Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

Если limf(x)=B, то график

функции f(x) при х-^ —оо

X - * — оо

к горизонтальной асимптоте

неограниченно приближается

у —В (черт. 30).

4.

Функция

f(x)

называется

бесконечно

малой

при

je -’■> - f

о ° (л: - > — о о j ,

е с л и І і т / ( л : ) = 0 ( 1 і т / ( л г ) = 0 ) . А с и м п т о т о й

X —* ■j- оо

б е с к о н е ч н о м а л о й п р и

+ оо ф у н к ц и и с л у ж и т о с ь х.

5.

Функция f(x)

называется

бесконечно

большой

при

х->-\-оо (X->—оо),

если для любого числа

М >0

(хотя бы

как угодно большого)

существует число N > О

( L > 0) такое,

что для всех X ,

удовлетворяющих неравенству x> N

(х < —L)

будет справедливо

неравенство

\[(х)\ >М

( ч е р т .

3 1 ) .

При

э т о м п и ш у т l i m / ( я ) —■то ( l i m / ( x - ) = о о ).

лучим

определение отрицательной

бесконечно

большой

функции

при X' ->-+ оо (х -і— эо). В первом

случае

пишут

limf(х) — + оо (limf(х) —■-foo); во

втором

limf(x) = —оо

*~|-оо

д ;_ > _ со

х ~ * -\-е о

6.

Функция f(x)

называется бесконечно

большой при

л-)-оо (без указания знака), если для любого Л1> 0 сущест­

вует число N > 0 такое,

что для всех х, удовлетворяющих не­

равенству

будет справедливо неравенство

\f(x)\>M.

Доказательство.Так как limf(-) —А,

то для любого

е>0

9

*->о \zj

1

1\

найдется число

(обозначим

его

б>0

символом —: Ь— — ]

такое, что для всех г ф 0 и удовлетворяющих

N

N I

неравенству

|г |< 6 = '— будет

справедливо неравенство

<е. По­

ложим х = —. Тогда неравенство

равносильно

нера­

венству J-J-

или

|* |> М , и, следовательно,

справедли­

вость неравенства |х|> Л / влечет

за собой справедливость

Теорема

доказана.

X->f»

теоремы состоит в том,

Огромное значение доказанной

что вычисление всякого предела вида

liraf(x) с помощью

1

Л,'—і>ео

замены

к

вычислению предела

переменной х= — сводится

Перейдем к рассмотрению примеров.

2х*_1

Каким долж-

Пример 1. Доказать, что П т ---------- =2.

I

*-,оо

ха +2

но быть N, чтобы из I X | > /V следовало

2 х * - 1

<

е? .

{А)

х 3 + 2

2 х 3 — 1— 2дія — 4

< е;

[5

< е;

а

^

5—2а

X* +2

ха + 2 > — ; ,ѵ3

>

-------;

Xs +2

а

е

(Б)

Положим N —

, если

е <

и N =1, если е > —

2

ряется всеми х и N можно брать произвольно.

что для

всех

Итак, для любого е>0 существует N такое,

\х \ > N справедливо неравенство

(А).

Это

означает,

что

lim ---- —= 2.

^

х—►«

Функция f ( x ) = 2* является

Пример 2.

бесконечно боль­

шой при х

-г

Действительно,

каково

бы ни было число

Л4>0,

существует число N —

ІпАІ

такое,

что из

х>

ІпМ

следует

1п2

'

оо Эта

же

21п

Следовательно, 1іт2-е= +

функ-

шія

является

X —*■+

так как

бесконечно малой

при х-*-—эо,

Ьт2г =0. Отсюда следует,

что при х->оо (независимо от зна-

ка) она предела не имеет.

Пример 3. функция f(x) — arctgx

имеет различные пре­

делы при X —э- + оо и л:->— оо: lim arctgx 1= — ;

lim arctgx =

2

Х - ь — оо

= — —. Предела при х ->■со она не имеет.

Пример 4. Выяснить поведение целого относительно х

многочлена Рп(х) при х-*~± 00.

Р е ш е н и е ,

lim (спхп +

сп^ 1хп~’1 -f сп_гхп~2-f- .

. . +

Х - + ± оо

4- сгх 1-ф с±х 4- с0) = lim

Г*" (сп 4—

X

4—

4-

■ • •

4-

Ci

L

\

X*

4 - — )

=

lim cn

+

Л" I

ЛГ-*± oo

Действительно,

второй множитель

внутри

квадратных

ско­

бок-ограничен

при я-»- + оо,

так как

имеет

пределом число

его старшим членом.

Таким образом,

4- оо,

если сп > 0

lim

Рп(х) =

lim с„хп =

— оо, если сп <0;

lim Р„ (x) ±=

lim спхп =

* —►— оо

X —»— оо

I T-оо при с„ > 0

и я =2k

и при сп < 0 и я = 2~k— 1

\ —оо при сп > 0 и n = 2 k — l

и при

с „<0 и n —2k.

Пример 5. Вычислить предел отношения двух многочле­

нов при X -*■оо.

Г,

, .

Р„ (х)

Р е ш е н и е . Пт

Qm (ж)

=

= П т — Сп—~+ Сп~іХ—1 + •

ClX~t£?—

(неопределенность

х-~ ртхт +

+ . . . + Pix + Po

вида

оо N

.

*

----

Рассмотрим три сЛучая.

1.

на

п>т. Поделив

все

члены

числителя

и

знаменателя

дроби

X”

получим

Сп +

Сл—1

+ . .

+

__£i_ , _£о_

, •

Рп (х)

lim

X

Хп~1

x n

lim —

Pm

pm-i

Pi

Pp

Д--ЮО

Qm (х)

,

’

"T”

'

jjTi-яг

"T" xn-m'1

xn~l

xn

так как в числителе стоит ограниченная функция, а в знаме­

нателе — бесконечно малая функция.

числителя

и знаменателя

2.

на

п<т. Поделив

все

члены

дроби

хт получим

lim

Рп (X) _

X —*оо Qm (х)

сп

+

Сп-1

сі

+

Со

■= lim

хт-п

•х т-п+і

+ . . . + Х т -1

хт

- 0 .

Рт- 1

Р1

I

Ро

Pm

X —»■=»

Рт +

+ ■

•

X

х т~1

3.

п —т. В этом случае

П

т

Рп М

=

1 і т

спхп +

с „ _ іл - " - і

+

. .

. +

сгх +

с0

_

•г-»»

Qn (х)

х-*<»

Рпхп -Г Рп-1*п "1 -г

■ •

■ +

РіХ +

Ра

сп + Сп-1

+ -È T + хп

сп

Со

=Пт-

рі

_Ро_

Рп

г

I

Рл + РпX-1

+ •

^п-1 +

З а м е ч а н и е .

При

вычислении

пределов

отношений

оо,

если

/г >

т;

1 •

Р П (Х)

См

, если

п — т;

П т —

Рп

х-*°°

Qm W

п <

т.

. 0,

если