Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

4)

Доопределить функцию

в точке

х = 3 так, чтобы она

стала непрерывной в этой точке,

нельзя

(разрыв — неустра­

нимый).

5)

Так как

х—3

=1, то при неограниченном

увеличе-

lime

нии

аргумента

Х - * ± со

функции приближается к горизон-

график

1

тальной асимптоте у —1. Заметив, что е

X—3

x<Q и

<1 для

1

+

X . Данную функцию удобнее записать

х — 2

в виде у =

.* + 1,

а > 2

' А— 1,

А < 2 .

ние предела

данной функции

в »той точке существуют:

1і і п / ( а ) =3, 1ігп/ ( а ) = 1. Скачок

функции в точке разрыва

-V—> 2 + 0

X—>2—0

d = 2.

График функции состоит из двух «полупрямых», изоб­

раженных на черт. 36.

тіт

/ \

V 1 + А — 1

ІИ-

ф(*) =

5------•

1)

Функция

определена

в

промежутках

— 1 < л < 0 ,

0 < х <со;

X = 0 — точка разрыва.

04

'Г

как

' У 1 + Х - 1

1

1

2)

Так

lim ———------ =

lim —-——------ = —г , то в

.ѵ—* 0 ± 0

X

.V—* 0 + 0

у I - f - X Т* 1

2

точке X = 0 — устранимый разрыв (I рода).

3)

Скачок функции

в точке -х = 0

d =0.

4)

Положив ф(0) =

-^-,

мы доопределим

функцию

X

в точке.л* =0 так. что теперь функция

данная функция

не определена

в промежутке (—со, 1),

то lim. ф(х)

не существует;

Х-+ — оо

lim ф ( а' ) =

lim

■- ,

— =0.

і

я—»-Ь®3

1-рХ 1

функции ф(х)

прих - ѵ + с о

Отсюда следует,

что

график

приближается к

оси

х-ов, (являющейся горизонтальной

асимптотой

графика)

и притом

сверху, так

как ф( х)>0.

График функции изображен

на черт. 37.

у

I

-

1 0

37-

Черт.

37

IV.

Ф (х) =

х (л-2 — 9)

( х + 3 ) ( х - 2 )

I)

Функция

имеет две точки разрыва х ——3 и х=2. Во

В точке

х —2 функция имеет бесконечный разрыв II рода,

так как

lim -ф (jc)= +

х-*2±0

3)

Скачок функции в точке х = —3 di = 0; скачок в точке

х = 2, сіц— оо.

18

4)

Положив ф(—3) = -----, мы доопределим данную функ-

5

цию в точке х = —3 так, что теперь функция

д: (х2- 9 )

X Ф — 3

(* + 3 )(х -2 ) ’

X (х —3)

Ф М =

х - 2

]8

,

5

.V= —3

будет непрерывна и в точке х = —3.

В точке х=2 функцию ф(л:)

доопределить тац, чтобы она

стала непрерывной в этой тойке,

нельзя.

5) Так как Нптф(дс) = —оо, то при 2

ею график функ-

Х -* - ± оо

6)

График функции имеет вертикальную асимптоту х = 2

и не

имеет

горизонтальных

асимптот. Попытаемся найти

уравнения

наклонных

асимптот

графика

в

виде y —kx + b.

Тогда

k = lim Ч>(X)

,•

л

—V

=

1.

«li m ----------------

X —>°°

{ X

(x —;2)

b — lim [ф(х)— kx\ =

lim

x(X -гЗ)

— x] = li m — — — — 1.

X —к »

.V—

x -2

J

X— 2

Итак, наклонная асимптота имеется;

ее уравнение у —х—1.

7)

Построив асимптоты

графика х=2

и у = х —1 и нес­

колько точек,

уточняющих

его расположение, мы сможем

вычертить график данной функции. Он изображен на черт.

38.

теперь

читателю

по предложенной выше

Рекомендуем

схеме из 7 пунктов исследовать^функции

1) у —

1

п \

Х а —

9

.

1

2 ) у = — — ; 3 ) у = s i n

— г г ;

X

X

+ 3

X

~ г З

4)

у =

.

5)

у =

----

-25

; 6) у = ctgx;

(X —-4)а

(х+ 5)(х+ 2)

7) у = 2

2_

у =

f хг - 1 ,

х < 1

* ;

8)

■X. X

f

— X2,

X <

— 1

2

Ю) у =3 Ч-х

9) У = х + 3 , —1 < х < е

Них,

х > е .

И)

y=arcctg—

;

12) у = х + arctg —Ц - ;

X

X — 2

1Q4

4х

.

1

14) у —

1

УТ+Х—2

13)

—

aictg — ;

------ 1— ; 15) у = -Г—Е_— ;

1+е

16) у =

- I

;

17) у

— Е{х)*\

8) у

= х — Е(х);

2 А + 1

1

19) у = (-1)£М

20) y = E [ - j \ \ 21) у —21—21— X

* Е(х) — целая

часть

числа х,

т. е. Е(х)

целое число, для Которого

л — 1 < £ ■ (* ) <

X.

22) у

smx ; 23) у =

1

24) у ~ ( х - \ - 1 ) 2 ' Ul xJ

ln X

26) у — х-Е (х)

25) у = [+2‘г-г

Д е м и д о в и ч №№

175, 627,

678, 680, 681, 687—700,

729, 730, 731, 738—742.

Вопросы для самоконтроля к § 11—14

1. Как сравниваются

бесконечно

малые в т,очке х0 функ­

7. Какие теоремы использованы

при переходе от lim sin х

к

lim sin (л—у)= \\т (—у) =0?

*-*•*

у-*0

у-*')

х-»-+ оо,

б)

8. Ч то называется пределом функции f(x) при а)

х->-— оо,

в) х->оо? Что означает геометрически сущест­

вование этих пределов?

называется

бесконечно

малой при

а)

9. Какая

функция

л;-э-+ оо, б)

х —э— оо, в) х-»оо?

Дать геометрическую ил­

люстрацию.

функция

называется

бесконечно

большой при

а)

10. Какая

х-ѵ + оо, б)

Х-9- —оо,

в) X оо? Дать гёометрическое ис­

толкование каждому случаю.

от вычисления

предела .

11. Как осуществить

переход