Файл: Приц, А. К. Принцип стационарных состояний открытых систем и динамика популяций.pdf

Эта задача может быть решена на принципе максимума Понтрягина [48] или динамическом программировании Веллмана [49].

Итак, пусть критерием эффективности / является масса вы­ ловленной рьгбы за k лет, причем k пусть превышает максималь­ ный возраст популяции п. Обозначив через ДМ* вылов в конце /-го года, найдем, что задача управления состоит в том, чтобы вы­ брать такую последовательность Д/Wi, ДМ2, ДМ3 и т. д., чтобы

При этом АМи очевидно, может меняться в пределах

Пусть общая масса популяции М,-_i года в начале t'-ro года ■возрастает до значения

Тогда масса популяции, остающаяся наразведение к концу i-ro года будет равна

Существование оптимальной стратегии в данном случае вытека­ ет из того факта, что при увеличении вылова в этом году ДМ; в последующие годы вылов будет уменьшаться, поскольку медлен­ нее будет расти масса популяции М. Если же вылавливать слиш­ ком мало ры'бы, то вклад каждого года в вылов будет тоже очень мал, и оптимальная эффективность тоже не будет достигнута. Очевидно, существует оптимальная стратегия, максимализирующая суммарный 'вылов за k лет (к в принципе должно стремить­ ся к бесконечности).

В соответствии с методом динамического программирования начнем разбор с последнего шага: AMk должно быть максималь­ но при неизменном значении М

Mi- l= Mi = Mi+1= . . . = A fft_i.

Это означает, что вылов за год должен быть равен приросту био­ массы за этот год. Поэтому относительная стратегия будет за­ ключаться в том, чтобы довести биомассу популяции до такого значения, которое бы давало максимально возможный ежегод­ ный прирост, и последующее удержание этого уровня биомассы. Это может быть достигнуто при определенном значении энтро­ пии популяции 5, которое является выражением возрастной структуры популяции, определенной численности и заданном зна­ чении < W > , то есть при оптимальном значении ЧЛ

63

Учитывая, '-то популяция является открытой саморегулирую­ щейся системой, стремящейся к стабильной возрастной структу­ ре, будем считать популяцию находящейся в стационарном со­ стоянии, которое дает максимально возможный ежегодный при­ рост ^биомассы при постоянных промысловых и естественных смертностях.

§ 20. Расчет запаса биомассы популяции на основе известных экспериментальных данных

Пусть в результате экспериментального лова известна масса одной особи популяции одного 1-го возраста /щ-, а также число особей N{, составляющих этот один возраст. -Тогда, на основании формулы (1— 17— 14) и (1— 18— 11) можно найти общую числен­ ность популяции N:

где mi — масса одной особи первой возрастной группы.

Найдя N, легко найти численность популяции других возраст­

j=i

Масса популяции М площади а экспериментального лова бу­ дет определяться выражением:

ПП

где все'величины известны.

Если обозначить площадь экспериментально известного рай­ она обитания популяции через а', то в предположении равнове­ роятного расселения популяции по всему району обитания,

64

§ 21. Расчет максимального ежегодного прироста биомассы при оптимальном значении ее численности

Если рассматривать популяцию долгоживущих рыб, т. е. рыб, возраст которых много превышает один год (т. е. Тм), можно найти ежегодный прирост биомассы. Для долгоживущих рыб мо­ дуль статистического распределения 0 можно считать постоян­ ным.

Пусть в начале /г-го года известны массы особей соответству­ ющих возрастных групп /л,-. К концу года i-ая возрастная группа переходит в (г'+1)-ю возрастную группу, масса одной особи ко­ торой характеризуется значением mi+i. Ежегодный прирост био­ массы даваемой ,-ой возрастной группой будет равен

где Ni — численность i-ой возрастной группы. Суммируя по всем возрастным группам, найдем ежегодный прирост биомассы по всей популяции:

(1—21—3)

где < Д / л> — средний ежегодный прирост, приходящийся на среднюю массу одной особи популяции, N — численность всей по­ пуляции.

Этот прирост биомассы всей популяции определяет макси­ мально возможный вылов в соответствии со стратегией оптималь­ ного вылова. Если же ежегодный вылов будет превышать еже­ годный прирост биомассы популяции ДМ, что может быть до­ стигнуто интенсификацией промысла, то биомасса популяции бу­ дет уменьшаться. (Поэтому, для поддержания стабильного значе­ ния биомассы необходимо регулировать промысел, что может быть достигнуто оптимальным использованием рыболовного флота.

Подобного рода рассуждения, хотя и основанные на других принципах, легли в оонову теории «максимально уравновешен­ ного улова» [50].

§ 22. Пример расчета абсолютной биомассы сельди Северного моря

Воспользуемся формулами (1—20—2) и (1—20—3) для рас­ чета биомассы сельди Северного моря, например, за 1971 г., на­ чиная с первой возрастной группы. Из таблицы вылова 3, взятой из [51] за 1971 год, находим численность возрастной группы, вы­ лов которой максимален. Это первая возрастная группа. Рассчи­ тав коэффициент промысловой смертности У7! « 0 ,5 для этой группы, получим

( 1- 22- 1)

1—e~Fi

Подставляя значение (A/Vi) ь = 3686,1 -106 находим /Vх. Зная Му находим и все остальные значения Л/,-, а также суммарную чис­ ленность и массу популяции. Все расчеты представлены табли­ цей 6. Расчеты делались для 1971, 1970, 1969 вплоть до 1947 го­ да. Сравнение расчетных данных с данными ICES, представлен­ ными таблицей 5, дало совпадение от 70% и выше за каждый год, за исключением 1970 года, где расхождение было весьма боль­ шим — в 2 раза.

Значение массы отдельной особи пц из таблицы 6 при поста­ новке в расчетную формулу бралось на январь месяц. Для вы­ числения биомассы брались значения массы одной особи t-ой группы в конце года. На таблице 4 приведены расчеты за 1971, 1970 и 1969 годы. Аналогичные расчеты сделаны для леща Курш­ ского залива, для пикши Северного моря.

§ 23. Колебательный характер биомассы популяции при нерегулируемом вылове

■Пусть плановое задание ежегодного вылова популяции пре­ вышает естественный прирост биомассы популяции на опреде­ ленную величину, например, ДМа. Если исходить из уравнения (1—21—3), описывающего убыль биомассы вследствие промыс­ лового вылова, а естественной смертностью в условиях интенсив­ ного вылова можно пренебречь, то можно записать:

dM

<Д

или, биомасса в конце года при неизменном значении коэффици­ ента промысловой смертности Fy будет равна:

Годовая убыль биомассы в первый год промысла при условии успешного выполнения плана составит:

ДМ о=М „—М,;= МН(1—е-И ). ' (1—23—3)

66

f

Рис. 6. График интенсивности промысла в зависимости от массы популяции при постоянном плане лова Д/И0 и условий, что план лова превышает еже­ годный прирост биомассы популяции

На второй год промысла начальное значение той же биомассы будет равно:

Из уравнения (1—23—4) следует, что для успешного выпол­ нения плана на следующий год необходимо увеличение коэффи­ циента промысловой смертности, что может быть достигнуто уве­ личением интенсивности промысла.

F2 д о л ж н о быть больше Fh ибо уменьшается запас биомассы популяции:

На третий год промысла той же популяции начальное значение ее биомассы будет равно

И, наконец, пусть в £-ый год запас настолько уменьшится, что для выполнения плана дальнейшая интенсификация промысла (уве­ личение коэффициента промысловой смертности) является уже экономически нецелесообразной и промысел данной популяции прекращается. Тогда начинается увеличение биомассы данной популяции (если такое увеличение еще биологически возможно, ибо уменьшение ‘биомассы до определенного минимального уров­ ня приводит к ее гибели как вида). Но это увеличение можег происходить до тех пор, пока популяция через п лет не достигнет своего оптимального значения, которое вследствие изменения биогеоценоза может быть либо равно Мш , либо больше, либо меньше. Для рыбы чаще всего оказывается меньше, ибо на мес­ то выбывших из экологического баланса ценных особей посту­ пают особи других видов. Этот процесс может быть изображен графически (рис. 7).

§ 24. Промысловый улов и интенсивность промысла по годам

Будем считать коэффициент промысловой смертности пропор­

ЛМр \

h

с\ MHe~F1 '

сMHe~FI

68