Файл: Приц, А. К. Принцип стационарных состояний открытых систем и динамика популяций.pdf

Учитывая, что коэффициент ah является максимальным, если

Пусть теперь в некоторый год пг коэффициент пополнения оказался в сто раз меньше

ат

(Хщах

100

Экспериментальные данные по уловам в отдельные годы пока­ зывают, что это'весьма предельный случай.

Записывая (2—3— 10) для m-го года, получаем

Разделив (2—3— 13) на (2—3— 14), получим,

г=1

Обозначим для краткости

( 2 - 3 - 1 6 )

2= 1

75

и прологарифмируем (2—3— 15) по основанию 10. Полученное равенство будет иметь вид:

Графическое решение последнего уравнения дает следующие ре­ зультаты:

76

В отличие от известных моделей популяции,предлагаемая мо­ дель в явном виде учитывает пополнение от численности и каче­ ственного состава стада. Последнее выражается в том, что коэф­ фициент пополнения а,! в излагаемой модели представляет семей­ ство функций, отражающих состояние численности популяции и

еевозрастные возможности к воспроизводству потомства.

При этом, действующие на популяцию многочисленные фак­

торы: старость, болезни, недостаток пищи, перемена места оби­ тания, вылов, загрязнение водоемов и т. п. интегрально учиты­ ваются в рассмотренной зависимости.

В соответствии с ранее рассмотренными определениями, ко­ эффициент выживаемости |3ih связан с коэффициентом смертно­ сти Li'1

(3ift= е- М « 1 —I** = (1 - L h) ¥ (t) = pk1F (i). (2—3—22)

Это соотношение удовлетворяет равенству (2—2—3), здесь L'1 — коэффициент естественной смертности для всей популяции. Ч? ( i) — функция, учитывающая смертность (выживаемость) от возраста.

Как видно из графиков, приведенных на рис. 9, функция вы­ живаемости изменяется с возрастом, проходя через максимум в области средних возрастов популяции. Эта зависимость может быть смоделирована либо параболой, либо двумя пересекающи­ мися прямыми (рис. 10).

Рис. 10. Графическое обобщение экспериментальных данных функции выжи­ ваемости от возраста

77

В соответствии с экспериментальными данными, обобщенны­ ми Костицыным [52], коэффициент естественной смертности за­ висит от численности по закону.

где (Xi и р,2 — постоянные величины, причем р,2 — коэффициент пропорциональности между коэффициентом естественной .смерт­ ности и численностью популяции.

В нашей схеме это приводит к соотношениям (см. 2—3-—22):

Графически зависимость [3{й от Nh для различных возрастов пред­ ставляет собой семейство прямых, изображенных на рис. И.

Рис. 11. Зависимость коэффициента выживаемости от численности и возраста

Как и для коэффициента пополнения, установим связь коэф­ фициента выживаемости с долей численности популяции k-ro го­

да xh от численности Nh. Учитывая, что

П

№ = ^ N i k

i — i

пп

7 8

где jv„— численность популяции, дающей максимальное попол­ нение, из (2—3—22) и (2—3—24) имеем:

является постоянной величиной.

Определим пределы, внутри которых заключены постоянные

С я В.

По смыслу задачи, коэффициент выживаемости не может быть отрицательным и должен быть меньше единицы, то есть

Поскольку В — постоянная, ее значение можно оценить для одного из крайних состояний популяции. Действительно, для чис­ ленности популяции в некоторый год, соответствующей уменьше­

нию численности пополнения в 100 раз по сравнению с макси-

П

Если коэффициент следует оценить по максимальной доле

72

2 Xjmax= 8,

1=1

79

тогда из (2—3—29) получим

Таким образом, пределы изменения коэффициентов оценены.

§ 4. Определение параметров популяции, обеспечивающих условия саморегуляции

Для обеспечения условий саморегуляции, а также для выяс­ нения исходных и асимптотических состояний популяций произво­ дилось решение уравнений (2—2—2) на ЭВМ «Минск-22» для популяций с различным числом возрастных групп путем задания параметров Е, С и В в пределах возможных вариаций. Это позво­ ляет при варьировании параметров Е, С и В проследить динами­ ку изменения общей численности по возрастам за любое число лет.

В качестве исходных данных машине задается число п воз­ растных групп, число т лет, в течение которых требуется просле­ дить развитие популяции, произвольный исходный вектор попу­

ляции хк и набор коэффициентов Е, С, В, <р(£) и Д|(г). На печать машина выдает:

1)исходные коэффициенты;

2)общую численность популяции за каждый год;

3)распределение численности особей по возрастам в каждый

год;

4)коэффициенты смертности в каждый год.

Как показали расчеты, стационарное состояние популяции

при заданном наборе коэффициентов не зависит от исходного со­ стояния популяции хк. Поэтому, при исследовании возможных стационарных состояний популяции можно исходный вектор вы­ брать произвольно.

Программа была построена таким образом, чтобы машина в автоматическом режиме осуществляла вариацию параметров Е,

0,125 С

С и В с равномерными шагами /ii=6, /г2= 0,2, h3— ----- ------, при-

о

чем, коэффициенты Е, С и В могут варьироваться начиная с лю­ бого значения (2—3—20) и (2—3—33).

Для нескольких исходных векторов популяции и постоянных Чг(£) и 'ф(г) в предположении n —S для пикши было прослежено развитие популяции. Полученные данные позволили построить графики развития популяции в промежутках устойчивости

(рис. 12).

80