Файл: Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности.pdf

ft'—3—п

I t “

ft'—4

1

X

2

*

j*

(k' — n — j — l)2

26-3

(£' — я —2)2X

y=i

v

;

л=1

ГT 2]

1

k' — я —2

П

X

5

k' — и — / —1

/=i

lt'—З—п

1

k' — n —2 \ 2

+

s

(k' — n — j —l)2

<

-

и

ft' - 4

1

22 (2я2 —6)

<

2 j

(Ä'k'— n —2)2

6

2G•3

я 2

'

h= i

4

я 2(2я2—6)

ft'—4

1

я2 (2я2 —6)

2M 8

/i=i

h T

'

(k' — и —2)2

~ 2b-9 (k' —3)2 X

[-f] ->

f t ' - 4

------ L _

X

^

1

k' — 3

V

X

n = 1

я2

\ k' — и —2

. - J

(k' -

n —2)2

-

[41]

x

k' —3

V21

я 2 (2я2 —6)

22 (2я2 —6)

25-9(k' —3)2

6

я2 (2я? — 6)2

432 (k' —3)2

ft_

1 _

я®

При нахождении оценок учитывалось,

что lim

\

и V—

-ХХ

я2

6

ft-*«

/і=і

Подставив полученные оценки в (2-25), получим

а ^,(т = А )<

4

я2

, я2 (2я2 —6)

я2 (2я2 —6)?

[2 (Х -1 )]2

2 (k’ —I)2

~Г 18 (А' —I)2

432 (k' —З)2

<

(2k'y-

(2-26)

Несложные вычисления показывают, что начиная с

числитель правой части

(2-26)

меньше единицы и,

• следователь-

но, а <

1

. Поскольку выше показано, что для

k 5

a9i. (m = 4) <

------ .

(2-27)

2t

(2 kf

K '

И, наконец, мажорирование ряда (2-24)

при z = 1

сходящимся

рядом

\Ѵ=1 л----- 1— 1.

V

- i —

(2-28)

22

(2/е)2

V

дает право утверждать, что радиус сходимости

рядов (2-23)

и" (л-) ~ — и’ (л-) + ит(л-) = 0,

(2-29)

удовлетворяющего начальному условию н(0) = 1

(второе ус­

множество, что легко видеть из вышеизложенного.

имеет

Покажем, что уравнение (2-29) на отрезке

[0, /]

единственное решение указанного класса.

Предположим сна­

чала противное, т. е. наличие у уравнения

(2-29) хотя бы двух

гладких, не совпадающих на отрезке [0,

/] решений ut (x) и

іі2(х), но таких, что ііі(0 )= и2(0) = 1. В силу различия решении

предположим также, что при

О ^ х ^ х і

(О^ХіС/)

Ыі(х) =

= и2(х),

а в некоторой окрестности е>0 точки Xt (хі<х<Х[-|-

+ е</)

Ui(x) ф и 2{х). Условие

гладкости

и

непрерывности

решений «і(х)

и и2(х) предполагает отсутствие в окрестности

е бесконечно

большого, числа колебаний хотя бы одного из

і і і ( х )

— Uz(x) одного знака при хі< х < хі + е,

например

іц(х)

—1г/2(-ѵ)>0 (общность рассуждений от такой

определен­

непрерывности и различия решений «і(х), iiz(x).

0 ,< х

хх

Согласно

предположению, их(х)— «З(х)=0при

и, значит, и\

(х) — м'(х) =0 также.

Поскольку, далее, в некоторой окрестности е точки хх

и1(х)—

— и%(х) > 0,

существует в силу непрерывности производных и\ (.ѵ)

и и'2 (х) окрестность б > 0 точки xL такая, что и[ (х) —

(х) > 0

при хх < . г <

Ay -j~ б < I. Равенство и\ (х) — м' (х) =

0

для

0 ■<

-.< х < х х влечет за собой и равенство

и"(х) — иЦх)

=0. Учиты­

вая же, что

в окрестности б точки хх

(хх <

х < хх

б) и\ (х) —

— Щ(х) > 0

в силу непрерывности

вторых

производных

и" (х)

и и" (х) найдется такое £ > 0, что и”(х) — и„ {х) > 0 для хх<

х <

<С хх -|- £ < /• Тогда для значений х,

принадлежащих

интервалу

(хх, хх -г 1-0,

где (л — наименьшее из чисел е, б и £

(можно по­

казать, что в общем случае р. = £), должно

выполняться

соот­

ношение

уравнение (2-29), а затем подстановка и2(х) и вычитание

из

первого получившегося

равенства второго дает

на отрезке

[0, /] тождество

и'{(х) — (х) -f

[ и\ (х) — «' (х)| -f и”‘(х) — iq (х) - 0.

Поскольку интервал

(xj, Хі+ р.) принадлежит

отрезку

[0,

*=1

Подстановка и(х) в (2-30) приводит к

следующему уравнению:

оо

со

оо

/

2 k(k — l) ahxk

2 kahxk 1 ±

2 ahx'k+1=

2 ЬІ>Х'!+1’

k=2

k=l

k=0

/;=П

ах =0; й.

+ 1

а,,=

h i- 2 + ^ k - 2

22

k2

ах =

0; а2 =

ак- 2

22

+

к2

k =3,

4,

5, . . .

Рассуждениями,

аналогичными

рассуждениям в § 1, легко

показать, что

ö2ft+i=°>

, 1, 2, ...

Ь = 0