Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

Пример 3. Убедиться, что функции

а(х) = x2-sin— и

I'

несравнимыми бесконечно малыми при

ß(x)= x2 являются

X —>0.

I

.v2-sin—

Действительно,

отношение -------— = sin ---- ни к какому

X2

.V'

ствами:

1° а(х) ~ а(х ) (обратимость);

2° Если а(х) — ß(x),

то ß (x )~ a(x )

(симметричность);

3° Если a(x)~ ß(x),

а ß(x)~ y(x),

то

а(х) — у (х)

(тран­

зитивность)

При

раскрытии неопределенностей

вида

бесконечно

малые можно заменять

им эквивалентными, что обосновы­

вает следующая

Теорема. Если функции а(х), ß(x),

а'(х),

ß '(х) беско­

нечно малы

в

точке л'0; причем

а (х) ~

а ' (х);

ß(x)~ ß'(x),

и если

существует конечный

или

бесконечный

предел

lim

и' (х)

-

то

.. а (х)

..

а ' (х)

lim —— = lim — — .

X -* X Q ß'W

ß(x)

X -+ X o

ß' (X)

Пример 1.

Вычислить lim tg X

— sin X

(A)

x->0 l n ( l + . V 3)

Р е ш е н и е .

t g а — s i n a = t g je • ( 1 — c o s x ) = 2 s i n * — • t g a .

Так

как tgjc~jc;

sin-

, ln (1 —j—.Vs) — X 3

при a -*-0, а

следовательно,

^sin2-|

--tg

x'j —

-А, тс

I •

.

sm* — • tg *

m .

tg X — s in X

.

2

lim —-----------

=21im ----------------

=21im-

x-K} l n ( l + . t 3)

,v->0

ln (1 -)-

-V3)

.v-_0

lirn°tW +«iW + «.(-t)+ ■ •

• + a n(A) _

1іт

а (а)

А—X ,

ß ( х )

г-»дг, ß ( х )

Пример 2.

Вычислить lim ----------:— .

* - 0

Sin X

Р е ш е н и е .

Здесь бесконечно малая

а2 имеет высший

порядок малости

по сравнению с бесконечно

малой е*—1;

поэтому ей можно пренебречь. Учитывая,

что

sinx~x, е* —

—1~ а, будем иметь

lim

е-ѵ -/1— Xs =

lim е Л' — 1

х-Л

sin X

i-O Sin А"

х - о

1 п ( 1 + х 3)

2

7—*2518

"97

s in x ~ x

i i

заменили бы tgx и sin*

на £ ,

то'получили

бы

неверный

ответ:

lim —-----------=

lim --------=0.

Х -Я

ln (1 +

-X3)

х -Л

X3

Пример 3. Вычислить

1іш (arcsin х- ctg ях).

х-»0

arcsinх — х,

Р е ш е н и е .

Так как

при х->0

tgnx — ^A:,

то данный предел

равен

lim (x-ctg ях) = lim ----—— = lim —

= — .

x-»0

x->0

tg

3tX

x-*l

ЯХ

Я

При вычислении

пределов

более сложных функций сле­

дует пользоваться

следующей

таблицей

эквивалентностей.

Если

а (х )— произвольная

бесконечно

малая

в

точке

х0

функция, то при X -V х0:

1.

s in a (x )~ a (х);

6.

еа(ѵ>—1~ а(х );

2. tg а (х) ~ а (х);

7. аа<х)—1— а(х)-1по;

3.

1

cos сс (х) ~

— а2 (х);

8.

1п[1 + а (х )| ~ а (х );

4.

arcsin а (х) ~

а(х);

9.

loga [l-f «(*)]

а(х)

In а

5.

arctg а (х) ~

а (х);

10.

[1+а(х)]*

l 'Tr' ja(x).

Рассмотрим

примеры.

2arctg”sKx _j

Пример 4- Вычислить lim

x-o УТТзГ* -1

Р е ш е н и е .

Так как 2arct^ 3Vx — 1— arctge3Kx

• 1п2-

~

(3і/~х)Мп 2 =

хМ п2

при JC—>0, а 3] /і -f-Зх2 — 1 =

2_

= (14-Зх2) 3 — Л'----— -Эх2 =

X2

при х - ь - 0 ,

то

3

lim

2 &rctge * Y x __j

■=

lim x * -ln 2

=

ln 2.

"x-*-o

3]/T f3 x » —1

x - > 0

Пример 5-

lim ■

pSin’ X

1

s in 2 X

X1

_________= l i m ----------- =

h m --------

x—*o

ln (1—tg2x2)

X—*0

—tg 2xä

x-»0 —2xa

i

Пример 6-

Вычислить lim

1— cos'[l — ces (1— cos x)l

,v->o

(ev + e--v —2)3-x2

Р е ш е н и е .

Так как при х-*0

1—cos [1—cos (1— cos,v)j^

---- ^-[1—cos (1 — eos x)]2~

-y -|~ -(1 — cos ,v)2j2 ~

t { ^

x2)'}'= " f r и e

+

e“ v —2= e~v (e3-v—2e-v + 1 )=

lim

х8 ■2~7

=

2~13.

t-*o (4е--*-х2)8.ха

Пример 7-

eV i+3iv-

lim

У i+3r t> -e

л.

-1

arcsin2

.

= —= e*lim

x-*o

у X

x—*o

arcsin2 3^Лх

,.

і Л + Ѵ * 2 - 1

e

• l i m—

2

e

= e-lim ------ .ä-.v-=Tö------=

— = —

A'-»-0

(V

* ) 2

V^o'

(VT)*

Пример 8.

Вычислить lim

ln cos ax

л;->0

ln cos g>:

Р е ш е н и е .

Так как при ,ѵ->0 ln cos ах =

ln [1 + (cos ca-

1)] —■coi ax — \ ------ Y (ca)2,

а

ln cos ßx'-

4 - ( ß y

TO

lim

l n c o s a x __ . .

( a x ) 1

ln cos ßx

lim -2—c- = —

*->o

(ßX)2

ß2

Пример 9.

Вычислить lim

V u + 8 x

- 3

____

x-2

,8/3 0 - f x - 2

Р е ш е н и е .

Так

как при х

->-2

У 11 + 8* —3 = Ѵ27+(8.ѵ—16) —3 =

1

8 ( х - 2 ) - \

- 3 - - ------ Ë_(*_2) =

27

3

27 v

=

{x —2), а

У 3 0 + х - 2 = У

3 2 + (а-- 2 ) - 2 =

■=-чѵс /

X— 2

~ 2

X— 2

1+ 32

-2- - L . x32

80