Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

Скачать файл (4,62Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 98

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

lim

V 1 1 + 8 * -3

( X - 2 )

6 4 0

■

-----=

lim ---------------r

л->2 « /3 0 + Л - 2

’

2 7

8 0

(

Пример 10.

„

i)a

Вычислить lim —- -------------

,v-*2

ln cos тех

Р е ш е н и е .

Так

как

при х->2

У 3 ^ 7

1 =

і + ( 2 - * ) — 1 ~

■(2—х), а

lncos iw = ln [1 -f (cos n x — l)]~cositx —1==

= co sn (x —2)—1 ~ ----л2• (x—2)2, то

lim (У 3=5-1)»

lim

У Ч

•V— 2

ln COS Л.Ѵ

.c-2

- — n*(*-2)*

9 л *

. «TA

Пример 11.

Вычислить

lim [2

ÖT

---- —)

Л'—HI \

Р е ш е н и е .

Здесь неопределенность

вида 1“. Поэтому

jrp-

lim ( l -----—)• tg —

—

lim (a -.c )c tff

( — -

— ]

a )

- ° ax-*a

l i m ( 2 — —a 1

= e * ^ “ '

^ 2

— •lim -

. May)

— «lim —

Q*->asin £(£=*>

’

2ö

1 , .

a —X

= e

2 a

На стр. 98 было высказано замечание, что в суммах и разностях заменять бесконечно малые им эквивалентными нельзя. Однако следующий пример показывает, что иногда такую замену все же делать можно. Действительно,

lim	sin 2 * + sin 8х	..	sin2x	..	sin8x	=	2 , 8	_
lim	------- —-------- =	lim	---------sin5x	\|- lim	-------	=	------ 1-----	=2. (Б)
*-»o	sin5x	-o	---------sin5x	*->о sin 5a:			5	5

С другой стороны, замена бесконечно малых эіп2д: и sin8x при х-*-0 им эквивалентными 2х и 8х приводит к та кому же результату

,.	sin 2х + sin 8х	..	2х + 8х	0
lim	------ —------- =	lim -----	sin-----Ъх	—2.
ж—*о	sin Ъх	*-»о	sin-----Ъх

100

Следующая теорема дает ответ на вопрос, в каких слу чаях бесконечно малые можно заменять им эквивалентны

ми в суммах и разностях.
Теорема. Если функции а(х), а'(х),			ß(x), ß '(x )— беско
нечно малы		в точке х0 а а (х) — а' (х),	ß (х) — ß' (х ), причем
lim	существует и отличен от —1, то а(х) -H ß(x)~
х-*„	ß(x)
~ а 7(х) + ß' (х).
Доказательство. Действительно:
	lim	+
	х - х „	а ' (X) + ß' (X)

,•	ß (JC>	lim	( Ш + 0
,•	ß (JC>	X—’KVо	U w	I	_
lim -1- 2—			U w	I	_
x-*x,	ß' (x)	lim	<»'(*)
		X-+X*	ß' w
,.	а ' (x)	,.	а (x)	,	,
так как lim — — = lim —— =4=— 1.
X-*X„ ß' (x)		А--Ы-, ß (X)

, ,	..	<*(x)
1+ hm "n /Т			= 1.
	Х->Хц	ß ( x )
. ,	..	a'M
1 +	lim —------

x-х. ß' (x)

Доказанная теорема позволяет заключить, что при вычис лении предела (Б) бесконечно малые sin2x и sinèx можно

заменить им эквивалентными, так как lim ------							ф —1, и, сле-
довательно,					х->о sin 8х
довательно,		sin2x + sin8x~2x+8x= 10х,				а	при вычислении
предела	(А )	бесконечно малые tgx и —sinx нельзя заменить
им эквивалентными, так как lim .tgx-					=	— 1; поэтому функ-
				х-*0 —sin X
ция tgx—sinx не эквивалентна функции х —х=0.
Пример 12.
	2Sin» X_ 3tg* X		=	/2Sin"X _ ! ) _			(3{в* X
lim ------------			=	l i m —5--------- 1 .			—-— =
x-0	(4X5	_ / 1 - 2x3		x-*o (4X= _1) -		( Y l_ 2 x a - 1 )
	..	sin2X'ln 2 — tg2X'ln 3			x2-In 2 — xMn 3
	X—o	xM n4 +	x2	X—ю		X2 (ln 4+1)
		_		ln 2 — ln 3
				ln 4+1

Здесь мы воспользовались только что доказанной теоре

мой. Рекомендуем читателю обосновать приведенные вык ладки.

101

		1
Пример 13. Вычислить lim	V ах -1	Ѵьх
Пример 13. Вычислить lim	2
■ѵ-»о \	2

Решение. Здесь неопределенность вида 1°°. Поэтому

lim

а \

+ Ь

- 2

о ' " 1

- lim

ь2 -1

л-*0

2 х

І.]па4-і-]п6

---

— е 4

= Ѵ а Ь .

Пример 13.

е-Ѵ.1пдг _ еаігш,

е .ѵ»Іп.ѵ-яіпа__ 1

х л — аи ..

e“

• lim

---------- =

lim

------------------

X — a

" • lim

X — а

X-*a

x —О

x->a

„

jc*ln X — я ln я

да. Ilm

-----------------

X -* Q

X —

О.

i x A n x —.vlna

.Vln а — а ln а \

= a“ ■li m I--------------------

X — а

1-----------------

X — a

-jI =

aa •

lim

[лМп —

j- ln а j —

------------X — а

x-+a

lim

x -ln (l+

* —- Л

f- Ina

-----

-----------------X — а

x-*a

x — a

= aa ( lim

x — a

-j- Ina

; (1+ Ina).

x-H,

Примеры для

упражнений

Вычислить пределы:

1) iim

lim

sin" rnx

; 3) lim

x-A) In (І-рЗ&х)

x-A)

x —A)

arctg2 2.V

4) lim

3arcsin*.t —[

7y l+ 2 x —1

;

5) lim—

------

•

x—*o

ln(l+3tg2jt)

x-A)

г Ѵх - \

102

6) lim

ln cos 3x

lim

sin (Зл; —6)

1+ tg2 X

— 1

X2—4

Ж-O V

x-*2

■ I o

Я2

sin Ix2 -----— J

lim ctgn x -ctg |—----л)

lim -----------------;

1 —2 cos X

*->1

10) lim

-i+ax j

, , % .

sin 4л

i n\

1 •

cos ■

; ll)

lim

. — ;

12)

lim

.r-*0

sinßjc

’

Д.--73-

sin З л '

л-—*i

1—

13) lim

У з 2 л ь - л 8

, ^ . .

2 tg je — л 4 + X 2

r "“л—

14)

lim

arctg 3x

•

*->0

е6л' —1

’

x-o

, r ,

ln (jtr+1) — sin2*

1C. ..

sin2x — tg4 JC

;

iS) !■»

arcsin

..------ : i6>

i"?

+ 5l,—

x->0

e3arctg>j; — cos3x

i a ,

11111

e3.v»

- X 1

17) hm —Т7Г77====—;— I

*8) lim

ln (1-r3arcsin2 x)

x-*o

lü K c o s 5 x — 1

*->0

19) lim

(X3 — Jt3) •

sin 5л

;

20)

lim

j / 2

-sinл — 1

„sin5*— 1

’

*-»7I

16л3 — я2

2 1 )

І ш

;

22)

lim sln& “ ls2 '

* - o

V l — y

- i

x-tf

ln (1+ Я3)

23)

lim —

2-^— 1

;

24)

lim

sin*7* ~ sin!5*

; 25) l i m ^ -

я-иэ

__е " 2*5

З х

26)

lim J - Y

l i -У .У 1- 5* ..

27) lim

Y i + з ^ - і 1

’ x-*0

’

’ r-o

OOX

4 1 4 2 0 л - 3 .

29) lim

Y 11 + 8 л - Ѵ79+л .

2.0)

l i m —

г—

..-------------,

x-*2

У 3 0 + Л - 2

x-*2 6/ 3 x —5 — Y x — 1

30) lim Ѵх+2 —3/х+Ш

OI4 ..

1— созл -У cos2л

31)

lim

-----------

--------- ;

V x+ 9 -2

i -Ч)

32)

lim

(з^з=Г _1)4

33)

narccos (1—л;*)

lim —s ....

------- ;

л-*2

1 — COS (1 — COS HX)

*-4j

5]Л + З л2- 1

34)

lim

■jtg3*.

„arcsiru5

;

35) lim

■ >Vl+2x*

e-cosX

у 32+x3 -2

ln cos Л

*-л

J!-*0

36)		o s i n j 3 l/ .v		n s 3 ! ' a r c t g ' . v		; 37)				,	tff 2b .
36)	lim — -у-— —				-	; 37)		lim (2 +			tff 2b .
.	. v - M i	s in 2 y^x — 5		a r c t g 1 x			'	x->-b \
o n .			c o s 2л' + 1 — c tg X			o n .			3 V4 - 3 _V— 2
38) l i m			----------------	2— ;		39)	lim —			-------
			ln tg X
				V — zx		Y			z.	.
			40)i n , lim —-—о		■ — T—i - r-/--------J C —					.
			*->o	V	2 - ^ - 5/ F

Кроме перечисленных советуем решить еще следующие примеры из задачников:

Б е р м а н №№ 334—348; 366, 368—375, 397—401;

Д е м и д о в и ч №№'452, 456, 547—550, 566(a), 567, 574.

13.

Пределы функций при х-^ + оо

Нас

будет

интересовать

поведение

функции,

определен

ной для

достаточно

больших

\х\

при х

- ѵ ± о о .

Введем сле

дующие

определения.

Число

называется

пределом

функции

f(x)

при

если для любого е>0 существует число N > 0 такое,

что для

всех х, удовлетворяющих

неравенству x>N,

будет

справедливо

неравенство \ f (х)—А\ <е.

При

этом

пишут

A=\\mf(x).

X —►-}-=»

Число В

называется

пределом

функции

f(x)

при

.Y-+-— со, если для любого е>0 существует число L > 0 такое,

что для всех х,

удовлетворяющих неравенству х < —L,

будет

справедливо

неравенство

j f(x)—В |< е .

При

этом

пишут

ß = limf (х).

Л—-'»

3. Если функция f(x)

имеет предел А при x-v-j-oo и пре

дел В при х-> — о о , причем А — В,

то говорят,

что существует

предел функции f(x)

при х-> о о

и пишут A = Umf(x).

\imf(x)=A

Х'-ьоо

Геометрически, существование

означает, что

график функции f(x)

X —

У»

при неограниченномвозрастании аргу

мента

приближается

к горизонтальной

прямой

(асимптоте)

у=А;

причем для всех абсцисс x >N

ординаты f{x) отлича

ются от А меньше, чем на е (черт. 30), а график целиком рас полагается в полосе А—е< у< А + е-

104

Смотрите также файлы

Штейнман, О. Метод возмущений в аксиоматической теории поля.pdf

Щукин, А. Н. Теория вероятностей и ее применение в инженерно-технических расчетах.pdf

Элькин, В. Д. Электронные вычислительные машины в полиграфии.pdf

Юрковский, И. М. Как обнаружить и устранить неисправности легкового автомобиля.pdf

Юшкевич, В. К. Тенденции развития бытовых холодильников в СССР и за рубежом (обзор).pdf

Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно