1

справа.

Положив

arccos х — у

и

учитывая,

что

при

я -> — 1+0

у —*■я —0,

и cos у = х, будем

иметь

,

 

 

 

 

 

lim

/ я - /

arccos X

= lim

/ я

— / у

_

 

*-*—1+0

/ а +1

 

у - * п - 0

у /

c o s у

 

 

— lim

 

- у

 

 

1

 

 

lim

 

У _

0-*Я—0 у —

( / я

+ у

у )

2-/2 л

I/-WI-0

COS-

 

/ 2 -cos

 

 

 

2 / 2 я

• lim

 

 

 

— 7= -

-'lim

■

 

 

—{~0 COS( ^ )

 

2 у 2 я

г—*0+0

sin

JL

/2 я

 

 

 

 

 

(здесь положено л — у ~ г \

 

при у л

^ 0

г ->-0+0).

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Пример 3.

Вычислить

lim 2 ~ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*-*0

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

Вычислим

в точке * = 0

отдельно правый и

левый односторонние пределы:

 

 

 

 

 

 

 

—

Пт

—

 

 

оо.

 

 

 

П т 2 х ~

2*- *°+0 х —2 + “ =с +

 

,

 

* —* 0+0

 

 

 

 

 

 

 

11

—lim —

П т 2 х =2*-*°-°* = 2 - ~ = 0 .

* - * 0—0

Так как получены различные ответы, то справедливо за-

 

1

*

X

ключение. Функция 2

предела в точке * = 0 не имеет. Рас1-

X

смотренный предел любопытен еще тем, что функция 2

91

является в точке х=0 бесконечно большой справа и одно­ временно бесконечно малой в этой же точке слева. График этой функции изображен на чертеже 29.

Заметим, что функция у = 2 дает нам еще один пример функции, неограниченной в любой окрестности точки я = 0, но не являющейся бесконечно большой в этой точке. Реко­ мендуем читателю обосновать это утверждение.

Остановимся еще на некоторых понятиях, связанных с понятием одностороннего предела.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [а, Ь]

(а<Ь), если она непрерывна в каждой

точке интервала (а,,

Ь), непрерывна^ в точке х = а

справа и

непрерывна в точке

х — Ъ слева.

функцию

f(x) непрерывной в

Если условиться считать

каждой изолированной точке, а непрерывность в граничных точках понимать как одностороннюю, то можно упростить формулировку теоремы о непрерывности элементарных функций и сформулировать-ее так:

Каждая элементарная функция непрерывна в любой точ­ ке своей области определения.

Значение этой теоремы огромно и состоит в том, что на­ хождение областей непрерывности элементарных функций сводится к нахождению их областей определения.

I

Вопросы для самоконтроля

1. Каково определение предела функции в точке х0 сле­ ва? Дать геометрическую иллюстрацию.

92

I•

2. Каково определение бесконечно малой в точке х0 функ­

ции

справа? Дать геометрическую иллюстрацию

3.

Каково определение бесконечно

большой в точке Хо

функции слева? Дать геометрическую

иллюстрацию.

3.

Каково определение бесконечно большой в точке Хо

Хо справа?

 

5.Какая функция называется непрерывной на отрезке?.

6.Как читается теорема о непрерывности элементарных функций? При каких соглашениях?

7.Существуют ли функции, одновременно являющиеся бесконечно, большими и бесконечно малыми в одной точке? Приведите примеры.

8.Что означают равенства

а)

lim f(x)= 4;

б) lim /(х) = оо;

в) lim /(х) = — оо;

 

*-*3—0

* - 0 + 0

* - * - 2 - 0

г)

lim tgx = + оо; д) lim [flxa-f- Ax)—/(x 0)] =0;

 

n

„

Д*-*0+0 '

 

 

*-* —

- 0

 

 

e)lim f(x) — 0?

*-*4-0

9.Как сформулировать предложение о том, что функция

/(х) не является бесконечно большой в точке. х0?

10.Как сформулировать предложение о неограниченное-'

ти функции f(x) в окрестности точки х0?

Примеры для упражнений

Вычислить пределы:

1)

lim

—------------------

 

;

 

*-*2—0

 

 

2 — X

оч

1-

 

tg3Jt*

2)

11 m *ъ/=Г - Г = f='

 

*-5+о

К

х

—4х—5

3)

lim

■

 

arccos-2х—3

 

У 8xa—6* +1

-*- і- +о

 

 

1

4) lim /’-5L±V*-4 • *—*2±o \ 2x—3 ,

ei+ ^ —e

5) lim

*-*0 + 0 sin Y X

93

6)

И

 

Шn sinam плnx

m >0); '

 

m ---------- (n > 0 ;

 

л:—0 -4-0 ln sin mx

 

7)

lim ----------

 

 

x-->±3

—

 

 

 

 

\+2x~3

 

t8) lim arctg — ;

*-*0± 0 X

9) lim

. 5—X

X

 

 

 

 

 

 

 

л_*_і±о 7 - x

 

 

 

 

Б е р м а н

M s

221, 223.

(а—e),

506 (а), 526,

Д е м и д о в и ч

№№

403, 405, 407

595, 596.

 

 

 

 

 

 

11. Сравнение бесконечно малых

Если функция

f(x)

бесконечно

мала

в точке дг0, то

1іт/(х)=0. Однако бесконечно малые можно

сравнивать по

х-*-х0

 

 

 

 

 

«.скорости» их стремления к нулю. Так, качественно ясно, что бесконечно малая х стремится к нулю «медленнее», чем бесконечно малая я100 при х->-0, ибо значения функции

X100 при соответствующих значениях x ( j x j < 1)

гораздо бли­

же к нулю, чем значения функции х.

малых служит

. . Критерием

для

сравнения бесконечно

значение предела их отношения.

 

 

О п р е д е л е н и я .

Пусть функции а(х)

и ß(x) бесконеч-.

но малы в точке х0.

 

 

 

 

1. Если lim —

=

А - - 0, то функции а(х)

и ß(x) назы-

х—*х9

р(^)

 

 

 

 

ваются бесконечно малыми одного порядка малости в точке х0. (В этом случае обе функции стремятся к нулю со срав­

нимыми «скоростями»).

,

2. Если І і т - ^ =0, то функция а(х)

называется беско-

х-*Хо РМ

 

нечно малой высшего порядка малости по сравнению с ß(x) при х-ѵх0. (В этом случае бесконечно малая а(х) стремится к нулю с «большей скоростью», чем ß(x)).

Возникает вопрос, а нельзя ли дать количественную оцен­ ку «порядка малости»' одной функции по сравнению с дру­ гой. Оказывается, можно.

94

3. Функция и(х)

называется

бесконечно малой

k-го по­

рядка

малости по сравнению

с ß(x)

при х

х0,

если

.. а(£) -

,.

а(х)

 

 

 

 

lim —— =0,

но lim—-—. существует и отличен от нуля.

 

4.

Если

lim -^ = o o , то функция и(х)

называется

беско-

 

 

х->х„ ß(*)

 

 

 

 

 

нечно малой низшего порядка малости по сравнению с ß(x) при X -»■ х0.

 

а(х}

не существует,

то бесконечно малые а(х)

5. Если lim——

 

X-+Xt р(Л')

 

 

 

Рассмотрим примеры:

и ß(x) называются несравнимыми.

Пример 1. Доказать,

что

функции

a ( x ) =e sinr—1 и

ß(x=ln(l +3tgx)

являются бесконечно

малыми одного

по­

рядка малости при * -> 0.

 

предел

отношения

данных

Доказательство.

Вычислим

функций при X -»■ 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

eSln*~ 1

 

г0sіп л* _ і

 

3tg*

 

cos*

1

_1_

л-ч)

ln (l+3tg х)

х-я [ sin л-

ln (l+ 3 tg * )

3

J

3

Так как lim - ^ =

то

функции «(*)

и

ß(x) — одного

по-

 

д:->0 §(*)

 

3

 

 

 

 

 

 

s

рядка малости.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Доказать, что функция а(х) = Ѵ 1+2х4—1 яв­ ляется бесконечно малой высшего порядка малости по срав­ нению с функцией ß(x)=x при х -*-0. Определить порядок малости «(я) по сравнению с ß(x).

Доказательство.

1• а (*)

lim

V 1+ 2*4 —1

= lim

2х*

 

lim ——

 

 

х ( / Т + 2 ^ +1)

 

*-ч> ßM

х-М)

 

 

ДГ-+0

 

 

 

= 'lim

2а:3

=0.

 

 

 

х-*0 у 1 + 2 * « + 1

 

 

Следовательно, а(х) — бесконечно малая .высшего поряд­

ка малости по сравнению

с ß(x). Выяснцм порядок

малос-

~

 

 

 

 

/1+2*1—1

ти. С этой целью установим, при каком k предел hm ------ ------

будет конечен и отличен от нуля.

 

*->0

Xя

 

 

 

Так как

/1+2*1 _!

 

 

 

 

11т

lim

 

 

 

.Ѵ-М)

 

 

х-O **-4(/1+2*4 +1) ’

 

то нетрудно сообразить, что при k = 4 ответ будет конечен и отличен от нуля. Он будет равен 1.

95

I

Смотрите также файлы