Файл: Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности.pdf

Скачать файл (4,37Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 60

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

а для знака «—»

— 2 О „ < 0 .

Таким образом, удается получить в виде бесконечного сте пенного ряда решение обобщенного дифференциального уравнения Бесселя нулевого порядка, если в правой части сто ит полином.

§ 4. Применение теории обобщенного дифференциального уравнения Бесселя нулевого порядка

к более широкому классу уравнений Эмдена—Фаулера

Полагая в уравнении Эмдена—Фаулера

—	(х р A L )		+ хРи'п= 0	(2-32)
dx	у	dx )
а = р, после соответствующих преобразований получаем
All\|_jl Al+ =о.				(2-зз)
dx-	X	dx	-

Легко видеть, что к данному классу уравнений относится и исследованное выше обобщенное уравнение Бесселя нулевого

порядка (р=1).	удовлетворяющего на
Поиск решения уравнения (2-33),	удовлетворяющего на
чальным условиям w(0) = l и ц'(0)=0,	в виде	бесконечного
степенного ряда
00
и (х) = 1+ У акхк		(2-34)
А=1

при пг целом и положительном приводит к следующим рекур рентным формулам для определения коэффициентов ряда:

	я =0; а, = +		---------- ; Lh+l		О,
			2 ( 1 + Р)
*2к	+	____ °+і—2 _		£ = 1 ,	(2-35)
		2k (2k +-р — 1)			2, 3,

где ак, как и ранее, определяется формулой					(2-14).
Очевидно,	что при р>1		коэффициенты полученного ряда

по абсолютной величине меньше соответствующих коэффици ентов ряда, полученного при р= 1, поэтому для случая р>1 также справедливо утверждение о равномерной сходимости рядов на отрезке [О, 1] для т = 1, 2, 3 и 4.

Решение дифференциального уравнения типа (2-33) с полиномом в правой части

A i l . + A . È			L ± ит=		ь	+ Ъх		/,оЛ-2	ь,х‘,(2-36)
dx-		X	dx
удовлетворяющее			начальным		условиям			я(0) = 1 и п'(0)=0,
также можно получить в виде ряда							(2-34). В этом случае ре
куррентные формулы для определения								коэффициентов ряда
будут такими:
		Ь0± 1				Jk-2		а*
а1 — 0;	я..					Jk-2		/,'_2
а1 — 0;	я..	2 ( 1 - Р)				k (/е 4- р —1)			*=з.4.... /+о
		2 ( 1 - Р)				k (/е 4- р —1)			*=з.4.... /+о
		я,, =			а Й -2				(2-37)
		я,, =		Ä(Ä Ч- Р —1)			/;>/—2		(2-37)
				Ä(Ä Ч- Р —1)			/;>/—2
Уместно заметить, что для уравнения Эмдена, описывающего
равновесие сферы из полптропного газа [10]:
		d-u	. 2	du	.	...	_	оч	(2-38)
		— — - — —			+	=0,		(р —2),	(2-38)
		dx1	X	dx
существование положительного						и ограниченного			решения с

начальными условиями я(0) = 1 и я'(0)= 0 доказано для лю бого т из интервала О ^ т ^ б иОЧЧ=£Чо, где х0 положитель

но и конечно и я(х0)= 0 .	Расчет значений хо(яг) (яг=0, 1, 2,
3), проведенный согласно	(2-37), представляющему решение

уравнения Эмдена для полптропного газа, дают полное совпа дение с таблицей Эмдена, приведенной'в [35].

Таким образом, интервал равномерной сходимости рядов (область существования непрерывных и ограниченных реше ний), приведенных в этой главе, может быть существенно больше отрезка [0, 1]. Кроме того, очевидно, что наложенное ограничение на параметр т (т — целое) не должно ограни чить область применения полученных решений, поскольку, ис пользуя метод интерполяции, можно продолжить решения и на нецелые т.

ГЛАВА III

ИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ БЕССЕЛЯ

Введение

Полученные в предыдущей главе решения уравнений типа Эмдена—'Фаулера (как уже было показано, обобщенные бесселевские уравнения принадлежат к этому классу) кажутся несколько громоздкими, но наличие аналитически представи мых решений упрощает исследование процессов, описываемых дифференциальными уравнениями этого класса.

Рассматриваемый нами тип уравнений ((2-7), (2-33))

* і - + ± , * і ± і Г = 0 dx2 X dx

имеет особенность в точке х=0, в которой, конкретизируя класс исследуемых решений, задаются начальные условия. Это обстоятельство несколько затрудняет получение числен ных значений решений на ЭВМ з отсутствие аналитического представления этих решений. Поэтому наличие решения в аналитическом виде для данного уравнения весьма полезно.

Сложность полученных рекуррентных формул для опреде ления коэффициентов степенных рядов искомых решений не является препятствием при качественном анализе и использо вании аналитических представлений, так как она в значитель ной степени искупается сравнительно хорошей сходимостью на отрезке [0, 1] (табл. а 'ік ).

Поскольку для получения достаточно точных решений тре буется такое количество членов ряда, которое, вообще говоря, исключает возможность проведения расчетов без использова ния ЭВМ, то авторами были рассчитаны и составлены таблицы.

Наличие аналитических представлений решений в виде не которых функций в сочетании с таблицами значений этих функций существенно упрощает задачу исследования указан ного класса уравнений и облегчает использование полученных результатов в инженерных приложениях.

			Т а б л и ц а	u2k
				u2k
				Р
тп	к	1	о		3	4
		1	о		3	4
	1	0,2500000	0,1666667		0,1250000	0,1000000
	2	0,0156250	0,0083333		0,0052083	0,0035714
	3	0,0004340	0,0001984		0,0001085	0,0000661
	4	0,0000068	0,0000028		0,0000014	0,0000008
	5	0,0000001	<Ю"7		< 1 0 '7	< ю - 7
	6	< ю - 7
	7
	8				—	—
	9
	10
	11
	1	0,2500000	0,1666667		0,1250000	0,1000000
	2	0,0312500	0,0166667		0,0104167	0,0071429
	3	0,0034722	0,0014550		0,0007595	0,0004497
	4	0,0003526	0,0001176		0,0000515	0,0000265
	5	0,0000342	0,0000091		0,0000033	0,0000015
	6	0,0000032	0,0000007		0,0000002	0,0000001
	7	0,0000003	< ю - 7		< !0 - 7	< ю - 7
	8	< ю - 7 .	—		—	—
	9		—		—	—
	10
	И
	1	0,2500000	0,1666667		0,1250000 .	0,1000000
	2	0,0468750	0,0250000		0,0156250	0,0107143
	3	0,0091146	0,0037698		0,0019531	0,0011508
	4	0,0017700	0,0005686		0,0002441	0,0001236
	5	0,0003436	0,0000858		0,0000305	0,0000133
	6	0,0000667	0,0000129		0,0000038	0,0000014
	7	0,0000130	0,0000020		0,0000005	0,0000002
	8	0,0000025	0,0000003		0,0000001	< 1 0 '7
	9	0,0000005	< ю -?		< ІО"7	—
	10	0,0000001	—		—	—
	11	< іо - 7	—		—	—
	1	0,2500000	0,1666667		0,1250000	0,1000000
	2	0,0625000	0,0333333		0,0208333	0,0142857
	3	0,0173611	0,0071429		0,0036892	0,0021693
	4	0,0049913	0,0015800		0,0006727	0,0003389
	5	0,0014627	0,0'03560		0,0001248	0,0000538
	6	0,0004340	0,0000812		0,0000234	0,0000086
	7	0,0001299	0,0000187		0,0000044	0,0000014
	8	0,0000391	0,0000043		0,0000008	0,0000002
	9	0,0000118	0,0000010		0,0000002	< іо-?
	10	0,0000036	0,0000002		< ю - 7	—
	11	0,0000011	0,0000001		—	—

§ 1. Характер сходимости полученных функциональных рядов, поведение решений

Было показано (см. § 4 гл. II), что область сходимости рядов (2-34), определяющих решения уравнения Эмдена — Фаулера (2-33) (в частности при р = 1— обобщенных функ

ций Бесселя нулевого порядка Д 1(z), ^"о (2)). по крайней мере не меньше отрезка [0, 1], внутри которого обеспечивается рав-

различных т (здесь и далее номера кривых со ответствуют значению т)

номерная сходимость. Расчет коэффициентов (2-35) рядов (2-34) убеждает и в достаточно быстрой их сходимости на этом отрезке. Таким образом, характер убывания величины коэффициентов позволяет во многих случаях ограничиться сравнительно небольшим числом членов ряда для получения инженерных решений и аналитической оценки исследуемого явления, а также установления функциональной зависимости между основными параметрами процессов.

Весьма важной особенностью полученных решений является их общность с широко используемыми в практике функциями Бесселя, поскольку при р = 1 и т = 1 коэффициенты (2-35) ряда (2-34) обращаются в коэффициенты функций Бесселя нулевого

порядка, а сами обобщенные функции /о " (г), /о" (z) — в соответ ствующие функции Бесселя.

Как сами функции, так и их производные (см. рис. 8, 9), в интервале изменения г от 0 до 1 непрерывны и монотонны.

Рис. 10. Зависимость J™ — а и	— б	от т при различных г:
/ —1,0, 2—0,9,	3—0,8,	4—0,7

Кроме того, с узеличением числа т при фиксированном z\ зна

чения функций возрастают, т.	е.
I0(z1) < I o2 (zj <	/о ( z . X l t (zj,
J0(Zl) < Jl (Zl) <	Jo (Z,) < Jo (Zt).

Такое же соотношение справедливо и для производных. При чем до значений z порядка 0,3 различие между обычными (т= 1) и обобщенными ( m ^ 2) функциями сравнительно не

велико.

Характер зависимости обобщенных функций Бесселя от пг (рис. 10) дает основание полагать, что решения обобщенного уравнения Бесселя нулевого порядка (2-7) (и даже уравнения Эмдена — Фаулера (2-33)) непрерывны по т при 0=£7/п=^:4. При наличии рассчитанных значений обобщенных функций в точках целого т можно достаточно точно оценить поведение решений и для нецелого пг, что в.еще большей степени расши ряет область инженерных приложений обобщенных функций Бесселя нулевого порядка.

-1. Зак. 1208

§2. Приближенное аналитическое представление решений

внекоторых частных случаях значений аргумента

иправой части уравнения

Вычислив последовательно коэффициенты (2-20) рядов; (2-19) и (2-21), выражения для обобщенных функции получим в виде [25]

Jo (г) = 1	V2	I	т	I z	\ 4	m(3m—2)		/ г
Jo (г) = 1	21		(2!)2У3	VІ Т2	І)		(ЗШ!)22	І Т
	21		(2!)2У3	VІ Т2	І)		(ЗШ!)22	І Т
j_	m (18m2 —29m+ 12)					I _z_ \s_
			(4!)2			I	2 j
m (l80ms — 487m2 + 452m—144) / z u °									(3-1)
		(51)2					VT		(3-1)
		(51)2					VT
/0' (z) = 1 +			m			m (3m—2)		/ г
/0' (z) = 1 +	2 j	'	(2!)2	\ 2	J '		(3!)2	+	+
	2 j	'	(2!)2	\ 2	J '		(3!)2	+	+
	in (18/n2 — 29m + 12)					I	z ' 8
			(4!)2			\	2
m (180m3 —487m2 + 452m —144)							/+ _ '10		(3-2)
		(5!)2					[ 2		(3-2)
		(5!)2					[ 2
Аналогичный вид принимает и решение уравнения (2-6), когда
в правой части ) (х) =		b0 = const [26]:
и± (х, т, Ь0) =	1 +	(1 -г Ь0) I — j +				т(1+Ь0)			+
							(2!)2
m (1 + b0) [т + 2 (m— 1) (1 + £0)]
			(З!)2				\ 2 )
т(1 + Ьй) [т 2+ 11т ( т —1) (1+ Ь0) + 6 (т —1) (т —-2)(1+Ь0)2] ѵ
^			(4!)2