Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

l i m

(х+6)3 + (2л- '+ 5)3 +

(3 -у + 4 )3 + ( 4 * + 3 ) 3

-

I -(5.Ѵ Ч -2)3 +

( 6 * + 1 ) »

.

Зх3-1-2х2гх~1-1

_ l3+ 2 8+ 3 3+ 4 3+ 53-f63

_

t

I

13+ 23+

-\-гг

л*(«+і)2 \

П ри м ер 7.

Вычислить А = Н т

У Зхй-\-2 -

Xу х

X У Й ^ Т х

+ Г - З

^неопределенность

вида ~ —j-

А =

lim

У з

2

Пример

8. Вычислить ß = lim (Y3x*+2x-\-l —

,V-+i со

/ 3 * 2 + 2 * + l + У з х 2- 2 х + \

4

X

^

2

X

1

~

КЗ ‘

1

Предела при х -*■ со данная

функция не имеет.

Пример §.

lim ( Y x ‘ + 1

-

Ѵ * 4" -Г )

X —►»

lim

X*+1 —X*+ 1

=0-

V(.X4—1)3 + V(*4- l) 2(*4+l)

+

4 - V ( * 4—1)

I)3 + V (-*44-l)3

(мы

воспользовались формулой) {x—у) • {х*-\-хгу -f- хуг +

у8)=

(

Зд._улЛ*

-------

(неопределенность

вида

1“).

Зх -р2 /

Р е ш е н и е .

Выделим целую часть дроби, стоящей

под

знаком предела:

(Зх +2) -3

За: — 1

За: + 2

Зх +2

Зх+2

Введем теперь новую переменную

Зх+ 2 = у.

Так

как х '= —

---------и х^-со,

у-+0,

то

3

_1_

1іт (І£ ^ 1 \г - 1 іт (1 + г /) у

* - . - \ а х + 2 /

у-*о

•

'

=

lim --- —— lim (1 -|- /у)

3 =. — .

у-»о

_L у->о

е

(4-0)"

З а м е ч а н и е . Для

решения последнего примераможно

было бы применить формулу

lim [Да-)-1]-ф(.ѵ)

lim [/(*)]*М =

е*-*“

( В )

дозволяющую раскрывать неопределенности вида 1“ . Ранее

эта формула была выведена для х -*■х0, а доказанная в этом

.

параграфе теорема позволяет ее обобщить на случай х->

Пример 11.

Вычислить lim

/

_з^* I і\2г-|-1

(неопреде-

—-------—

ценность

вида

1”).

\

X - J X-

— 1

/

Реше нное.

Применяя формулу (В) получим,

I

I I

_

1 і т {

1 — іѴ (2 .Ѵ — 1)

_

lim

—3x*-f-l \2-c-r1

.ѵ->>Д

j

X3 + Т^гГ

lim •( ~

3 . c » - . v + 2

) ( 2 *

- f l )

л .V-*>

-ѵз-j-.v-l

=

е- '

= е

Пример 12.

В ы чи с л и ть

lim

2х -f-1

\ А’

3* +2

Р е ш е н и е .

Прежде всего заметим,

что в данном приме-

ре неопределенности нет,

так к а к

2л-+і

2

гг

-------->— при я^-оо. По-

этому

Зх “Ь 2

3

lim (2х ^М * = 0;

lim ß x +—У = ос.

х~*~\-оо \3х -f 2 /

,ѵ-*—с» \3х

/

Заметим,

что

lim

)*

не существует-

Пример 13.

Вычислить limth,v.

ЛГ-*± оо

Р е ш е н и е .

Гиперболический

тангенс

определяется ра­

венством Шлг=

— правую часть которого можно запн-

е-ѵ 4- е—г

еіѵ_ 1

и знамена-

сать в виде —— — (после умножения числителя

теля

1_е-ал’

числи-

на е1), или в виде ----------(после умножения

1 + e~sl

теля и знаменателя на е-х) . Поэтому

lim th je — lim

1—-е— =

1;

lim thx=lim--

1 — — 1.

JC—

А' -» I go

1 1“ ^

X —»— eo

.V—*—

1

1

Пример

14

Вычислить lim .i^e* —^(неопределенность

вида

со-О).

X —* - x

*

1

Р е щ е н к е ,

как

при

х -*-оа,

Положим

х = — . Так

'

У

у -►О, то

1

Іітл^е* —1) =

lim еУ ~ - =1.

Л-*ео

у—*0

У

Пример

15.

Вычислить П т

nl/~I _ с-тд-_j

т > 0

—---------------, п >0,

*-+о

In (1+5е-"-г)

Р е ш е н и е .

Так

как

лі / 1 +

е ",jr■—1 ~ — е

а

In(14-5е_п-ѵ) — 5е-"-ѵ при

то

П

_____

lim

" V

\ + г~тх -

= lim

ln

(1 ; 5e_,lx)

А '- Ң -

». 5е_пд'

'

с о ,

если

п >

т

_

1

lim

—

1

если

п =

т

5п

bn 1

о,

если

п <

т.

Пример

16.

lim ■- rct- * ■— 0,

так

как

arctg* — ограни-

чеиная

X—*eo

X

функция.

Пример

17.

lim (cos|/,v-(-l

— cos]/X') =

= lim

n •

V^X-j-l+Vx

■

Vx+ \ — Y X

=o;

'

—2sin—————---- • sin —— 1------ -—

так как функция -2 -sin

V x + l + V x

ограничена

при

T-+ + öd, a

lim sin

___Y-

— sin lim

1

= 0.

2

*-*+« 2 ( V x + l + V x )

Пример

18.

Вычислить

:

A — lim.v-^arctg— Ü— arctg —

(неопределенность вида

oo -0).

-

Р е ш е н и е .

Применим формулу

arctg а — arctg b = arctg a — b . Будем иметь

l-^ab

* + 1

X

, A = lim.v - arctg ---■-—■—

=

Цщ x • arctg---- 2— - =

'

,

x -(x + l}

* -»

2x‘ +5x - 4

Г

(x+2)»

..

X (x + 2)

1

.V—.-«

2xa ~5x -:-4

2

8-2518

И З’