Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

12.Какую замену переменной нужно сделать, чтобы от предела функции /(х) при х-»->э перейти к /равному ему пределу функции q>(z) при z->-1?

13.Какова схема доказательства равенства 1іт/(х)=Л ?

15.Чем определяется поведение целой рациональной функции при Х->±оо?

16.Что называется точкой разрыва функции /(х)?

17.Что называется точкой одностороннего разрыва функ­ ции/(х)?

18.Какие точки называются точками разрыва I рода? Привести примеры.

19.Какие точки называются точками разрыва II рода? Привести примеры.

20.Какие точки называются точками устранимого раз­ рыва? Привести примеры.

21.Что значит доопределить функцию в точке разрыва так, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

22.Что называется скачком функции в точке разрыва?

23.Какие точки называются точками бесконечного раз­ рыва? Привести примеры.

24.Существуют ли функции разрывные во всех точках своей области определения? Привести примеры.

25. Является ли точка х —1 точкой разрыва для функции

у = у х — 1 + У 1 - X ?

26. Может ли функция /(х) быть определена в точке разрыва? В случае положительного ответа привести при­ меры. ■ '

27.Каким образом выясняется поведение функции: а) вблизи точки разрыва, б) при х-ѵ+=о?

28.Что называется асимптотой графика функции? Как находят: а) вертикальные, б) горизонтальные, в) наклонные асимптоты?

125

п поставить в соответствие по определенному правилу число ап, то полученный таким образом ряд чисел аь а2, ..., ап, ...

называется последовательностью и обозначается символом

{ал}. Числа Оі, а2, ... называются членами последовательности; ап — общим членом последовательности.

Последовательность считается заданной, если задано пра­ вило, позволяющее по известному номеру члена последова­ тельности, определить этот член. Таким образом, общий член последовательности есть функция его номера an=f(n).

т. п. Полагая в этих формулах п= 1, 2, 3,..., можно написать эти последовательности в развернутом виде: .

формулы. Так, например, можно задать последовательность

12S

В последних трех примерах формул для общих членов йоследовательностей не ‘существует. Однако закон, по которому можно отыскать любой член последовательности, известен и рано или поздно можно отыскать член последовательности

сзаранее заданным номером.

Оп р е д е л е н и е 2. Число А называется пределом после­ довательности {«,,}, если для любого е>0 можно указать

lim а„ = Л или ап->-А.

/I—*оо

Последовательность, имеющая предел., называется сходя­ щейся. Последовательность, не имеющая предела — расходя­ щейся. Если Л = 0, то последовательность называется беско­ нечно малой.

Если члены последовательности изображать точками чис­ ловой оси, то понятию предела можно дать следующее гео­ метрическое истолкование.

Существование 1іта„ = Л означает, что какой бы малой

П~*оо

ни была г-окрестность точки А, все члены■последовательнос­ ти, начиная с некоторого (может быть N + 1-го) попадут внутрь е -окрестности точки А (черт. 39), а за ее пределами останется лишь конечное число членов.

сторон, так и колеблясь, то есть располагаясь попеременно то справа, то слева от точки А (см. замечание 3 к приме­

ру Ц-

2. Члены последовательности, приближаясь к своему пре­ делу А, могут сколько угодно раз принимать предельное

значение А. Например, последовательность 1,0, —,0, —,0, —,

2 3 4

О,... имеет предел Л = 0 и все ее члены с четными номерами также равны нулю.

127

3.Число Ü зависит от s, то еоть Л(=ф(е). Действительно,

вобщем случае, уменьшение е-окрестности точки А влечет за собой увеличение номера N члена последовательности

начиная с которого все последующие члены последователь­ ности попадают внутрь е-окрестности точки А.

4. Число N находится не однозначно. Если найдется неко­

зом, нельзя гарантировать, что все члены последовательнос­ ти, начиная именно с УѴ+1-го попадут внутрь е-окрестности точки А, а все остальные останутся за ее пределами. Может

\ап—А |< е относительно п и пытаются найти функцию УѴ(е),

преобразований, а о том, чтобы каждое последующее нера­

3. Отбрасывание от последовательности или присоедине­ ние к ней любого числа начальных членов не меняет преде­ ла сходящейся последовательности (а если последователь­ ность расходится, то не нарушает ее расходимости). Рас­ смотрим примеры.

Пример 1. Доказать, что lim ——= 1. Начиная.с какого

а-** 11+1

номера члены последовательности отличаются от своего пре­ дела меньше, чем на е—0,000001?

128

\

Доказательство. У нас ап- - ^ —, А —1. Зададимся произ-

п—1

вольным s>0 и попытаемся найти номер N такой, чтобы не­ равенство n>N влекло за собой справедливость неравенства

При е>0,5 N можно положить равным любому целому чис­ лу и, в частности, равным 1, потому что все члены данной последовательности, начиная со второго отличаются от 1

венство (А). Это означает, что lim -А— =1.

л-»~ Л г 1

ности еще не попадает внутрь е-окрестности точки А = 1, а все, начиная с миллионного, попадают. Это объясняется тем, что