Файл: Приц, А. К. Принцип стационарных состояний открытых систем и динамика популяций.pdf

-О » J J I (oi-O i)Siil {/i7/—/i/j}duidQ= 0 ( 1 - 8 - 3 )

имеет место:

dH

;0, если ( 1 - 8 - 4 )

dt

dH

=0, если ( 1 - 8 - 5 )

dt

dH dt

функциях распределения f явно зависящих от времени. Стацио- dН

Легко показать, что единственным стационарным решением является распределение Максвелла, ибо определяющие аргу­

§9. Стационарные состояния, модель Вольтерра

иколебательный характер численности популяций

Уравнение Вольтерра является одним из наиболее употреби­ тельных и наиболее изученных уравнений при описании динами­ ки популяций, например, [25, 40, 41, 42].

25

флота, базирующегося на данный ареал.

Механизм взаимного влияния этих двух компонент в ареале обитания компоненты Ny может быть описан с помощью уравне­

где KiNiNz — есть скорость убывания численности первой компо­ ненты при ее взаимодействии со второй, т. е. убывание числен­ ности рыбной популяции при встрече рыбных стай с рыболовны­ ми судами, а сцМ — скорость прироста численности Ni; %2NiN2— дает скорость увеличения численности рыбодобывающего флота, д2Л^2— скорость убывания этой численности.

Выражение (1—9—2) показывает, что численность флота увеличивается при успешном лове, т. е. при достаточном рыбном запасе, который и обуславливает частоту встреч косяков рыб с рыболовными судами.

Уравнения (1—9— 1) и (1—9—2), отражающие связь запаса

j=i

Первый член суммы представляет поведение i-ой компоненты в отсутствии второй. При k C > 0, Nj= ,0 происходит экспоненци­ альный рост численности /-ой компоненты.

При йг<0 наблюдается экспоненциальное уменьшение чис­ ленности.

Постоянная ац может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Если a ij> 0 , то это означает насколько часто­ та встреч судна с косяками рыб ведет к увеличению числа судов, отрицательное же значение aij отвечает на вопрос о влиянии ча­ стоты встречи рыбы и рыболовного судна на уменьшение чис­ ленности рыб. Если же ciij равна нулю, то это соответствует от­ сутствию взаимосвязи между числом судов и численностью ры­ бы (суда не ловят рыбу).

26

Таким образом, в результате взаимодействия t-ой и /-ой ком­ понент происходит увеличение численности t-ой компоненты и. уменьшение /-ой. Поэтому ciij и ац имеют противоположные

знаки.

В результате «встреч» t-ой и /-ой компонент произведение р£—ipj дает уменьшение (или увеличение) численности t-ой ком­ поненты в единицу времени.

Исключая особые случаи, будем иметь:

■Стационарное состояние системы определяется совокупно­

при всех значениях /.

Те же значения ЛД которыеудовлетворяют уравнению

Уравнение i(l—9—8) было впервые исследовано Д. Анкона [40] при введении интегралов движения в динамику развития попу­ ляций.

Введем обозначения

Совершенно очевидно, что Vj стремится к нулю при стремлении Nj к gj и может служить характеристикой отклонения значений Nj от своего стационарного значения gj.

Подставляя в (1—9—3) вместо Nj его значение из (1—9—9), получим:

Умножив обе части уравнения '(1—9— 10) на gy[e®i— 1] и про­ суммировав по всем /, получим

27

ибо двойная сумма антисимметрична относительно i и /. 'Находим

iY

Воспользуемся константой движения G для выяснения перио­ дичности состояний системы, состоящей из двух взаимодейству­

28

определяющую набор стационарных состояний в пространстве переменных Ux и Uz (рис. 2а).

Рис. 2. График периодичности решения уравнений (1—9—3)

Рисунки 2b и 2с описывают зависимость Ut и Uz от ft и f2. Осо­ бенностью фигур 2b и 2с является то, что они имеют максимумы в точках М2 и Mi. Поэтому гипербола имеет границы в точках Л и В. Одному значению точки 0, лежащей между Л и В, .соот­ ветствуют два значения f\{al) и fi{b ]) и два значения f2(c) и fz(b). На рисунке 2d устанавливается связь между функциями fi, f2При перемещении точки 0 от Л к В траектория этой точки представится в виде окружности «а рис. 2d. Значения Л и В соответствуют двум экстремальным значениям функции f i и f%со­ ответственно.

29