Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

Для этого задаются произвольным

е>0 и составляют нё-

равенство

|/(х )—Л |< е . Решая

его

относительно

модуля

разности

X—Хо, пытаются найти

положительную

функцию

равенство |х—я0|<Сф(е) влекло

за собой неравенство

\f(x)—Л |< е . Если существование

такой функции б= ср(е)

ределенной

для всех

8> 0, и такой,

что неравенство \х—

—Хо|<С<р(е)

{X ф х0)

влечет за собой

|f(x)—А |< е , то чис­

ло А не является пределом функции f(x) в точке х0.

Таким образом, для установления того факта, что число

А не является пределом функции f(x)

в точке х0, достаточно

подобрать

какое-либо

одно значение

е > 0, для которого не­

К

л:* —4

< 8.

(Л)

( X -

)

Считая

X

Ф 2,

решим

его

относительно модуля

разности

2

2

X — 2 :

* +-2- —2 < е ;

IX —2 1< 2е.

Положим

б=2

2е.- Тогда

"неравенство |х —2| <6 повлечет

за

собой справедливость неравенства (Д).

Итак, для любого е>0 всегда можно подобрать число

б

(вычисляемое

по

формуле

б—2е, определенной

для всех

е > 0!) так,

что для

всех х ф 2 и удовлетворяющих

неравен-

у2 _1

О

Каким должно

Пример 2. Доказать, что Н т —-— =

—

быть 6, чтобы из \х —2 К

х~*2 X- - f - 1

5

6 следовало

I

-ѵа — 1

_______з

< 0,1?

I

л-2 + 1

5

Доказательство. Прежде всего заметим, что если предел

данной функции в .точке х=2 существует, то

он не зависит

смотрением данной

функции

в

промежутке 0^ х <

оо.

Зададимся произвольным е>0 и попытаемся отыскать

такое 6, чтобы для

всех х ф 2

из

справедливости неравенст­

ва \х—2|<С6 вытекала справедливость неравенства

хг - \

< е .

(Я)

3*

35

с этой целью

ренійм неравенство (Е} относительно

\х—2(:

2хг —8

< е ; \2хг—8 1<[ 5-е-л:2-J-5s.

5

•(**+!)

Рассмотрим случай:

1)

х>2.

Тогда 2х2—8<5-ех2 + 5е;

д:2- (2—Бе) <

8+ 5е.

Заметим

теперь, что

если 2—5е<0,

то есть

— , то

последнее

неравенство,

а

следовательно,

5

и неравенство (Е )

6=1

для

— .

5

Если 2—5е>0, то есть е < — , то

5

*2<

8

5s

+ 5е

, откуда \ х —2|<

Т — 58

Х < ^ ] /

2 - 5е

■5е

- 2.

Положим

58

-2,

если в < —

/

Т Г 5е

б2=

5

если е >

— .

1,

Напомним

читателю, что

бг — ширина

вертикальной по­

лосы х0<х<х:о+'б2, изображенной на черт. 20.

2)

X < 2,

Тогда —(2л:2—8) <5е-л:2+5е; л:2- (2 + 5е) > 8—5е.

Заметим теперь, что если 8—5е<0, то есть е ^ —, то послед-

нее неравенство, а

следовательно,

5

и неравенство (Е ) удов­

каково

бы ни было б > 0,

из

справедливости неравенства

1*—2 |> б

всегда

вытекает

справедливость неравенства (Е).

То есть б можно

взять любым.

Пусть для определенности

сы x0—ö\< x< x0, изображенной

на

черт.

20. Числа 6і и бг

выбраны так, что как только х, стремясь

к х = 2, попадет в

окрестность 2

6i< jc<2 + Ö2,

так

значения данной

функции

будут отличаться от— меньше, чем на заданное е>0

Выберем теперь для каждого фиксированного е>0 число

б (е )= т іп (6і, бг). Такой

выбор

всегда

возможен,

так

как

функция б(е) определена для всех

е > 0,

что следует

из ее

построения. Тогда, для всех

х += 2 'и удовлетворяющих

не­

равенству \х—2| < 6, будет

справедливо

неравенство

(Е ).

Это и означает, что lim —~ 1 = -— .

ѵ_і.О V2 I 1

С•

В частности,

при s =0,1

бх = 2 — 1 /

— °’^ = 2 — ]/3;

•

V

2 + 0 , 5

г

’

8 + 0 , 5

—2,

и,

следовательцо,

б =

2 - 0 , 5

— тіп(б1, б2) =

2 — ]/"3

(или

6 < 2 — ]/3 ).

ным требованием найти б для е= 0,1. Но, как уже

говори­

лось в замечании 5, в этом

нет никакой

необходимости.

Достаточно доказать существование любого

ö '< 6, лишь бы

из |х — 2 | < 6'

следовало неравенство (Е).

Дадим другое, более краткое доказательство справедли­

вости равенства lim ——- ==

Для этого функцию

—- бу-

X—*2

ха+1

5

І ^ х ^ З .

jc*+1

дем рассматривать

лишь

на отрезке

Зададимся

произвольным

е>0

и будем решать

неравенство (Е)

сле­

дующим

образом:

Так как 12*2—8

< е; 2 - ] х - 2 |• | х + 2 1< 5е (х2+ 1 )•

(Ж )

I

5 (х2 + 1)

I

< х < 3 ,

то неравенство 2 -|х —-2|-5<;5е-2,

(И)

или

I X—2 I О

влечет за. собой справедливость неравенства

(Ж)

(при пере­

ходе от неравенства

(Ж) к неравенству

(И)

мы |х + 2 |

заме­

нили его наибольшим для

промежутка

1 < х

< 3 значением

5, а выражение х2+1 — его наименьшим

для этого

проме­

жутка значением

2.

Тогда,

если'верно

неравенство

(И), то

будет, и подавно,

верным неравенство (Ж).

что

для

всех

Положив б'—е,

мы должны

заключить,

X =£2 и

удовлетворяющих

неравенству |х—2 |< б ',

будет

справедливо

неравенство

(Е).

Это и означает,

что

предел

функции

yjl

I

ß

------ в точке х =2

равен —- .

х2 +

1

5

_4X *4~5

1

ПримерЗ. Доказать lim -------

—' Е—~ — .

X >i

X2 + 3

2

X3 — 4х + 5

2 < е

(*)

X2 + 3