Файл: Приц, А. К. Принцип стационарных состояний открытых систем и динамика популяций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 47

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где q— плотность распределения систем. Здесь предполагается, что число систем в фазовом объеме пропорционально величине объема.

Априорная вероятность нахождения системы в элементарном фазовом объеме определяется отношением числа частиц, нахо­ дящихся в фазовом объеме, к числу всех частиц. Значит, вероят­ ность этого нахождения равна:

dW =

dN N

где N — число всех частиц. Величина

б

N _

Q ( g i - P i - )

dQ,

(l—6—8>

N

 

 

dW

 

( 1 - 6 - 9 >

d£2 —

 

 

 

где %=K(q 1 , . . . , P i, •■•) есть плотность вероятности нахож­ дения системы в элементарном фазовом объеме.

Если проинтегрировать по всему фазовому пространству, то-

JxdQ = l,

(1—6— 10)

Q

 

что определяется условием нормировки вероятности.

Теорема Лиувилля утверждает, что фазовый объем не меня­ ется с течением времени при движении систем в фазовом про­ странстве. Фазовый объем может деформироваться, но свою ве­ личину сохраняет неизменной.

Докажем эту теорему. Пусть имеется dN систем. Проследимза движением этих систем в течение определенного времениПри этом число систем не меняется. Пусть .в момент времени tt

dNi = QidQi,

(1—6— 11)-

в момент времени /2 число этих систем

 

dN2= p 2dn2.

(1—6— 12)'

Приравнивая (1-—6— И) и (1—6— 12), получим:

 

Qid£2i=Q2dQ2.

(1—6—13)-

Если Qi= Q2, то тем самым

 

d£2i=dS22.

 

Будем исходить из уравнения неразрывности для плотности си­ стем в фазовом пространстве:

_ ^ - + d i v 7 = 0 ,

(1— 6— 14)

20

 

 

 

 

/ = 2

(б^г+ePi) •

 

 

(1—6— 15).

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

Здесь j — плотность потока фазовых точек.

 

 

 

|Подставивi(l—6— 15) в (1—6— 14), получим:

 

 

 

д «

+ У

 

dQ

■+Pi- dPl

 

 

 

 

 

(<7i- dqi

)

+l

 

 

 

dt

1

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

dqi

 

dpi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 - 6

 

 

+

ы

 

dqiL +

dpi ) = ° -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

dqi

1

d P' i

)■

п

Vi—

dH

’»

Pi'

'

dH

\

dqi

1

dPi

— и,

 

dqi

dpt

) ~

 

 

 

 

получим,

что

 

 

 

dg

 

■ 9q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-q i +

 

 

 

(1 -6 -

 

 

 

 

 

dqt

dpi ' Pi)

— 0-

 

 

 

 

 

 

г

Выражение это есть полный дифференциал по времени от плотности распределения частиц

 

dg

(1—6— 18)

 

= 0.

 

dt

 

Равенство (1—6— 18)

утверждает,

что плотность распреде­

ления систем в фазовом

пространстве

от времени не зависит:

Q= Const.

Тогда, на основании уравнения (1—6— 13) d£2i=dQ2-

Теорема доказана. Это означает постоянство вероятности рас­ пределения системы в фазовом пространстве.

1 § 7 . Вывод распределения Гиббса

Пусть имеется ансамбль слабовзаимодействующих систем. Тогда энергия всего ансамбля 'будет определяться как сумма, энергий отдельных подсистем;

Е = 2 Е -

( 1 - 7 - 1 )

г

энергией взаимодействия подсистем пренебрегаем.

21’

С другой стороны, вероятность состояния всего ансамбля бу­ дет определяться как произведение вероятностей состояния каж­ дой отдельной системы

d W = d W i . . . dWi . . . ,

(1—7—2)

т. к. системы квазинезависимы.

Оба свойства ансамбля — аддитивность энергии (1—7— 1) и мультипликативность вероятности (1—7—2) будут удовлетворе­ ны, если для каждой системы ввести экспоненциальную функ­ цию вероятности

dWi = const eaEidfii,

(1—7—3)

где предэкспоненциальный множитель (константа) будет оди­ наков для всех систем, входящих в данный ансамбль. Отсюда

dW =const-e ; ‘J J d Q i -

(1—7—4)

г

___

Учитывая (1—7-—1) и то, что произведение

П dQ; = d£2, полу­

чаем

 

dW =const eaEdQ.

 

Постоянная а не может быть положительной, если Е меня­ ется от нуля до бесконечности, т. к. тогда не выполнялось бы условие нормировки вероятности

| dW=

1.

(1—7—5)

Поэтому обозначают а = ---- . где 0

— положительная величи­

на, называемая модулем канонического распределения.

Из условий нормировки вероятности можно найти константу в предэкспоненциальном множителе

const J е 0 dQ= 1,

•отсюда

1

■const=

) е 0 dQ

Вероятность состояния системы определяется тогда как:

 

Е

 

е

0 dQ

( 1 - 7 - 6 )

dW =

 

fe

'e'dQ

 

•22

Постоянная величина, являющаяся знаменателем, называется, интегралом состояний или интегралом по состояниям и обознача­ ется буквой Z:

__. _________ Е_

 

Z= e 0 = J е 0 dQ,

(1—7—7)

где XF — постоянная величина, имеющая размерность энергииУчитывая значение интеграла Z:

Ч '-Е

 

dW =e 0 dQ,

(1—7—8)

что дает распределение Гиббса.

Уравнение (1—7—8) показывает, что плотность вероятности:

и равна

 

Г щ_Р 1

(1—7—9)

к = е х р { — Q

а число систем в элементарном объеме фазового пространства: равно:

W—Е

 

e = Ne 0 ■

(1—7— 10)

Величина XF, определяемая выражением i(l—7—7), представляетсобой свободную энергию всего ансамбля. Это можно показать,, вычислив интеграл состояний Z:

¥ = —eilnZ,

( 1 - 7 - 1 1 )

если 0 = /гТ.

Если одному и тому же значению Егэнергии соответствует (71состояний, то вероятность состояния определяется

w

П •£>

feT

^

1—7—12()^

г

qi называется степенью вырождения данного состояния. 'Статистическая физика имеет дело со средними величинами..

Среднее значение энергии будет равно:

< Е > = JЕе

Е

0 dQ

 

Е

Jе 0 dQ

23=

Зная Е и ХР, можно найти все остальные термодинамические

•функции, характеризующие состояния системы.

Винер [39] пишет: «'Статистическая механика Гиббса, воз­ можно является достаточно адекватной моделью того, что проис­ ходит в живом теле.»

§ 8. Н — теорема Больцмана и стационарное решение кинетического уравнения

Рассматривая динамику столкновений молекул газа, Больц­ ман [36] ввел функцию вида:

Н = J/ (r,v , t) lnf(r,v, f)dQ,

(1—8— 1)

Q

где интеграл распространен по всему фазовому пространству

1-ой молекулы, имеющей одну степень свободы, a f<(r,v,t) — функция состояния, определяющая долю общего числа молекул, имеющих данный набор координат и скоростей.

Исходя из теории столкновений молекул идеального газа, бы­ ла найдена зависимость функции Н от времени для молекул га­ за в отсутствии внешнего поля

АН

о2

И JI ( V i - V }") S d ( / / / / -

 

At

т

Q vt Vj

 

 

 

 

—fifi)

In

f j h f

duidujdfi,

( 1- 8-

2)

 

 

 

fifi-

 

 

 

тде a — диаметр

молекулы,

— единичный

радиус-вектор,

на­

правленный ИЗ ТОЧКИ Гг В ТОЧКу Гу

Лодинтегральное выражение из i(l—8—2) является положи­

тельной величиной. Действительно, |(о— о^)5<3 [ есть величина положительная, а величина

( f i V - f i f i ) - 1 п - ^ - lifj

всегда 'больше нуля при любых f/fjf¥=fifj.

■Поэтому для любых функций распределения, являющихся ре­ шением кинетического уравнения Больцмана в отсутствии внеш­ него поля

:24

Смотрите также файлы