Файл: Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности.pdf

ГЛАВА II

ТЕОРИЯ ОБОБЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ БЕССЕЛЯ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА

Введение

Было показано, что различного рода задачи теплопровод­ ности с граничными условиями третьего рода при наличии теплообмена излучением сводятся к нелинейным дифферента альным уравнениям вида

Стефана—Больцмана законом Ньютона. В результате такой

которое решается с помощью известных функций Бесселя нуле­ вого порядка [24, 33, 34].

Полученная таким образом оценка, естественно, дает не 'достаточно точное представление о реальных процессах тепло­ проводности и оказывается тем грубее, чем больше разность Т — Т0. Поэтому как использование указанного приема полу­ чения оценки решения (2-1), так и использование других при­ ближенных решений не обеспечивает во многих случаях тре­ буемой точности. Возникает задача — найти пути к точному

29

и, таким образом, его можно отнести к дифференциальным уравнениям второго порядка типа

Попытаемся отыскать в виде бесконечных рядов и обосно­ вать довольно широкий класс решений уравнения (2-4), кото­ рое в дальнейшем именуется обобщенным дифференциальным уравнением Бесселя нулевого порядка [25].

Поскольку доказательство сходимости полученных рядов и нахождение радиуса их сходимости в общем виде — вопрос далеко не тривиальный, авторам удалось решить только часть этой задачи. Однако для многих приложений, с которыми при­ ходится сталкиваться в теплофизике, этого оказывается впол­ не достаточно. В равной степени это относится и к доказатель­ ству единственности рассматриваемого класса решений. Сле­ дует заметить, что уравнение (2-4), вообще говоря, относится к более широкому классу уравнений, а именно — к уравнени­ ям Эмдена—Фаулера .[23, 35—37]

Однако результаты, приведенные далее, в очень малой степе­ ни перекликаются с теми, которые следуют из теории уравне­ ний Эмдена—Фаулера, и претендуют, таким образом, на но­ визну.

§1. Интегрирование обобщенного дифференциального

уравнения Бесселя без возмущающего члена [25]

Предположим, что в дифференциальном уравнении вида

т — целое число, большее нуля, и будем искать положитель­ ное решение уравнения без возмущающего члена

X

причем такое, которое удовлетворяет условию и(0) =и0>0. Поскольку в точке х= 0 уравнение (2-7) имеет особую точку, то, как будет видно из дальнейшего, для решения уравнения

30

достаточно только одного условия. Вторым условием является ограниченность решения в этой точке.

Заметим, что уравнение

ти от решения уравнения (2-7) к аналогичному решению урав­ нения (2-8) будет несложно.

Представим искомое решение дифференциального уравне­

31

эффициент из третьего слагаемого, нужно воспользоваться усло­

из.которого следует, что каждому определенному л соответст­ вует единственное j — k — п. Кроме того, поскольку / ^ 1 , п может, следуя условию (б), принимать только значения от 1 до (k—1). Таким образом, коэффициент при хк в третьем слагаемом (а) будет равен

k — 1

Cm ^ anah-n•

легко найти коэффициент при k-oii степени х в четвертом сла­ гаемом. Действительно, если мы зафиксируем п, то / и і могут

32

откуда методом неопределенных коэффициентов нетрудно определить постоянные а/£:

Кроме того, поскольку в каждое слагаемое коэффициентаап 12-14) входит сомножителем или ап, или всевозможные двой­ ные ßißj, тройные aißjßi и так далее произведения коэффици­ ентов исходного ряда (2-11), у которых сумма индексов оста­ ется постоянной и равной п, приходим к следующему выводу. Если п — число нечетное, то в каждое слагаемое коэффициен­ та ап входит сомножителем по крайней мере один коэффици­ ент a k (k ^n ) с нечетным индексом k, а это в свою очередь с учетом (2-16) приводит к тому, что

Стаз -\-2Стві&2 “I- Сто.

(2-17)

52

и так.далее, т. е. коэффициенты а* ряда (2-11) с нечетным ин­ дексом k равны нулю: