Файл: Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности.pdf

Jо" (г)

при г < 1 и т < 4 можно приближенно вычислять, исполь­

зуя первые четыре члена соответствующего бесконечного сте­

пенного ряда (3-1).

Оценка погрешностей такой

аппроксимации

приведена в табл.

Л.

Т а б л и ц а

А

Z

in

1

0,8

0,6

0,4

4

<0,006

<0,001

<0,0001

<0,00301

3

<0,002

<0,0004

<0,00004

<0,00001

2

<0,0004

„0,00007

<0,00001

<0,00001

Далее с ошибкой не более 0,002

при

т О 4

и |й0| -<

-С 0,1 ряд (3-3) аппроксимируется выражениями

«+ (х,

т,

Ь0) л? Jo (х) — Ь0 [Jöl(х) — і] ,

(3-6)

ІХ,

т,

Ь0) « /от (*) -і- Ь0 [ /5* (X) - 1 ] .

(3-7)

Кроме того, при Xl— ö0) Äi0 решение

уравнения (3-4). можно

приближенно вычислять по формуле

и+(х, т,

Ь0) » 1 + ——

[•/„ [Vпг лг) —і] ,

(3-8)

т

а при (1 + Ьо) « 0

решение уравнения (3—5)—по формуле

и_ (х, т, Ьа) ж Н — *

■[/0 (V т х) — і] .

(3-9)

т

Кроме того, в работе [25]

показано, что при /?г^4 и x=sC0,5

значения обобщенных функций

можно,

с достаточной

для

инженерных приложений точностью, вычислить

по выраже­

ниям вида

_

J'o (х) яй J Ü T Z L

_j_

W

ni 4 s

(3.10)

w

m

m

7&"(s)^

/n -

.1 - +

7о ( У ^ 4 .

•

(3-11)

m

m

4*

51

~ТѴ~ -г — ■--- ----А {ТА— То) =0,

dr-

г

dr

где А = г0еДгн, заменой переменных Ѳ =

Т/Т,,, ,ѵ = r/rH приво­

дится к безразмерному выражению

d-Q

j ___ de

—В (ѲА— Ѳо) = 0,

rf.v2

X

dx

которое с учетом подстановки

2 =

х У В примет вид (2-4) (здесь

B = ArlT%

0" (2)

J_

0 ' (г) -

04 (2) =

_

04о .

(3.12)

2

При Ѳ0 = 0 (Т0 =0)

получаем уравнение

типа (2-8)

и решение

в виде ряда

(2-11), определенного как

обобщенная

функция

П (г).

_

вш/см-грш3\

е<С 1 н к порядка

Поскольку с0 =

5,67-Ю 12

1 вт!см-град,

то при га <

ІО3

см и Т„ Т

ІО3 град В= АгІТІ sC

-< 1, что при .V= /; /у, < 1 дает z — х У В

,< 1.

В общем случае для г ^ 1 необходимо

удовлетворить усло­

я

J0(x) =

1 ('

cos (.vsin Ѳ) de,

(3-13)

Л М =

JX „

exp (л:cos Ѳ) de,

(3-14)

■о

выражения (3-10) и (3-11) можно записать как

Jo (х) — ------------ 1---------(

cos (j/m xsinö))

de, (3-15)

m

mn

J

о

/ІЧ Ф

in—1

j exp (. in Xcos e) de, (3-16)

in

пт

/ 0(х):

exp X

1 +

1

1-9

1-9-25

У 2ях

1 !8 а'

2! (8 а-)2

3!

( 8 * ) 3

(3-19)

ях

U cos I X---- — 1 -f Fsin ( х —

Я

1

(3-20)

где

1-9

1-9-25-49

U = 1 —

2! (8 а ) 2

+

4! (8 а ) 4

V =

1

1-9-25

,

8 а

3! ( 8 а )3

Поэтому в области 0 < а < 0,5

и 0 < arg / т х <

я

будут спра­

ведливы формулы вида

Іо (X) :

III —1

exp {у m a )

1

in

1 +

8

Y m X

t

n 4

У

2 л а

1 !

+

1-9

+

•

П9-25

(3-21)

2! (8 1 m a ) 2

3! (8 ~\/~inx)3

1

(х)

т — 1

L

1

/

2

2

я

U cos У т X—

tI

т '

4

\

ях

1

т 4

4

Кsin

I' У т х ---- ,

(3-22)

где

1-9

,

1-9-25-49

и = 1

2! (8

I

m x f

'

4 !(8 ]/т л ')4

V =

1

1-9-25

m X

3! (8 Y m x f

8 I

J o’ (z) и /о (z) однородного обобщенного уравнения

Бесселя ну­

левого порядка

и" (z) Н— —и' (z) ± ит (z) = 0,

(3-23)

и" (х) 4 —

и' (л-) 4

и"' (,ѵ) = Ъ0

(3-24)

X

И

и” (х) 4 —

и' (х) — и"1(Д-) = Ь0

(3-24')

X

при граничных условиях и(0) = 1 и

для т = 1, 2,

3, 4

и при изменении аргумента от 0 до 1.

рассчитаны для

0,1

При этом таблицы решений уравнения (3-24)

а

таблицы

решений

уравнения

(3-24') — для

—0,8 < Ь 0< — 0,1

с шагом АЬа=0,1. Кроме того,

в таблицах

приведены значения первых

производных Jön (г)

и /о"! (z)

обоб­

щенных функций Бесселя.

ІО-5 во всем диапазоне

[0,

Для достижения точности порядка

1] изменения

аргумента при расчете были

использованы

11 членов соответствующих рядов.

Этого количества членов

достаточно для обеспечения точности порядка

10~6 при изме­

Бесселя (3-24) и (3-24'). Функции Jß' (z), J0m(г), Го (г)

и Іо” (г)

затабулированы с шагом Az =0,001,

а функции

и+(х,

т, Ь0) и

и_(х, т,

Ь0)—с шагом Az = 0,01.

задания аргумента

больше

В тех

случаях,

когда точность

шага таблиц, для

нахождения значений J™(z),

Jo”{z),

1о1(z) и

Напомним,

что суть

линейной интерполяции

состоит в

предположении

пропорциональности

приращения

функции

приращению аргумента.

Так, если заданное значение аргу­

мента z лежит между z0 и Z i = 2 0+ / i (

h — шаг таблиц), кото­

F(z) = F(za)

А-

п

Если две последующие разности

Ao = E(z0+ /i)—F(z0) и

Ai = F(zo-\-2h)—F(zc + h)

отличаются

в последнем знаке-не

более чем на 4.единицы,

ошибка линейной интерполяции ие

формулу

квадратичной

интерполяции

по Бесселю:

F (z) = F (z0) +

сД0 -

(Ах - А_,),

где с =

; Д_х =

F (z0) — F(z0 — h).