Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 102

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пример 19.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

И г а х 2 ( У x + 2 — 2 У х + 1 Ц - У х ) ==

 

 

 

 

дг-^т^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_3_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim X2 [(УТ+2 — У ^ Г \ Л ) - ( У х Т \ ~ У 7 ) \

=

 

=

ІІШ X

 

 

/л-+2+Кх+1

' У х + І + У г )

 

 

 

JC- » [ СО■

 

 

 

 

 

=

lim

 

 

 

X2 (к* -Ѵ х+2)

 

 

 

 

 

 

*-*+'»

(l^X+ 2 + УХ-\-[) (]/ЛХ+Т + Ух )

 

 

= lim

 

 

 

 

 

Ѵ х ( Ѵ 7 - Ѵ Т + 2 )

 

 

 

 

 

X■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ~ • 1іm (х — У X2 +2х) = -у- И m

 

 

—2х

 

 

 

 

/ - j - — ■

 

4

 

«,

4 -X - > j

 

 

- 2

4 л -Н -» X -Ь V Xs +2х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для самостоятельных

упражнений рекомендуем

следующие

примеры

Б е р м а н

№№

194, 195, 202, 214, 215, 281—292, 306—

313, 351—362, 367, 377, 379—385, 393, 396.

 

 

 

 

Д е м и д о в и ч

№№ 402,

404, 406,

415—417,

435, 436,

457—466,

469,

470,

505,

508,

511—513,

516,

525,

532—536,

551,

561,

562,

568,

570,

577—582,

588,

589,

593,

594.

 

14. Поведение функции при стремлении аргумента к точке разрыва и прил--^±>с. Классификация точек разрыва

Если функция f (х) непрерывна в точке х0, то

lim /(х ) = f(x0) =

lim f{x)

(1)

X -»X,—0

Л'-і-Лд-рО

 

Если же функция f(x) не является непрерывной в точке х0, но всякая ее окрестность содержит точки, в которых функция определена, то точка х0 называется точкой разрыва функции f(x).

114

Так, например, функция у= -—

имеет разрыв в точке

„

,

X

siru

1

у = \пх имеют разры­

х<=2.

Функции

г /= — ,

у —------, у ——

вы в

 

X

X

X

 

точке X=0.

 

 

 

Заметим, что функция у=\пх не является непрерывной, например, в точке х=-—2, однако эта точка не будет точкой

разрыва

данной функции, так как существует окрестность

точки х = —2 (например, —3 <

 

 

 

 

 

< х < —1), которая не

содер­

 

 

 

 

 

жит точек определения функ­

 

 

 

 

 

ции у = Іпх.

 

 

 

 

особо

 

 

 

 

 

Среди точек разрыва

 

 

 

 

 

 

выделяют

точки

односторон­

 

 

 

 

 

него разрыва.

Точка х0

назы­

 

 

 

 

 

вается точкой

одностороннего

 

 

 

 

 

разрыва

функции

f(x),

если

 

 

 

 

 

она в ней не является

непре­

 

 

 

 

 

рывной,

но любая ее окрест­

 

 

 

 

 

ность содерокит точки, в кото­

 

 

 

 

 

рых функция определена и ко­

 

 

 

 

 

торые все расположены

 

лишь

 

 

 

 

 

по одну

сторону

от точки Хо

 

 

 

 

Так,

(либо только

справа

от х0, либо только слева от Л 'о).

например,

точка х = 0

является

точкой

одностороннего

(пра- .

пого) разрыва

для функции

г/=і1пх.

Функция

 

 

 

 

 

f 1,

 

если

хФ +1

 

 

 

 

У = \{ 1,5,

если

х = ±1,

 

 

заданная

на отрезке [—1,1] (черт. 32)

имеет

односторонние

разрывы

в точках

х = —1

(правый разрыв)

и х=1 (левый

разрыв).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условимся в дальнейшем точки не одностороннего разры­

ва называть просто «точками разрыва».

 

 

каж­

З а м е ч а н и е .

Ранее

принято' соглашение считать

дую функцию .непрерывной в любой изолированной точке. Поэтому изолированные точки функции f(x) не являются точками разрыва этой функции.

Читателю не следует думать также, что в точках разры­ ва функция обязательно неопределена. Так, например, функ­

ция

х \

X < 0

f(x)=

имеет разрыв в точке х-- 0,

х + \,

х > 0

однако

/ (0) = 1.

 

 

115

8*

Существуют функции, которые разрывны в каждой точке своей области определения. Так, например, функция Дирихле

щ х \ _

(

1, если X — рационально

' '

1

0, если х — иррационально,

определенная для всех х разрывна в каждой точке, ибо в любой точке она не имеет предела.

Рассмотрим классификацию точек разрыва. В основу классификации положены причины, по которым в точке раз­ рыва нарушается равенство (1).

I.Точка Хо называется точкой разрыва / рода, функции

f(x),

если в этой точке оба односторонние предела функции

f (x)

существуют, но либо не равны друг другу, либо равны,

но отличны от f (х0).

Скачком функции в точке разрыва называется число ■

d — I lim

f (х) — lim f(x)

\ .

 

л:-*-лу}-0

X —*Xq—0

если Л'<0

 

,

 

r, ,

(x1,

имеет

Так, например, функция

f(x) — {

если х^-0

в точке X =0 разрыв

I

рода,

U + 1 ,

 

так

как lim f ( x ) = \ \

X — —[ О

lim /(x )= 0 (оба односторонние предела в точке л '=0 су-

х_*0—О

шествуют, но не равны друг другу). Скачок функции в точке разрыва â = 1.

Функция f(x) = arctg— имеет разрыв 1 рода в точке

х = 0 , так как Um/(x) = — ; \ i m f { x ) = ----— .Скачок функ-

* —0 + 0 2 х—0-0 '2 ■

ции в точке разрыва d = я-.

Функция f{x) = --------—имеет разрыв I рода в точке

х= 2, так

X — 2

I

— 1.

Скачок

функции

как lim /(.ѵ) =1,

lim/(x) =

 

* -*2+ 0

х—*2—О

 

 

 

в точке разрыва d =2.

 

 

 

 

Функция /(* ) = -smx

имеет разрыв

I рода

в точке

л:=0, так

как lim (л-)=1,

но f(0)=?Н, так

как функция в

 

л‘-*0±0

 

 

 

'

точке X = 0 не определена. Скачок

функции в точке раз­

рыва d =0.

Среди точек разрыва I рода особо выделяют точки так называемого устранимого разрыва. Точка хй называется точ­

кой устранимого разрыва функции f(x), если limf(x) =

х-*Ха—0

116

= lim/(д:) ф f(xо). Так, например,

функция /(х) =

'----- имеет

■X—*,jr0 -fO

.

X

в точке х —0 устранимый разрыв, так как limf(x) = l Ф /(0). X—*О±0

Заметим, что в точке устранимого разрыва функцию всег­ да можно доопределить так, чтобы она стала непрерывной

 

f

sin je

_

в этой точке. Так, например, функция f(x) = -

------ ,

если хфО

х

если хфО

 

 

1,

уже непрерывна при х=0. Здесь условие f (0) =Т

доопреде-

ляет функцию у —-----

до непрерывности в точке х = 0.

II. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва II рода функции f(x), если в этой точке не существует по' крайней мере один из односторонних пределов этой функции.

Так, например,- функция у —-^— имеет разрыв II рода

в точке X— 2 ввиду того, что lim -

а‘—*-2л:

Функция у =2* имеет разрыв II рода в точке х=0, так

і_

і_

X

X

как lim 2

=0, а lim 2 = + о о .

je—»0—0

jr->0 +0

Функция / (д:) = sin— имеет разрыв II рода в точке х = 0,

так как lim/ {х) не существует.

л -—» 0

Функция Дирихле D(x) имеет разрывы второго рода в любой точке.

Среди точек разрыва II рода особо выделяют точки с так называемым бесконечным разрывом. Точка разрыва х0

называется точкой бесконечного разрыва, если по крайней

мере один из односторонних пределов функции в этой точке

1

бесконечен- Так, например, функции —

и 2

* имеют беско-

I

 

х ~2

 

2 и х = 0, а раз-

печные разрывы соответственно в точках х —

1

s

•

назвать бесконеч­

рыв функции sin— в точке

х = 0 нельзя

ным.

Если требуется исследовать поведение функции f(x) при стремлении .ѵ к точке разрыва Хо, то для этого вычисляют

117

односторонние пределы функции в точке х0, выясняя тем са­

мым характер разрыва функции.

Полученные

результаты

позволяют

наметить

ход графика

функции вблизи точек

разрыва.

 

 

 

функции f(x) лри

Если требуется исследовать поведение

.ѵ ^ г >о, то

вычисляют

пределы lim/(я)..

Если,

например,

 

 

Л'—*-t; V

 

 

1іт/(х)=Л , то график функции по мере удаления от начала

координат приближается к горизонтальной прямой (называ­

емой горизонтальной асимптотой) у —А. Если П т /( х ) = >э, то

Д'—>се

график функции уходит в бесконечность, неограниченно уда ляясь от оси х-ов. В последнем случае график функции иногда приближается к некоторой непараллельной осям ко­ ординат прямой y*=kx + b, называемой наклонной асимпто­ той. Чтобы найти уравнение наклонной асимптоты, пара­ метры k и b вычисляют по формулам

k = lim

^ ■и b = lim \f{x) — kx\.

 

 

X —* 50

X

Х -**>

 

 

 

Рассмотрим примеры.

 

 

 

Даны

функции:

I) у = е*-3 ,

II) у =

-f х,

III) у = уЧ+* —1

 

X • (л'2 —9)

 

X — 2

IV) у =

 

 

(х -J-3) (л- —2)

 

 

 

 

 

 

 

Требуется: 1) указать их точки разрыва, 2) определить их тип, 3) вычислить скачки функций в точках разрыва, 4) ес­ ли это возможно, то доопределить их в точках разрыва так,

чтобы они стали непрерывными

в этих точках,

5) исследо­

вать поведение

функции при х-*-±

6)

найти

асимптоты

графиков функций,

7) построить

графики

функций.

Р е ш е н и я .

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1) х=3 — точка

разрыва

(так как

в этой точке функция

не определена).

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Так как

limeх—3=эо,

lime.X 3=0, то х= 3 —точка бес-

 

X —►З— О

X—»3—0

 

 

 

 

конечного разрыва данной функции. Знание односторонних пределов функции в точке х = 3 позволяет наметить контуры графика функции вблизи этой точки. Эти контуры показаны на черт. 33.

3) Скачок функции в точке разрыва d=* со.

Смотрите также файлы