Файл: Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности.pdf

Скачать файл (4,37Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 58

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

представляет собой рекуррентную формулу, по которой при известном коэффициенте а-2= —— не составляет труда вычис

лить последующие коэффициенты.

Решение уравнения (2-8) можно представить таким обра зом:

u (z) = і— — ( -			izf +		2 ^	aih (- iz)a* = l + —	z2-!-
						22
			- I -	V	( - 1	fa,hz^,	( 2 - 2 1 )
				k=2
где a2k	(A = 2,	3, 4,...)	— коэффициенты ряда (2-19).
Из	(2-19),	(2-20)	и	(2-21) нетрудно видеть, что при т —1

полученные решения (2-19) и (2-21) уравнений (2-7) и (2-8) обращаются соответственно в обычную h(x) и модифициро ванную /о(х) функции Бесселя нулевого порядка. Поэтому решение (2-19) уравнения (2-7) определим как обычную обобщенную функцию Бесселя нулевого порядка т-ой степе

ни и обозначим через Jo(x), а решение (2-21) уравнения (2-8) определим как модифицированную обобщенную функцию Бес

селя нулевого порядка m-ой степени —1Го (.ѵ) [25].

§ 2. Исследование решений обобщенного уравнения Бесселя

Обратимся к доказательству сходимости рядов (2-19) и (2-21). Покажем сначала, что ряд (2-19) — знакопеременный ряд, а (2-21) — знакопостоянный.

Действительно,				при k = 1	ao;, = а, = ------- < 0 ;		при /г =2
						22
а . =	а	— -------__ — С„;аа_ _			42	о. Учитывая далее,
2,‘	4	.	42	а.2к (k >	42	64
что	коэффициенты			а.2к (k >	3)	вычисляются по	рекуррентной

формуле (2-20) при наличии всех предшествующих коэффициен тов а.2п (п < k) и что сумма индексов у коэффициентов а для каждого слагаемого в числителе выражения (2-20) одинакова и равна 2k —2, можно сделать следующий вывод.

Если k — нечетное число, то в каждое слагаемое числите ля выражения (2-20) входит четное число сомножителей вида а2п с нечетным индексом п. Это приводит к тому, что каждое слагаемое числителя (2-20) больше или равно нулю (послед ние, очевидно, имеются при k< m ), а сам коэффициент а2к

при нечетном k — суть отрицательное число. В том случае, когда k — четное, в каждое слагаемое числителя (2-20) вхо дит нечетное число сомножителей а2п с нечетным индексом п, и, значит, каждое слагаемое числителя выражения (2-20) или меньше или равно (при k<rn) нулю, т. е. коэффициенты a2k с четным индексом k — строго положительные числа.

Обозначив таким образом а'2к = |а2/і|, будем иметь

й - 2

а-ік =	(— 1)/г (Cm а2к-2 -г С;„ ^				а'ы а'2к__2п_ 2 -\|- . . .			+	С,и X
				п=1
к—т		k—2—n—j—,,.
X 2	а?п ■■■		2	a2sa2k-2n-...-2)		т	2	( - і ) 'Ч * ;
1			s= 1			т	2		(2-22)
									(2-22)
			00				со
и (X) = 1— —		Л'2 +	^	а2кхк = 1 — -L X +			2 (—1)* ß2A
			к = 2				А’= 2		(2-23)
									(2-23)
Ц (г) = 1+ —		г2 +	/ г = 2	( - l ) fc a2hz%k = 1 + - 1			г-	£	а-2кZ2fe-
			/ г = 2					к = 2	(2-24)
									(2-24)
Докажем теперь, что радиус сходимости R(ni)								ряда (2-24),
а следовательно, и ряда				(2-23)	для т = 2, 3, 4 по крайней мере
не меньше единицы.									из выра
Поскольку коэффициенты а'к строго больше нуля,									из выра
жения (2-22)		нетрудно видеть,			что начиная с k = 2			а'г>к{т—4)>

> а'2к (т — 3) > а'0к (т= 2) и, значит, сходимость ряда (2-24) при
т = 4	влечет за собой сходимость его при т = 3 и /?г = 2 и Д (4)<
Д	(3) .< Д (2). Доказав таким образом, что радиус сходимости
ряда	(2-24) при т = 4 не меньше единицы, мы тем самым дока

жем это и для т =3 и т =2.			(2-24) при т =4:
Найдем первые пять коэффициентов ряда			(2-24) при т =4:
			т(т —1)
fl2 = 22 ’	1	, -
fl2 = 22 ’	4 2	> ßs —	62
		0,625
		6 2

з»

та' + in (in — 1) а' а +

m(ni—1) {in --2)

as”

168

576

0,32

та’ + tn (т —1) а’ а0’ -|-

т (т —1) а,

гт{т —1) {т—2)

т{т — 1) ( т —2) {т—3)

---------

а2 а4 '1-------------------------------------------------------а2 I

0,147

ІО3

Легко видеть,

что при

k' <

а\к, <

. Использовав

далее метод математической индукции,

(2/е')3

что при к >

покажем,

также аок <

Предположим,

что

дтя

к <

k' выпол

Зафиксируем k' >

няется соотношение а.ѣ Л 1/(2/е)3 и докажем,

что в этом предпо

ложении a’2k, <

1/(2А')3- Согласно (2-22),

fc'- З

k ' — з

a 2 k ' (m = 4 ) = [ C * Я2 * ' - 2 + C * 2

a '2 n a 2 k ' - 2 n - 2 + C 4 2

a 2 ' l X

n = 1

П—1

k ' — 2— n

k ' ~ A

k ' —3— n

4 ,

a 2k ' - 2 i - 2 ]

(2k')2

/=1

n=i

/=1

k ' —2—n —/

(2-25)

a 2 i

a 2 k ’— 2 n — 2 j— 2 i

(2k')2

i=l

Считая,

что k'

> 6,

оценим каждое

слагаемое в числителе

выражения

(2-25):

1 •

7^1 ~

С4 &2k'

2 ~

2k'

[ 2 ( Ä ' - l ) j 3

А'2 ~

С? 5

а**'-**-*< С і 2

(2я)3 X

к'--

п —I)]2

у ч

(k'— /г —I)2

[2 (А'—

2'1

я3

k'—2

23 (k' — l)2

n*(k' — n — \y

23 (k' —l)2

k ' - \

k ' — 2

k '—1

\k ’ — n —1

n = 1

[-f]-

22+

{

Jmt

(Ä' — /I —l)a /

23 (k' — l)2

k ' —2

[-5 4 - ,

2*1 =

n'-

2 (k’ — 1)°-

(ft' — n — l)2

■

/ 1=1

[-f]

, [ * ] -

. y i

(k’—

Г у ч _L _ i_

2 j

n — l ) 2 J

2 (k’— l ) 2

\ j<Ji

n — k ’—2

/2 = 1

•

l x

- > <

i=1

l-\

2 (k'—

l ) 2

2 j

,i2

1 2 j

/1=1

i=1

/ яЯ2“

яn“2 \

я2

2 (k '— \)-

\~6~

2(k’ — 1)*

/г'—2—n

fc'-3

3. A, = C4

a 2 n

a 2 j a 2 k '— 2 n - 2 j -

/1=1

/=1

n=i

k ’— 2— n

. * '- 3

L ^

П.-

(2/)2

150

k ' — 2— n

/ 2

( Ä ' —

— / — l ) 2

. 2 4

/ г 2 ( £ ' — / г — 1 ) !

/=i

ft'~3

k ' — 2— n

(fe' — /г—l)2

<4 УІ4-

У!

j2 (k' — n — / —l)2

/= 1

n — 1

(/e' — n —l)2

, * ' - з ,

x 2 « -5 1 = -ü1 V

(k' — n — \y-

12 (k'— l)2

n = l

fc'-3

(k' —

l ) 2

JT2

X £

- i

пҢк' — п — l)2

12 (Ä' —-1)

n = l

n =l

k'— \

k ' — Z

k '— \

k'— n — 1

k' — а —г

“

[■f]

[

4 -

■

я 22 2

(

1 2

(k' —l ) 2

n = k ' —3

(k' — II— l)2

I f

]

- m

It'

3 (k’ — 1)*

fc=l

I I -

3(Ä'—l)2

/=2

X У

JT2

я-

4r-tJ! -

- 1

/I-

V ,

3 (ä' —1)E I 6

n = 1

1 = 2

л2 (2л2 —6)

18 ( k '- -ir-

k ' — 4 k ' —3—n

k ' —2 —n—/

c l V

» ,

« ,

u u

/1 = 1

/=i

i= I

k ' —4

k ’— 2 — n — f

V i

(2/г)2

(2/)2

/“ I

І = 1

( 202

/2=1

k ' — 4

k ' —3—л

[2(*' — /г — / — г —

1)J!

— X

Z u

/г2 UU

Л = 1

/=і

2—n

k ' —4

. 1

(k' — П — /

— 1; —l)2 ^

2s 2

— X

l 2

‘

/г2

£=I

/1=1

/г'—3—/г

к’- і ,

! 1

2 * n *

■Л2

V 1

/=1

(k' -

/ -

1 )

2B-3

Zu п

Смотрите также файлы

Хитрик, В. Э. Методы динамической оптимизации механизмов машин-автоматов.pdf

Черонис, Н. Д. Микро- и полумикрометоды органического функционального анализа.pdf

Чесноков, Б. В. Относительный возраст минеральных индивидов и агрегатов.pdf

Шах, А. Д. Вопросы экономики автоматизации химического производства учеб. пособие.pdf

Шерле, З. П. Речные порты конспект лекций.pdf

Файл: Харитонов, В. В. Некоторые нелинейные задачи теплопроводности.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно