Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

âTöH точки. Йельзя ли указать число, от которого как угод­ но мало будут отличаться значения функции, если х будет как угодно мало отличаться от нуля?

Аналогичные вопросы молено было бы поставить и о мно­

, Вообще, нас будет интересовать ответ на следующий оощий вопрос. Пусть функция y=f{x) определена в некоторой окрестности точки х0 за исключением, быть может, самой точки х0. Пусть X -S- х0 (то есть мы даем х значения все меньше отличающиеся от х0) . Что будет происходить со

значениями г/? К чему они будут стремиться?

Полные ответы на поставленные вопросы можно полу­ чить с помощью понятия предела функции в точке. Пусть

Выясним геометрический смысл понятия предела. С этой целью построим график функции z/=/(x) в некоторой окрест­

обозначим соответственно через хо—бі и Хо + бг. Тогда бі ширина полоски, заключенной мелсду прямыми х = Х о —бі и х = х 0, а 62 — ширина полоски, заключенной между прямыми х = х 0 и х = х 0 + 02. Выберем из, чисел бі и 62 наименьшее и обозначим его через б: б= т іп (6і, 62). Тогда во всех точках X Ф Хо, попавших внутрь б-окрестности, точки х0 : х0—ö<!^<

29-

фиксированном g прямые г/=А +е нигде не пересекут график функции y —f(x). Это возможно в двух случаях:

I. График функции y = f ( x ) целиком расположен в гори­

30

й. График функции y=f(x) разрывен и состоит из нёскольких «кусков», один из которых целиком расположен в полосе А —е<г/<Л + е (черт. 22). Тогда, если «кусок» гра­ фика, расположенный в полосе А —е<г/<Л + е, проектирует­ ся на ось х-ов в интервал (х0—бь Хо+ бг), то в качестве б можно взять наименьшее из чисел бі и 62.

Может случиться, что только одна из прямых у = А ± г пересекает график функции y=f(x). Пусть, например, реа­ лизуется случай, изображенный на черт. 23. Тогда ближай­ шие к точке М(х0, А) точки В и С пересечения графика

Черт. 23

функции y —f(x)" с прямой у = А + &, расположенные слева и справа от прямой х=Хо проектируем на ось х-ов. Обозначим

31'

ва от точки Хр). Если функция /(х) определена лишь по од­ ну сторону от точки х0, то, в смысле высказанного опреде­

например, функция s‘" * в точке х = 0), но это не значит,

что в этой точке она не имеет предела.

3. Слова «...любого е>0...» существенны. Ибо если най­ дется хоть одно е > 0, для которого невозможно найти упо­ мянутого в определении б, то А не будет пределом функции

}(х).

4. Число б зависит от е. Так, вообще говоря, уменьшение е влечет за собой уменьшение б, что можно заметить с по­ мощью черт. 20, мысленно уменьшая на нем е. Поэтому пи­

шут б= б (б).

5. Отыскание б по заданному е может быть сделано не однозначно. Так, если одно б>0 уже найдено, то _любое другое б'<б будет также подходящим, ибо тогда и подавно из |х—Хо1< 6' будет следовать |f(x)—Л |< е .

функции А в точке х0.

Заметим далее, что из определения предела функции в точке немедленно вытекает следующая теорема о единст­

венности предела функции.

Теорема. Если функция f(x) имеет в точке х0 предел А, то никакого другого предела В ф А в этой точке она иметь

не может.

Доказательство от противного. Пусть наряду с пределом А функция f(x) имеет в точке х0 предел В ф А. Пусть для определенности В~>А на некоторое число /?>0. Тогда

В = А + h.

32

Так как функция f(x) имеет предел Л, в точке х0, то для любого, заранее взятого числа и, в частности, числа е= —

существует число 6і такое, что для всех х =£х0 и удовлетво­

для е = — существует число бг>0 такое, что для всех х ф хо

Выберем б= min (бі, б2). Тогда для всех х^=х0 и удовлет­ воряющих неравенству \х—Хо|<б будут одновременно спра­ ведливы неравенства (В) и (Г), с помощью которых можно составить новое неравенство

в точке х0, приведшее к этому неверному неравенству, также неверно. Значит, функция f(x) в точке Яо может иметь толь­ ко один предел. Теорема доказана.

После сделанных замечаний мы можем указать схемы для проведения некоторых доказательств.

Пусть требуется выяснить, является или нет число А пре­ делом функции f(x) в точке х<>.